Teori
Potenser
Vi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt
för upprepad addition av samma tal, t.ex.
$$
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}
$$
På ett liknande sätt används potenser som ett kortare
skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal:
$$
4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}
$$
Siffran 4 kallas för potensens bas och siffran 5 dess exponent.
Exempel 1
- $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
- $10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000$
- $0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$
- $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16$, men
$ -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$
- $ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$, men
$ (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36$
Exempel 2
- $ \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
$
- $(2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)=$
$
2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296
$
Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser:
$$\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m$$
Potenslagar
Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar
beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att
$$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm st }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8$$
vilket generellt kan skrivas
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}$$
Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas
$$
\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} =
2^{7-3}=2^4\mbox{.}
$$
Den allmänna regeln blir
$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}$$
När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare
en användbar räkneregel. Vi ser att
$$
(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm gånger}\ 2\ {\rm st}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{.}
$$
och
$$
(5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{2\cdot3}=5^6\mbox{.}
$$
Allmänt kan detta skrivas
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} $$
Exempel 3
- $
2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
$
- $
5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
$
- $
3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
$
- $
10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8
$
Exempel 4
- $\displaystyle\frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
$
- $\displaystyle\frac{7^{10}}{7} = \displaystyle\frac{7^{10}}{7^1} =7^{10-1} = 7^9
$
Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:
$$
\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{samtidigt som}\quad
\frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}
$$
För att räknereglerna för potenser ska stämma gör
man alltså den naturliga definitionen att för alla a som inte är 0 gäller att
Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är
större än den i täljaren. Vi får t.ex.
$$
\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{och}\quad
\frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} =
\frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}
$$
Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa
exponenten betyda att
$$
3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}
$$
Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla
tal a som inte är 0 gäller att
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}$$
Exempel 5
- $
\displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
$
- $
3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
$
- $
0{,}001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3}
$
- $
0{,}008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3}
$
- $
\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}
$
- $
\left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
$
- $
0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}
$
Om basen i ett potensuttryck är $-1$ så blir uttrycket alternerande $-1$ eller $+1$ beroende på exponentens värde
$$
\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr
(-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr
(-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr
(-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = 1\cr
\quad\hbox{o.s.v.}}
$$
Regeln är att $(-1)^n$ är lika med $-1$ om $n$ är udda och lika med $+1$ om $n$ är jämn.
Exempel 6
- $
(-1)^{56} = 1\quad$ eftersom $56$ är ett jämnt tal
- $
\displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1\quad$ eftersom 11 är ett udda tal
- $
\displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = $
$- 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$
Byte av bas
Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt
försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att
välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna
igen potenser av dessa tal, exempelvis
$$4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots$$
$$9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots$$
$$25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots$$
Men även
$$
\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots
$$
$$
\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots
$$
$$
\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots
$$
o.s.v.
Exempel 7
- Skriv $8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16$ som en potens med basen 2.
- $8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$
- Skriv $\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$ som en potens av basen 3.
- $\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$
- $\displaystyle\qquad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2$
- Skriv $\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$ så enkelt som möjligt:
- $\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$
- $\displaystyle\qquad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8$
Rationell exponent
Vad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande
de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan?
Eftersom exempelvis
$$2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$$
så måste $ 2^{1/2} $ vara samma sak som $\,\sqrt{2}\,$ i och med att $\,\sqrt2\,$ definieras som det tal som uppfyller $\,\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2\,$ .
Allmänt kan vi göra definitionen
$$a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}$$
Vi måste då förutsätta att $a\ge 0$, eftersom inget reellt tal multiplicerat med sig själv kan ge ett negativt tal.
Man ser också att exempelvis
$$5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5$$
som innebär att $\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,$ vilket kan generaliseras till att
$$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}$$
Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna $((a^m)^n=a^{m\cdot n})$ får vi att, för alla $a\ge0$ gäller att
$$a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$
eller
$$a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} $$
Exempel 8
- $27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad$ eftersom $3 \cdot 3 \cdot 3 =27$
- $
1000^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{1000^{1/3}}= \displaystyle \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \displaystyle \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} =\displaystyle\frac{1}{10^1} = \displaystyle\frac{1}{10}
$
- $
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{8}}= \displaystyle\frac{1}{8^{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{(2^3)^{1/2}}
= \displaystyle\frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
$
- $
\displaystyle\frac{1}{16^{-1/3}}= \displaystyle\frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}
$
Jämförelse av potenser
Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser,
kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten.
Om basen i en potens är större är än $1$ så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan $0$ och $1$ så blir potensen mindre istället när exponenten växer.
Exempel 9
- $\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad$ eftersom basen $3$ är större än $1$ och den första exponenten $5/6$ är större än den andra exponenten $3/4$.
- $ \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad$ eftersom basen är större än $1$ och exponenterna uppfyller $ -3/4 > - 5/6$.
- $ \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad$ eftersom basen $ 0{,}3$ är mellan $0$ och $1$ och $5 > 4$.
Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ: då blir potensen mindre när basen blir större.
Exempel 10
- $\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad$ eftersom basen $5$ är större än basen $4$ och båda potenserna har samma positiva exponenten $3/2$.
- $ \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad$ eftersom baserna uppfyller $2<3$ och potenserna har den negativa exponenten $-5/3$.
Ibland krävs det en omskrivning av potenserna för att kunna avgöra
storleksförhållandet. Vill man t.ex. jämföra
$125^2$ med $36^3$
kan man göra omskrivningarna
$$
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{och}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6
$$
varefter man kan konstatera att $36^3 > 125^2$.
Exempel 11
Avgör vilket tal som är störst av
- $ 25^{1/3} $ och $ 5^{3/4} $
Basen 25 kan skrivas om i termer av den andra basen $5$ genom att $25= 5\cdot 5= 5^2$. Därför är
- $25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}$
och då ser vi att
- $5^{3/4} > 25^{1/3} $
eftersom $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$ och basen $5$ är större än $1$.
- $(\sqrt{8}\,)^5 $ och $128$
Både $8$ och $128$ kan skrivas som potenser av $2$
- $ 8 = 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}$
- $ 128 = 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}$
Detta betyder att
- $(\sqrt{8}\,)^5 = (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}$
- $128 = 2^7 = 2^{14/2}$
och därför är
- $(\sqrt{8}\,)^5 > 128 $
i och med att $\frac{15}{2} > \frac{14}{2}$ och basen $2$ är större än $1$.
- $ (8^2)^{1/5} $ och $ (\sqrt{27}\,)^{4/5}$
Eftersom $8=2^3$ och $27=3^3$ så kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av $2$ respektive $3$,
- $(8^2)^{1/5} = (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}$
- $(\sqrt{27}\,)^{4/5} = (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.}$
Nu ser vi att
- $(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} $
eftersom $ 3>2$ och exponenten $\frac{6}{5}$ är positiv.
- $ 3^{1/3} $ och
$ 2^{1/2}$
Vi skriver exponenterna med gemensam nämnare
- $\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad$ och $\quad \displaystyle\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ .
Då har vi att
- $3^{1/3} = 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}$
- $2^{1/2} = 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}$
och vi ser att
- $ 3^{1/3} > 2^{1/2} $
eftersom $ 9>8$ och exponenten $1/6$ är positiv.
Tänk på att:
Ett tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skild från 0.
|
