|
Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex.
$$\sqrt{x} + 3x = 2\,,$$
$$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,$$
$$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}$$
För att lösa rotekvationer vill man bli av med rottecknet.
Strategin för att uppnå detta är att skriva ekvationen
så att rottecknet blir ensamt kvar på ena sidan av likhetstecknet.
Sedan kvadrerar man båda led i ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), så att rottecknet försvinner och löser sedan den nya, kvadrerade, ekvationen.
När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får
fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror på att eventuella
minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Oavsett om man hade något
positivt eller negativt så har man alltid något positivt efter en kvadrering.
Därför måste man pröva de lösningar som man får fram.
Man behöver verifiera att de inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen,
utan också till den ursprungliga ekvationen.
Exempel 1
Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation
$$x = 2\mbox{.}$$
Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi
$$x^2 = 4\mbox{.}$$
Denna nya ekvation har två lösningar $\,x = 2\,$ eller $\,x = -2\,$.
Lösningen $\,x = 2\,$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $\,x = -2\,$ är en lösning som uppstod i den kvadrerade ekvationen.
Exempel 2
Lös ekvationen $\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x\,$.
Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med 2,
men vi kan också låta tvåan stå kvar. Om vi kvadrerar ekvationen
som den är får vi
$$4(x - 1) = (1 - x)^2$$
och utvecklar vi kvadraten fås
$$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}$$
Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas
$$x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}$$
Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller med den allmänna lösningsformeln.
Lösningarna blir $\,x = 3 \pm 2\,$, dvs. $\,x = 1\,$ eller $\,x = 5\,$.
Eftersom vi kvadrerar ekvationen finns risken att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$ också är lösningarna till den ursprungliga rotekvationen:
- $x = 1\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 1 = 0\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} = \mbox{HL}\,$ och ekvationen är uppfylld!
- $x = 5\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 5 = -4\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} \ne \mbox{HL}$ och ekvationen är inte uppfylld!
Ekvationen har därmed bara en lösning $\,x = 1 \,$.
Tänk på att:
När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen, s. k. falska rötter. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Därför måste man verifiera att de lösningar man får fram, inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också är lösningar till den ursprungliga ekvationen.
Du ska alltid pröva lösningen i rotekvationer.
|
