Teori
Potenser
Vi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt
för upprepad addition av samma tal, t.ex.
$
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5
$
På ett liknande sätt används potenser som ett kortare
skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal:
$
4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5
$
Siffran 4 kallas för potensens bas och siffran 5 dess exponent.
Exempel 1
- $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
- $10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000$
- $0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$
- $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16 $ , men
$ -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$
- $ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 $ , men
$ (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36$
Exempel 2
- $ \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
$
- $(2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)=$
$
2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296
$
Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser:
$$\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m$$
Potenslagar
Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar
beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att
$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 5 \mbox{ st }} = \underbrace{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ (3 + 5) \mbox{st}} = 2^{3+5} = 2^8$
vilket generellt kan skrivas
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas:
$
\displaystyle\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} =
2^{7-3}=2^4
$
Den allmänna regeln blir
$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$$
När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare
en användbar räkneregel. Vi ser att
$
(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} = \underbrace{5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\,}_{ 3 \mbox{ gånger } 2 \mbox{ st }} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6
$
och
$
(5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} = \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,\cdot\,(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 2 \mbox{ gånger } 3 \mbox{ st }}=5^{2\cdot3}=5^6
$
Allmänt kan detta skrivas
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} $$
Exempel 3
- $
2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
$
- $
5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
$
- $
3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
$
- $
10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8
$
Exempel 4
- $\displaystyle\frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
$
- $\displaystyle\frac{7^{10}}{7} = \displaystyle\frac{7^{10}}{7^1} =7^{10-1} = 7^9
$
Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:
$
\displaystyle\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0 $
samtidigt som
$ \displaystyle\frac{5^3}{5^3} = \displaystyle\frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \displaystyle\frac{125}{125} = 1$.
För att räknereglerna för potenser ska stämma gör
man alltså den naturliga definitionen att för alla a som inte är 0 gäller att
Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är
större än den i täljaren. Vi får t.ex.
$
\displaystyle\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} $ och
$ \displaystyle\frac{3^4}{3^6} =
\displaystyle\frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} =
\displaystyle\frac{1}{3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3^2}
$
Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa
exponenten betyda att
$
3^{-2} = \displaystyle\frac{1}{3^2}
$
Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla
tal a som inte är 0 gäller att
$$a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}$$
Exempel 5
- $
(-1)^{56} = 1$ eftersom $56$ är ett jämnt tal
- $
\displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1$ eftersom 11 är ett udda tal
- $
\displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$
Exempel 6
- $
\displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
$
- $
3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
$
- $
(-1)^{-999} = \displaystyle\frac{1}{(-1)^{999}} = \displaystyle\frac{1}{-1} = -1
$
- $
0,001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3}
$
- $
0,008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3}
$
- $
\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}
$
- $
\left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
$
- $
0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}
$
Byte av bas
Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt
försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att
välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna
igen potenser av dessa tal, exempelvis
$
4=2^2 \;,\; 8=2^3 \;,\; 16=2^4 \;,\; 32=2^5 \;,\; 64=2^6 \;,\; 128=2^7 \;,\ldots
$
$
9=3^2 \;,\; 27=3^3 \;,\; 81=3^4 \;,\; 243=3^5 \;,\ldots
$
$
25=5^2 \;,\; 125=5^3 \;,\; 625=5^4 \;,\ldots
$
Men även
$
\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{2^2} = 2^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{2^3}=2^{-3} \;,\; \displaystyle\frac{1}{16}=\displaystyle\frac{1}{2^4}=2^{-4} \;,\ldots
$
$
\displaystyle \frac{1}{9}=\displaystyle \frac{1}{3^2}=3^{-2} \;,\; \displaystyle \frac{1}{27}=\displaystyle \frac{1}{3^3}=3^{-3} \;,\ldots
$
$
\displaystyle\frac{1}{25}=\displaystyle\frac{1}{5^2}=5^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{125}=\displaystyle\frac{1}{5^3}=5^{-3} \;,\ldots
$
o.s.v.
Exempel 7
- Skriv som en potens med basen 2:
$ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 $
Lösning:
$ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$
- Skriv som en potens av basen 3:
$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$
Lösning:
$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} =
\displaystyle\frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} =
\displaystyle\frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$
$ =
\displaystyle\frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} =
\displaystyle\frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \displaystyle\frac{3^{6 + 4}}{3^8}=
\displaystyle\frac{3^{10}}{3^8} =
3^{10-8}= 3^2$
- Skriv så enkelt som möjligt:
$\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$
Lösning:
$
\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}=
\displaystyle\frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} =
\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} =
\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$
$ =
\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} =
\displaystyle\frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } =
3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4}=
3^1 \cdot 2^8=
3\cdot 2^8
$
Rationell exponent
Vad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande
de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan?
Eftersom exempelvis
$\quad 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$ , så måste $ 2^{1/2} $ vara samma sak som $ \sqrt{2} $ eftersom
$\quad \sqrt2
$ är det tal som uppfyller
$\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$
Allmänt kan vi göra definitionen:
$
a^{1/2} = \sqrt{a}
$
Vi ser då att vi måste förutsätta att $a\ge 0$, eftersom t.ex.
$
(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}
$
inte är möjligt. Man ser också att exempelvis
$
5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} =
5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5
$
som innebär att
$ 5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5} $, vilket kan generaliseras till att
$$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}$$
Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna $((a^m)^n=a^{m\cdot n})$ får vi att, för alla $a\ge0$ gäller att
$$
a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$
eller
$$
a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a})^m $$
Exempel 8
- $
27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3$ eftersom $3 \cdot 3 \cdot 3 =27$
$
- $
1000^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{1000^{1/3}}= \displaystyle \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \displaystyle \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} =\displaystyle\frac{1}{10^1} = \displaystyle\frac{1}{10}
$
- $
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{8}}= \displaystyle\frac{1}{8^{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{(2^3)^{1/2}}
= \displaystyle\frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
$
- $
\displaystyle\frac{1}{16^{-1/3}}= \displaystyle\frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}
$
Råd för inläsning
Tänk på att:
text
Lästips
stående
Länktips
stående
© Copyright 2006, KTH Matematik
| 
