Övningar 4.3
Sommarmatte 1
Övning 4.3:1
Bestäm de vinklar \,v\, mellan \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \,2\pi\, som uppfyller
| a) | \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} | b) | \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} | c) | \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}} |
Övning 4.3:2
Bestäm de vinklar \,v\, mellan 0 och \,\pi\, som uppfyller
| a) | \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} | b) | \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}} |
Övning 4.3:3
Antag att \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \,a
| a) | \sin{(-v)} | b) | \sin{(\pi-v)} |
| c) | \cos{v} | d) | \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)} |
| e) | \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} | f) | \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)} |
Övning 4.3:4
Antag att \,0 \leq v \leq \pi\, och att \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \,b\,
| a) | \sin^2{v} | b) | \sin{v} |
| c) | \sin{2v} | d) | \cos{2v} |
| e) | \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} | f) | \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)} |
Övning 4.3:5
För en spetsig vinkel \,v\, i en triangel gäller att \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \,\cos{v}\, och \,\tan{v}\,.
Övning 4.3:6
| a) | Bestäm \ \sin{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,. |
| b) | Bestäm \ \cos{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \,v\, ligger i den andra kvadranten. |
| c) | Bestäm \ \sin{v}\ och \ \cos{v}\ om \ \tan{v}=3\ och \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,. |
Övning 4.3:7
Bestäm \ \sin{(x+y)}\ om
| a) | \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,, \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten. |
| b) | \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten. |
Övning 4.3:8
Visa följande trigonometriska samband
| a) | \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v} |
| b) | \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v} |
| c) | \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u} |
| d) | \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v |
Övning 4.3:9
|
Visa "Feynmans likhet" \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på \,\sin 160^\circ\,.)
|
