Övn 2

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 25 juni 2007 kl. 12.08 (redigera)
KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag)
(Övning 2.3:8)
← Gå till föregående ändring
Versionen från 25 juni 2007 kl. 12.10 (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag)
(Övning 2.3:10)
Gå till nästa ändring →
Rad 1 029: Rad 1 029:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Facit till alla delfrågor+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td>Se lösningarna.</td>+<td>Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen</td>
-</tr>+
-</table>+
-</div>+
-</div>+
- +
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Lösning till delfråga a)+
-<table width="100%" cellspacing="10px">+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:2_3_10a.gif]]+
-</td>+
-</tr>+
-</table>+
-</div>+
-</div>+
- +
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Lösning till delfråga b)+
-<table width="100%" cellspacing="10px">+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:2_3_10b-1(3).gif]]+
-</td>+
-</tr>+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:2_3_10b-2(3).gif]]+
-</td>+
-</tr>+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:2_3_10b-3(3).gif]]+
-</td>+
-</tr>+
-</table>+
-</div>+
-</div>+
- +
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Lösning till delfråga c)+
-<table width="100%" cellspacing="10px">+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:2_3_10c-1(2).gif]]+
-</td>+
-</tr>+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:2_3_10c-2(2).gif]]+
-</td>+
-</tr>+
-</table>+
-</div>+
-</div>+
- +
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Lösning till delfråga d)+
-<table width="100%" cellspacing="10px">+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:2_3_10d.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
</table> </table>
</div> </div>
</div> </div>

Versionen från 25 juni 2007 kl. 12.10


Övning 2.1:1

Utveckla

a) $3x(x-1)$ b) $(1+x-x^2)xy$ c) $-x^2(4-y^2)$
d) $x^3y^2\left(\displaystyle \frac{1}{y} - \frac{1}{xy}+1\right)$ e) $(x-7)^2$ f) $(5+4y)^2$
g) $(y^2-3x^3)^2$ h) $(5x^3+3x^5)^2$
a) $3x^2-3x$ b) $xy+x^2y-x^3y$ c) $-4x^2+x^2y^2$
d) $x^3y-x^2y+x^3y^2$ e) $x^2-14x+49$ f) $16y^2+40y+25$
g) $9x^6-6x^3y^2+y^4$ h) $9x^{10}+30x^8+25x^6$

Övning 2.1:2

Utveckla och förenkla så långt som möjligt

a) $(x-4)(x-5)-3x(2x-3)$ b) $(1-5x)(1+15x)-3(2-5x)(2+5x)$
c) $(3x+4)^2-(3x-2)(3x-8)$ d) $(3x^2+2)(3x^2-2)(9x^4+4)$
e) $(a+b)^2+(a-b)^2$
a) $-5x^2+20$ b) $10x-11$
c) $54x$ d) $81x^8-16$
e) $2a^2+2b^2$

Övning 2.1:3

Faktorisera så långt som möjligt

a) $x^2-36$ b) $5x^2-20$ c) $x^2+6x+9$
d) $x^2-10x+25$ e) $18x-2x^3$ f) $16x^2+8x+1$
a) $(x+6)(x-6)$ b) $5(x+2)(x-2)$ c) $(x+3)^2$
d) $(x-5)^2$ e) $-2x(x+3)(x-3)$ f) $(4x+1)^2$

Övning 2.1:4

Bestäm koefficienterna framför $\,x\,$ och $\,x^2\,$ när följande uttryck utvecklas

a) $(x+2)(3x^2-x+5)$
b) $(1+x+x^2+x^3)(2-x+x^2+x^4)$
c) $(x-x^3+x^5)(1+3x+5x^2)(2-7x^2-x^4)$
a) $5\,$ framför $\,x^2\,$, $\,3\,$ framför $\,x$
b) $2\,$ framför $\,x^2\,$, $\,1\,$ framför $\,x$
$\textrm{c) }$ $6\,$ framför $\,x^2\,$, $\,2\,$ framför $\,x$

