Övn 4

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.06 (redigera)
KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag)
(Övning 4.2:3)
← Gå till föregående ändring
Nuvarande version (30 juni 2007 kl. 15.48) (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1m1gion (Diskussion | bidrag)
(Övning 4.1:10 - (Lade till bild i uppgiften. /Johan T))
 
(31 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 187: Rad 187:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Facit till alla delfrågor<br \>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo.</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\sqrt 3$ och medelpunkt i punkten (1, 2).</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\frac{1}{3}\sqrt 10$ och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
-</div> 
- 
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> 
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div> 
-<div class=NavContent> 
-Lösning till delfråga a) 
-<table width="100%"> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_1_6a.gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-</table> 
- 
-</div> 
-</div> 
- 
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> 
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV> 
-<div class=NavContent> 
-Lösning till delfråga b) 
-<table width="100%"> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_1_6b.gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-</table> 
-</div> 
-</div> 
- 
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> 
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</DIV> 
-<div class=NavContent> 
-Lösning till delfråga c) 
-<table width="100%"> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_1_6c-1(2).gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_1_6c-2(2).gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-</table> 
-</div> 
</div> </div>
Rad 275: Rad 223:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Facit till alla delfrågor<br \>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie $\sqrt 3$.</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2. </td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie $\sqrt 7$.</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">Endast punkten (1, -1). </td>
</tr> </tr>
 +
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
-</div> 
- 
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> 
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div> 
-<div class=NavContent> 
-Lösning till delfråga a) 
-<table width="100%"> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_1_7a-1(2).gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_1_7a-2(2).gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-</table> 
- 
-</div> 
-</div> 
- 
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> 
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV> 
-<div class=NavContent> 
-Lösning till delfråga b) 
-<table width="100%"> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_1_7b.gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-</table> 
-</div> 
-</div> 
- 
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> 
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</DIV> 
-<div class=NavContent> 
-Lösning till delfråga c) 
-<table width="100%"> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_1_7c.gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-</table> 
-</div> 
-</div> 
- 
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> 
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</DIV> 
-<div class=NavContent> 
-Lösning till delfråga d) 
-<table width="100%"> 
-<tr> 
-<td align="center"> 
-[[Bild:4_1_7d.gif]] 
-</td> 
-</tr> 
-</table> 
-</div> 
</div> </div>
Rad 397: Rad 282:
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
-<tr align="center">+<tr>
-<td class="ntext" width="100%">BILD</td>+<td align="center">
-</tr>+[[Bild:Uppg_4_1_10.gif]]
-<tr><td height="5px"/></tr>+</td>
 +</tr><tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
 +
</div> </div>
Rad 587: Rad 474:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Facit till alla delfrågor<br \>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
Rad 611: Rad 495:
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.2:5==
 +<div class="ovning">
 +Bestäm
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="25%">$\cos{135^\circ}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="25%">$\tan{225^\circ}$</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="25%">$\cos{330^\circ}$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="25%">$\tan{495^\circ}$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-Lösning till delfråga a)+<td class="ntext">a)</td>
-<table width="100%">+<td class="ntext" width="25%">$-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
-<tr>+<td class="ntext">b)</td>
-<td align="center">+<td class="ntext" width="25%">$1$</td>
-[[Bild:4_2_4a.gif]]+<td class="ntext">c)</td>
-</td>+<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="25%">$-1$</td>
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.2:6==
 +<div class="ovning">
 +Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="center">
 +<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_6.gif]]</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-Lösning till delfråga b)+<td class="ntext" width="100%">$x= \sqrt{3}-1$</td>
-<table width="100%">+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:4_2_4b-1(2).gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
-<tr>+<tr><td height="5px"/></tr>
-<td align="center">+</table>
-[[Bild:4_2_4b-2(2).gif]]+</div>
-</td>+ 
 +==Övning 4.2:7==
 +<div class="ovning">
 +För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="center">
 +<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_7.gif]]</td>
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext" width="100%">Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+ 
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>+==Övning 4.2:8==
-<div class=NavContent>+<div class="ovning">
-Lösning till delfråga c)+En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.
-<table width="100%">+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr>+<tr align="center">
-<td align="center">+<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_8.gif]]</td>
-[[Bild:4_2_4c.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext" width="100%">$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.2:9==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+Bilvägen från ''A'' till ''B'' består av tre rätlinjiga delar ''AP'', ''PQ'' och ''QB'', vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid ''P'' och ''Q'' är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från ''A'' till ''B''. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
-Lösning till delfråga d)+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<table width="100%">+<tr align="center">
-<tr>+<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_9.gif]]</td>
-<td align="center">+
-[[Bild:4_2_4d.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext" width="100%">Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.3:1==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</DIV>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller
-Lösning till delfråga e)+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<table width="100%">+<tr align="left">
-<tr>+<td class="ntext">a)</td>
-<td align="center">+<td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
-[[Bild:4_2_4e.gif]]+<td class="ntext">b)</td>
-</td>+<td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.3:2==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</div>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller
-Lösning till delfråga f)+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<table width="100%">+<tr align="left">
-<tr>+<td class="ntext">a)</td>
-<td align="center">+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>
-[[Bild:4_2_4f.gif]]+<td class="ntext">b)</td>
-</td>+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-==Övning 4.2:5==+==Övning 4.3:3==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Bestäm+Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$\cos{135^\circ}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$\tan{225^\circ}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$\cos{330^\circ}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td>
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$\tan{495^\circ}$</td> +<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 720: Rad 691:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Facit till alla delfrågor<br \>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$1$</td>+<td class="ntext" width="50%">$a$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$-1$</td> +<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.3:4==
 +<div class="ovning">
 +Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-Lösning till delfråga a)+<td class="ntext">a)</td>
-<table width="100%">+<td class="ntext" width="50%">$1-b^2$</td>
-<tr>+<td class="ntext">b)</td>
-<td align="center">+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}$</td>
