Loading jsMath...

Övn 4

Sommarmatte 1

Hoppa till: navigering, sök

Övning 4.1:1

Skriv i grader och radianer

a) \displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} b) \displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}
c) -\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv} d) \displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv}
a) 90^\circ\ och \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} b) 135^\circ\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}
c) -240^\circ\ och \ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad} d) 2910^\circ\ och \ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}


Övning 4.1:2

Omvandla till radianer

a) 45^\circ b) 135^\circ c) -63^\circ d) 270^\circ
a) \displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad} b) \displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad} c) -\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad} d) \displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}

Övning 4.1:3

Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x

a) Bild:O4_1_3a.gif‎ b) Bild:O4_1_3b.gif‎ c) Bild:O4_1_3c.gif‎
a) x=50 b) x=5 c) x=15

Övning 4.1:4

a) Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).
b) Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).
c) Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).
a) 5 \textrm{ l.e.}
b) \sqrt{61} \textrm{ l.e.}
c) (2,0)

Övning 4.1:5

a) Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.
b) Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).
a) (x-1)^2+(y-2)^2=4
b) (x-2)^2+(y+1)^2=13

Övning 4.1:6

Skissera följande cirklar

a) x^2+y^2=9 b) (x-1)^2+(y-2)^2=3
c) (3x-1)^2+(3y+7)^2=10
a) En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo. b) En cirkel med radie \sqrt 3 och medelpunkt i punkten (1, 2).
c) En cirkel med radie \frac{1}{3}\sqrt 10 och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).

Övning 4.1:7

Skissera följande cirklar

a) x^2+2x+y^2-2y=1 b) x^2+y^2+4y=0
c) x^2-2x+y^2+6y=-3 d) x^2-2x+y^2+2y=-2
"Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen"

Övning 4.1:8

Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?

\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv}

Övning 4.1:9

På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?

\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2

Övning 4.1:10

En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet \,x\, i figuren).

BILD
x=9 dm

Övning 4.2:1

Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x\, uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.

a) Bild:O4_2_1a.gif b) Bild:O4_2_1b.gif
c) Bild:O4_2_1c.gif d) Bild:O4_2_1d.gif
e) Bild:O4_2_1e.gif f) Bild:O4_2_1f.gif

Facit till alla delfrågor

a) x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62 b) x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2
c) x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7 d) x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0
e) x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2 f) x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9

Övning 4.2:2

Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln \,v\, uppfyller.

a) Bild:O4_2_2a.gif b) Bild:O4_2_2b.gif
c) Bild:O4_2_2c.gif d) Bild:O4_2_2d.gif
e) Bild:O4_2_2e.gif f) Bild:O4_2_2f.gif
a) \tan v=\displaystyle\frac{2}{5} b) \sin v=\displaystyle\frac{7}{11}
c) \cos v=\displaystyle\frac{5}{7} d) \sin v=\displaystyle\frac{3}{5}
e) v=30 ^\circ f) \sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}

Övning 4.2:3

Bestäm

a) \sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} b) \cos{2\pi} c) \sin{9\pi}
d) \cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}} e) \sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}} f) \cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}
a) -1 b) 1 c) 0
d) 0 e) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} f) \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

Övning 4.2:4

Bestäm

a) \cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}} b) \cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}} c) \tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}
d) \tan{\pi} e) \tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}} f) \tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}
a) \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} b) \displaystyle \frac{1}{2} c) -1
d) 0 e) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} f) \sqrt{3}

Övning 4.2:5

Bestäm

a) \cos{135^\circ} b) \tan{225^\circ} c) \cos{330^\circ} d) \tan{495^\circ}
a) -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} b) 1 c) \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} d) -1

Övning 4.2:6

Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x\,.

Bild:O4_2_6.gif
x= \sqrt{3}-1

Övning 4.2:7

För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?

Bild:O_4_2_7.gif
Älvens bredd är \ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1} m \approx 136{,}6 m.


Övning 4.2:8

En stång med längd \,\ell\, är upphängd i två linor med längd \,a\, resp. \,b\, enligt figuren. Linorna bildar vinklar \,\alpha\, resp. \,\beta\, med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln \,\gamma\, som stången bildar med vertikalen.

