Övn 4

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.09 (redigera)
KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag)
(Övning 4.2:8)
← Gå till föregående ändring
Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.10 (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag)
(Övning 4.2:9)
Gå till nästa ändring →
Rad 715: Rad 715:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
Rad 724: Rad 722:
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
-</div> 
- 
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> 
-<div class=NavHead>L&ouml;sning </div> 
-<div class=NavContent> 
-<table width="100%"> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_2_9-1(3).gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_2_9-2(3).gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_2_9-3(3).gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-</table> 
-</div> 
</div> </div>

Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.10

Övning 4.1:1

Skriv i grader och radianer

a) $\displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} $ b) $\displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}$
c) $-\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv}$ d) $\displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} $
a) $90^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} $ b) $135^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}$
c) $-240^\circ\ $ och $\ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad}$ d) $2910^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}$


Övning 4.1:2

Omvandla till radianer

a) $45^\circ$ b) $135^\circ$ c) $-63^\circ$ d) $270^\circ$
a) $\displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad}$ b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad}$ c) $-\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad}$ d) $\displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}$

Övning 4.1:3

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x$

a) Bild:O4_1_3a.gif‎ b) Bild:O4_1_3b.gif‎ c) Bild:O4_1_3c.gif‎
a) $x=50$ b) $x=5$ c) $x=15$

Övning 4.1:4

a) Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).
b) Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).
c) Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).
a) $5 \textrm{ l.e.}$
b) $\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$
c) $(2,0)$

Övning 4.1:5

a) Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.
b) Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).
a) $(x-1)^2+(y-2)^2=4$
b) $(x-2)^2+(y+1)^2=13$

Övning 4.1:6

Skissera följande cirklar

a) $x^2+y^2=9$ b) $(x-1)^2+(y-2)^2=3$
c) $(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$

Övning 4.1:7

Skissera följande cirklar

a) $x^2+2x+y^2-2y=1$ b) $x^2+y^2+4y=0$
c) $x^2-2x+y^2+6y=-3$ d) $x^2-2x+y^2+2y=-2$

Övning 4.1:8

Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?

$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $

Övning 4.1:9

På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?

$\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$

Övning 4.1:10

En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet $\,x\,$ i figuren).

BILD
$x=9$ dm

Övning 4.2:1

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.

a) Bild:O4_2_1a.gif b) Bild:O4_2_1b.gif
c) Bild:O4_2_1c.gif d) Bild:O4_2_1d.gif
e) Bild:O4_2_1e.gif f) Bild:O4_2_1f.gif

Facit till alla delfrågor

a) $x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$ b) $x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$
c) $x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$ d) $x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$
e) $x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$ f) $x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$

Övning 4.2:2

Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln $\,v\,$ uppfyller.

a) Bild:O4_2_2a.gif b) Bild:O4_2_2b.gif
c) Bild:O4_2_2c.gif d) Bild:O4_2_2d.gif
e) Bild:O4_2_2e.gif f) Bild:O4_2_2f.gif
a) $\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$ b) $\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$
c) $\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$ d) $\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$
e) $v=30 ^\circ$ f) $\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$

Övning 4.2:3

Bestäm

a) $\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$ b) $\cos{2\pi}$ c) $\sin{9\pi}$
d) $\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$ e) $\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ f) $\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$
a) $-1$ b) $1$ c) $0$
d) $0$ e) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ f) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

Övning 4.2:4

Bestäm

a) $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$ b) $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$ c) $\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$
d) $\tan{\pi}$ e) $\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$ f) $\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$
a) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $\displaystyle \frac{1}{2}$ c) $-1$
d) $0$ e) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ f) $\sqrt{3}$

Övning 4.2:5

Bestäm

a) $\cos{135^\circ}$ b) $\tan{225^\circ}$ c) $\cos{330^\circ}$ d) $\tan{495^\circ}$
a) $-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ b) $1$ c) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ d) $-1$

Övning 4.2:6

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.

Bild:O4_2_6.gif
$x= \sqrt{3}-1$

Övning 4.2:7

För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?

Bild:O_4_2_7.gif
Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.


Övning 4.2:8

En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.

Bild:O_4_2_8.gif
$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $

Övning 4.2:9

Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)

Bild:O4_2_9.gif
Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.
Personliga verktyg