Övning 2.1:5

Förenkla så långt som möjligt

a) $\displaystyle \frac{1}{x-x^2}-\displaystyle \frac{1}{x}$ b) $\displaystyle \frac{1}{y^2-2y}-\displaystyle \frac{2}{y^2-4}$
c) $\displaystyle \frac{(3x^2-12)(x^2-1)}{(x+1)(x+2)}$ d) $\displaystyle \frac{(y^2+4y+4)(2y-4)}{(y^2+4)(y^2-4)}$
a) $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ b) $-\displaystyle \frac{1}{y(y+2)}$
c) $3(x-2)(x-1)$ d) $\displaystyle \frac{2(y+2)}{y^2+4}$

Övning 2.1:6

Förenkla så långt som möjligt

a) $\left(x-y+\displaystyle\frac{x^2}{y-x}\right)$ $\left(\displaystyle\frac{y}{2x-y}-1\right)$ b) $\displaystyle \frac{x}{x-2}+\displaystyle \frac{x}{x+3}-2$
c) $\displaystyle \frac{2a+b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}$ d) $\displaystyle\frac{a-b+\displaystyle\frac{b^2}{a+b}}{1-\left(\displaystyle\frac{a-b}{a+b}\right)^2}$
a) $2y$ b) $\displaystyle\frac{-x+12}{(x-2)(x+3)}$
c) $\displaystyle\frac{b}{a(a-b)}$ d) $\displaystyle\frac{a(a+b)}{4b}$

Övning 2.1:7

Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck

a) $\displaystyle \frac{2}{x+3}-\frac{2}{x+5}$ b) $x+\displaystyle \frac{1}{x-1}+\displaystyle \frac{1}{x^2}$ c) $\displaystyle \frac{ax}{a+1}-\displaystyle \frac{ax^2}{(a+1)^2}$
a) $\displaystyle \frac{4}{(x+3)(x+5)}$ b) $\displaystyle \frac{x^4-x^3+x^2+x-1}{x^2(x-1)}$ c) $\displaystyle \frac{ax(a+1-x)}{(a+1)^2}$

Övning 2.1:8

Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck

a) $\displaystyle \frac{\displaystyle\ \frac{x}{x+1}\ }{\ 3+x\ }$ b) $\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{x}-\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle \frac{1}{x-3}}$ c) $\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+x}}}$
a) $\displaystyle \frac{x}{(x+3)(x+1)}$ b) $\displaystyle \frac{2(x-3)}{x}$ c) $\displaystyle \frac{x+2}{2x+3}$

Övning 2.2:1

Lös ekvationerna

a) $x-2=-1$ b) $2x+1=13$
c) $\displaystyle\frac{1}{3}x-1=x$ d) $5x+7=2x-6$
a) $x=1$ b) $x=6$
c) $x=-\displaystyle\frac{3}{2}$ d) $x=-\displaystyle\frac{13}{3}$

Övning 2.2:2

Lös ekvationerna

a) $\displaystyle\frac{5x}{6}-\displaystyle\frac{x+2}{9}=\displaystyle\frac{1}{2}$ b) $\displaystyle\frac{8x+3}{7}-\displaystyle\frac{5x-7}{4}=2$
c) $(x+3)^2-(x-5)^2=6x+4$ d) $(x^2+4x+1)^2+3x^4-2x^2=(2x^2+2x+3)^2$
a) $x=1$ b) $x=\displaystyle\frac{5}{3}$
c) $x=2$ d) $x=-2$

Övning 2.2:3

Lös ekvationerna

a) $\displaystyle\frac{x+3}{x-3}-\displaystyle\frac{x+5}{x-2}=0$
b) $\displaystyle\frac{4x}{4x-7}-\displaystyle\frac{1}{2x-3}=1$
c) $\left(\displaystyle\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\left(x^2+\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{6x-1}{3x-3}$
d) $\left(\displaystyle\frac{2}{x}-3\right)\left(\displaystyle\frac{1}{4x}+\frac{1}{2}\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{2}{3}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}+\frac{1}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{1}{3}\right)=0$
a) $x=9$
b) $x=\displaystyle\frac{7}{5}$
c) $x=\displaystyle\frac{4}{5}$
d) $x=\displaystyle\frac{1}{2}$