Bild:O_4_2_8.gif
\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta

Övning 4.2:9

Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)

Bild:O4_2_9.gif
Avståndet är \ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0 km.

Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar \,v\, mellan \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \,2\pi\, som uppfyller

a) \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} b) \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} c) \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}
a) v = \displaystyle \frac{9\pi}{5} b) v = \displaystyle \frac{6\pi}{7} c) v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}

Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar \,v\, mellan 0 och \,\pi\, som uppfyller

a) \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} b) \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}
a) v=\displaystyle \frac{\pi}{2} b) v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}

Övning 4.3:3

Antag att \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \,a

a) \sin{(-v)} b) \sin{(\pi-v)}
c) \cos{v} d) \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}
e) \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} f) \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}
a) -a b) a
c) \sqrt{1-a^2} d) \sqrt{1-a^2}
e) -a f) \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a

Övning 4.3:4

Antag att \,0 \leq v \leq \pi\, och att \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \,b\,

a) \sin^2{v} b) \sin{v}
c) \sin{2v} d) \cos{2v}
e) \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} f) \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}
a) 1-b^2 b) \sqrt{1-b^2}
c) 2b\sqrt{1-b^2} d) 2b^2-1
e) \sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} f) b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel \,v\, i en triangel gäller att \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \,\cos{v}\, och \,\tan{v}\,.

\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad och \quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,.

Övning 4.3:6

a) Bestäm \ \sin{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestäm \ \cos{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \,v\, ligger i den andra kvadranten.
c) Bestäm \ \sin{v}\ och \ \cos{v}\ om \ \tan{v}=3\ och \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.
a) \sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad och \quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,.
b) \cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad och \quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,.
c) \sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad och \quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,.

Övning 4.3:7

Bestäm \ \sin{(x+y)}\ om

a) \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,, \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten.
b) \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten.
a) \sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}
b) \sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}

Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a) \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v

Övning 4.3:9

Visa "Feynmans likhet"

\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på \,\sin 160^\circ\,.)

Övning 4.4:1

För vilka vinklar \,v\,, där \,0 \leq v\leq 2\pi\,, gäller att

a) \sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2} b) \cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}
c) \sin{v}=1 d) \tan{v}=1
e) \cos{v}=2 f) \sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}
g) \tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}
a) \displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6} b) \displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}
c) \displaystyle v=\frac{\pi}{2} d) \displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}
e) lösning saknas f) \displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}
g) \displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}

Övning 4.4:2

Lös ekvationen

a) \sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} b) \cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} c) \sin{x}=0
d) \sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} e) \sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2} f) \cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}
a)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right.

b)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right.

c) x=n\pi
d)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right.

e)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.

f)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.

Övning 4.4:3

Lös ekvationen

a) \cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}} b) \sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}
c) \sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ} d) \sin{3x}=\sin{15^\circ}
a)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi }\right.

b)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi }\right.

c)

\left\{\eqalign{ x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ }\right.

d)

\left\{\eqalign{ x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ }\right.

Övning 4.4:4

Bestäm de vinklar \,v\, i intervallet \,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\, som uppfyller \ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,.

v_1=50^\circ, \ \ v_2=120^\circ, \ \ v_3=230^\circ\ \ och \ \ v_4=300^\circ

Övning 4.4:5

Lös ekvationen

a) \sin{3x}=\sin{x} b) \tan{x}=\tan{4x}
c) \cos{5x}=\cos(x+\pi/5)
a)

\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2} }\right.

b) x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}
c)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3} }\right.

Övning 4.4:6

Lös ekvationen

a) \sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x b) \sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}
c) \sin 2x = -\sin x
a)

x=n\pi

b)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.

c)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr }\right.

Övning 4.4:7

Lös ekvationen

a) 2\sin^2{x}+\sin{x}=1 b) 2\sin^2{x}-3\cos{x}=0
c) \cos{3x}=\sin{4x}
a)

\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi }\right.

b) x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi
c)

\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7} }\right.

Övning 4.4:8

Lös ekvationen

a) \sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x} b) \sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}
c) \displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}
a)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi }\right.

b) x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi
c)

\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi }\right.

Personliga verktyg