3.3 Logaritmer
Sommarmatte 1
3.3 Logaritmer
Läromål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
||||
TeoriFörlängning och förkortningteori fristående formel dubbla dollar
teori igen Viktig regel: dubbeldollar
Exempel 1
Logaritmer med basen 10Man använder gärna potenser med basen 10 för att skriva stora och små tal, t.ex. 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000
10^{-2} = \displaystyle \frac{1}{10 \cdot 10} = \displaystyle \frac{1}{100} = 0{,}01
10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\color{#AAEEFF}{a \;}}} = y
Notera här att y måste vara ett positivt tal fölr att logaritmen \lg y ska vara definerad, eftersom det inte finns någon potens av 10 som blir negativ eller noll. Exempel 1
I det näst sista exemplet kan man snabbt inse att \lg 50 måste ligga någonstans mellan 1 och 2 eftersom 10^1 < 50 < 10^2, men för att få fram ett mer exakt värde på det irrationella talet \lg 50 = 1{,}69897\ldots behövs i praktiken en miniräknare (eller tabell.) Exempel 2
Olika baserMan kan tänka sig logaritmer som använder en annan bas än 10 (utom 1!). Man måste då tydligt ange vilket tal man använder som bas för logaritmen. Använder man t.ex. 2 som bas skriver man \log_2 för "2-logaritmer". Exempel 3
På samma sätt fungerar logaritmer i andra baser. Exempel 4
Om basen 10 används, skriver man sällan \log_{10} , utan som vi tidigare sett lg, eller enbart log, vilket förekommer på många miniräknare. Naturliga logaritmerI praktiken är det två baser som oftast används för logaritmer, förutom 10 även talet e \:(\approx 2,71828 \ldots ). Logaritmer med basen e kallas naturliga logaritmer och skrivs ln i stället för \log_e Exempel 5
På de flesta mer avancerade miniräknare finns vanligtvis knappar för 10-logaritmer och naturliga logaritmer. LogaritmlagarMellan år 1617 och 1624 publicerade Henry Biggs en logaritmtabell av alla heltal upp till 20 000 och år 1628 utökade Adriaan Vlacq tabellen till alla heltal upp till 100 000.
Exempel 6
a) Om vi vet att 35 \approx 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1{,}5441 \;}} och 54 \approx 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1{,}7324 \;}} (d.v.s. \lg 35 \approx 1{,}5441 och \lg 54 \approx 1{,}7324 ) då kan vi räkna ut att 35 \cdot 54 \approx 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1{,}5441 \;}} \cdot 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1{,}7324 \;}} = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1{,}5441 + 1{,}7324 \;}} = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{3{,}2765 \;}}
och vi vet sedan att 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{3{,}2765 \;}} \approx 1890 (d.v.s. \lg 1890 \approx 3{,}2765 ) så har vi lyckats beräkna produkten 35 \cdot 54 = 1890
och bara genom att addera ihop exponenterna 1{,}5441 och 1{,}7324.
10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 3 \;}} \cdot 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 5 \;}} = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 15 \;}} \;\;\;\;\; (3 = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 3 \;}}, \mbox{ osv.} )
Eftersom 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 3 \;}} \cdot 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 5 \;}} = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 3 + \lg 5 \;}}, enligt en av potenslagarna, får vi att \lg 3+\lg 5 = \lg 15 = \lg(3\cdot 5)
|}
\log a + \log b = \log(ab)
och som följer av att å ena sidan är a\cdot b =10^{\log a} \cdot 10^{\log b} = \left\{ \mbox{potenslagarna} \right\} = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\log ab \;}}
och å andra sidan är a\cdot b = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\log (a \cdot b) \;}}
Logaritmlagarna gäller oavsett bas.
Exempel 7
\mbox{ a) } \lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28
Exempel 8
\mbox{ a) } \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0,001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3 = \lg 9- \lg 3
\mbox{ d) } \lg a^3 - 2 \lg a + \lg \displaystyle \frac{1}{a} =3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}
|}
Byte av basIbland kan det vara bra att kunna uttrycka en logaritm som en logaritm av en annan bas.
Exempel 9
a) Uttryck \lg 5 i naturliga logaritmer.
Per definition är \lg 5 det tal som uppfyller likheten 10^{\lg 5} = 5
Logaritmera båda led med \ln (naturliga logaritmen) \ln 10^{\lg 5} = \ln 5
Med hjälp av logaritmlagen \ln a^b = b \ln a kan vänsterledet skrivas som \lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5 och likheten blir \lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5
Dela nu båda led med \ln 10 så får vi svaret \lg 5 = \displaystyle \frac{\ln 5}{\ln 10} \;\;\;\;\;\; (\approx 0,699 \;, \;dvs \; 10^{0,699} \approx 5 )
b) Uttryck 2-logaritmen för 100 i 10-logaritmer.
Om vi skriver upp sambandet som definerar log_2 100, 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100
och logaritmerar båda led med 10-logaritmen (\lg) så får vi att \lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100
Eftersom lg a^b = a \lg b så är \lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 och högerledet kan förenklas till \lg 100 = 2. Detta ger oss likheten \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2
Division med \lg 2 ger slutligen att \log_{\scriptstyle 2} 100 = \displaystyle \frac{2}{\lg 2} \;\;\;\;\;\; (\approx 6,64 \;, \;dvs \; 2^{6,64} \approx 100 )
|}
\log_b x = \displaystyle \frac{\log_{\scriptstyle a} x}{\log_{\scriptstyle a} b}
Exempel 10
a) Skriv 10^x med basen e.
Först skriver vi 10 som en potens av e, 10 = e^{\ln 10} \;\;
och använder sedan potenslagarna 10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{x \cdot \ln 10} \approx e^{2,3 x}
b) Skriv e^a med basen 10.
|} Råd för inläsning Tänk på att: Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer. Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring Läs mer om logaritmer på engelska Wikipedia Läs mer om Talet e i The MacTutor History of Mathematics archive
|
|