Övning 2.2:4

a) Skriv ekvationen för linjen $\,y=2x+3\,$ på formen $\,ax+by=c\,$.
b) Skriv ekvationen för linjen $\,3x+4y-5=0\,$ på formen $\,y=kx+m\,$.
a) $-2x+y=3$
b) $y=-\displaystyle\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$

Övning 2.2:5

a) Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $\,(2,3)\,$ och $\,(3,0)\,$.
b) Bestäm ekvationen för den räta linje som har riktningskoefficient $\,-3\,$ och går genom punkten $\,(1,-2)\,$.
c) Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(-1,2)\,$ och är parallell med linjen $\,y=3x+1\,$.
d) Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(2,4)\,$ och är vinkelrät mot linjen $\,y=2x+5\,$.
e) Bestäm riktningskoefficienten, $\,k\,$, för den räta linje som skär x-axeln i punkten $\,(5,0)\,$ och y-axeln i punkten $\,(0,-8)\,$.
a) $y=-3x+9$
b) $y=-3x+1$
c) $y=3x+5$
d) $y=-\displaystyle \frac{1}{2}x+5$
e) $k = \displaystyle\frac{8}{5}$

Övning 2.2:6

Finn skärningspunkten mellan följande linjer

a) $y=3x+5\ $ och x-axeln b) $y=-x+5\ $ och y-axeln
c) $4x+5y+6=0\ $ och y-axeln d) $x+y+1=0\ $ och $\ x=12$
e) $2x+y-1=0\ $ och $\ y-2x-2=0$
a) $\bigl(-\frac{5}{3},0\bigr)$ b) $(0,5)$
c) $\bigl(0,-\frac{6}{5}\bigr)$ d) $(12,-13)$
e) $\bigl(-\frac{1}{4},\frac{3}{2}\bigr)$

Övning 2.2:7

Skissera grafen till följande funktioner

a) $f(x)=3x-2$ b) $f(x)=2-x$ c) $f(x)=2$
a) Bild:Svar_o2_2_7a.gif‎ b) Bild:Svar_o2_2_7b.gif‎
c) Bild:Svar_o2_2_7c.gif‎

Övning 2.2:8

Rita in i ett xy-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller

a) $y \geq x $ b) $y < 3x -4 $ c) $2x+3y \leq 6 $
a) Bild:Svar_o2_2_8a.gif‎ b) Bild:Svar_o2_2_8b.gif‎
c) Bild:Svar_o2_2_8c.gif‎

Övning 2.2:9

Beräkna arean av den triangel som

a) har hörn i punkterna $\,(1,4)\,$, $\,(3,3)\,$ och $\,(1,0)\,$
b) begränsas av linjerna $\ x=2y\,$, $\ y=4\ $ och $\ y=10-2x\,$
c) beskrivs av olikheterna $\ x+y \geq -2\,$, $\ 2x-y \leq 2\ $ och $\ 2y-x \leq 2\,$
a) $4\,$ a.e.
b) $5\,$ a.e.
c) $6\,$ a.e.


Övning 2.3:1

Kvadratkomplettera följande uttryck

a) $x^2-2x$ b) $x^2+2x-1$ c) $5+2x-x^2$ d) $x^2+5x+3$
a) $(x-1)^2-1$ b) $(x+1)^2-2$ c) $-(x-1)^2+6$ d) $\bigl(x+\frac{5}{2}\bigr)^2-\frac{13}{4}$

Övning 2.3:2

Lös följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering

a) $x^2-4x+3=0$ b) $y^2+2y-15=0$ c) $y^2+3y+4=0$
d) $4x^2-28x+13=0$ e) $5x^2+2x-3=0$ f) $3x^2-10x+8=0$
a) $\left\{ \eqalign{ x_1 &= 1 \cr x_2 &= 3\cr }\right.$ b) $\left\{ \eqalign{ y_1 &= -5 \cr y_2 &= 3\cr }\right.$ c) saknar (reella) lösning
d) $ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\cr x_2 &= \textstyle\frac{13}{2}\cr }\right.$ e) $\left\{ \eqalign{ x_1 &= -1 \cr x_2 &= \textstyle\frac{3}{5}\cr }\right.$ f) $ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{4}{3}\cr x_2 &= 2\cr }\right.$

Övning 2.3:3

Lös följande ekvationer direkt

a) $x(x+3)=0$ b) $(x-3)(x+5)=0$
c) $5(3x-2)(x+8)=0$ d) $x(x+3)-x(2x-9)=0$
e) $(x+3)(x-1)-(x+3)(2x-9)=0$ f) $x(x^2-2x)+x(2-x)=0$
a) $\left\{ \eqalign{ x_1 &= 0 \cr x_2 & = -3\cr }\right.$ b) $\left\{ \eqalign{ x_1 &= 3 \cr x_2 & = -5\cr }\right. $
c) $\left\{ \eqalign{ x_1 & = \textstyle\frac{2}{3} \cr x_2 & = -8\cr }\right. $ d) $\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0\cr x_2 & = 12\cr }\right. $
e) $\left\{ \eqalign{ x_1 & = -3 \cr x_2 & = 8\cr }\right. $ f) $\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0 \cr x_2 & = 1 \cr x_3 & = 2 }\right. $

Övning 2.3:4

Bestäm en andragradsekvation som har rötterna

a) $-1\ $ och $\ 2$
b) $1+\sqrt{3}\ $ och $\ 1-\sqrt{3}$
c) $3\ $ och $\ \sqrt{3}$
a) $ax^2-ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.
b) $ax^2-2ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.
c) $ax^2-(3+\sqrt{3}\,)ax+3\sqrt{3}\,a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.

Övning 2.3:5

a) Bestäm en andragradsekvation som bara har $\,-7\,$ som rot.
b) Bestäm ett värde på $\,x\,$ som gör att uttrycket $\,4x^2-28x+48\,$ är negativt.
c) Ekvationen $\,x^2+4x+b=0\,$ har en rot $\,x=1\,$. Bestäm värdet på konstanten $\,b\,$.
a) Exempelvis $\ x^2+14x+49=0\,$.
b) $3< x<4$
c) $b=-5$

Övning 2.3:6

Bestäm det minsta värde som följande polynom antar

a) $x^2-2x+1$ b) $x^2-4x+2$ c) $x^2-5x+7$
a) $0$ b) $-2$ c) $\displaystyle \frac{3}{4}$

Övning 2.3:7

Bestäm det största värde som följande polynom antar

a) $1-x^2$ b) $-x^2+3x-4$ c) $x^2+x+1$
a) $1$ b) $\displaystyle -\frac{7}{4}$ c) saknar max

Övning 2.3:8

Skissera grafen till följande funktioner

a) $f(x)=x^2+1$ b) $f(x)=(x-1)^2+2$ c) $f(x)=x^2-6x+11$
Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen.

Övning 2.3:9

Hitta alla skärningspunkter mellan x-axeln och kurvan

a) $y=x^2-1$ b) $y=x^2-5x+6$ c) $y=3x^2-12x+9$
a) $(-1,0)\ $ och $\ (1,0)$ b) $(2,0)\ $ och $\ (3,0)$ c) $(1,0)\ $ och $\ (3,0)$

Övning 2.3:10

Rita in i ett xy-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller

a) $y \geq x^2\ $ och $\ y \leq 1 $ b) $y \leq 1-x^2\ $ och $\ x \geq 2y-3 $
c) $1 \geq x \geq y^2 $ d) $x^2 \leq y \leq x $
Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen

</div>

Personliga verktyg