-[[Bild:4_2_5a.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$2b\sqrt{1-b^2}$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$2b^2-1$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.3:5==
 +<div class="ovning">
 +För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-Lösning till delfråga b)+<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.</td>
-<table width="100%">+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:4_2_5b.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.3:6==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-Lösning till delfråga c)+<tr align="left" valign="top">
-<table width="100%">+<td class="ntext">a)</td>
-<tr>+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td>
-<td align="center">+
-[[Bild:4_2_5c.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td>
 +</tr>
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-Lösning till delfråga d)+<td class="ntext">a)</td>
-<table width="100%">+<td class="ntext" width="100%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.</td>
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:4_2_5d.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>
-==Övning 4.2:6==+==Övning 4.3:7==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.+Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr align="center">+<tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_6.gif]]</td> +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 807: Rad 834:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">$x= \sqrt{3}-1$</td> +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.3:8==
 +<div class="ovning">
 +Visa f&ouml;ljande trigonometriska samband
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>a)</td>
 +<td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>b)</td>
 +<td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>c)</td>
 +<td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>d)</td>
 +<td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning </div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-<table width="100%">+<td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när
-<tr>+du loggat in till kursen</td>
-<td align="center">+</tr>
-[[Bild:4_2_6.gif]]+<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 + 
 +==Övning 4.3:9==
 +<div class="ovning">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>
 +Visa "Feynmans likhet"
 +$$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$
 +(Ledtr&aring;d: Anv&auml;nd formeln f&ouml;r dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)
</td> </td>
</tr> </tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när
 +du loggat in till kursen</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-==Övning 4.2:7==+==&Ouml;vning 4.4:1==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?+För vilka vinklar $\,v\,$, där $\,0 \leq v\leq 2\pi\,$, gäller att
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr align="center">+<tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_7.gif]]</td> +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=1$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\tan{v}=1$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}=2$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">g)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 846: Rad 937:
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.</td> +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{2}$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">lösning saknas</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">g)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 852: Rad 962:
</div> </div>
- +==&Ouml;vning 4.4:2==
-==Övning 4.2:8==+
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.+L&ouml;s ekvationen
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr align="center">+<tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_8.gif]]</td> +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} $</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$\sin{x}=0$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$\cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 864: Rad 986:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $</td> +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$x=n\pi$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr
 +x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr
 +x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.$
 +</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==&Ouml;vning 4.4:3==
 +<div class="ovning">
 +Lös ekvationen
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ}$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{3x}=\sin{15^\circ}$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning </div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-<table width="100%">+<td class="ntext">a)</td>
-<tr>+<td class="ntext" width="50%">
-<td align="center">+$\left\{\eqalign{
-[[Bild:4_2_8-1(2).gif]]+x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi
 +}\right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi
 +}\right.$
</td> </td>
</tr> </tr>
-<tr>+<tr align="left">
-<td align="center">+<td class="ntext">c)</td>
-[[Bild:4_2_8-2(2).gif]]+<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr
 +x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ
 +}\right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr
 +x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ
 +}\right.$
</td> </td>
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==&Ouml;vning 4.4:4==
 +<div class="ovning">
 +Bestäm de vinklar $\,v\,$ i intervallet $\,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\,$ som uppfyller $\ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,$.
</div> </div>
-==Övning 4.2:9==+<div class="svar">
 +<table width="100%" cellpadding="10px">
 +<tr>
 +<td align="left">
 +$v_1=50^\circ$, $\ \ v_2=120^\circ$, $\ \ v_3=230^\circ\ \ $ och $\ \ v_4=300^\circ$
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 + 
 +==&Ouml;vning 4.4:5==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Bilvägen från ''A'' till ''B'' består av tre rätlinjiga delar ''AP'', ''PQ'' och ''QB'', vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid ''P'' och ''Q'' är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från ''A'' till ''B''. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)+Lös ekvationen
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr align="center">+<tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_9.gif]]</td> +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{3x}=\sin{x}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\tan{x}=\tan{4x}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{5x}=\cos(x+\pi/5)$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 905: Rad 1 120:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.</td> +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}
 +}\right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr
 +x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3}
 +}\right.$
 +</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==&Ouml;vning 4.4:6==
 +<div class="ovning">
 +Lös ekvationen
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin 2x = -\sin x$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning </div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-<table width="100%">+<td class="ntext">a)</td>
-<tr>+<td class="ntext" width="50%">
-<td align="center">+$x=n\pi$
-[[Bild:4_2_9-1(3).gif]]+</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.$
</td> </td>
</tr> </tr>
-<tr>+<tr align="left">
-<td align="center">+<td class="ntext">c)</td>
-[[Bild:4_2_9-2(3).gif]]+<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr
 +x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr
 +}\right.$
</td> </td>
</tr> </tr>
-<tr>+<tr><td height="5px"/></tr>
-<td align="center">+</table>
-[[Bild:4_2_9-3(3).gif]]+</div>
 + 
 +==&Ouml;vning 4.4:7==
 +<div class="ovning">
 +Lös ekvationen
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$2\sin^2{x}+\sin{x}=1$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$2\sin^2{x}-3\cos{x}=0$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{3x}=\sin{4x}$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 + 
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{ \matrix{
 +x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr
 +x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr
 +x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi
 +}\right.$
</td> </td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi $</td>
</tr> </tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{ \matrix{
 +x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr
 +x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7}
 +}\right.$
 +</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==&Ouml;vning 4.4:8==
 +<div class="ovning">
 +Lös ekvationen
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi
 +}\right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi
 +}\right.$
 +</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>

Nuvarande version

[redigera] Övning 4.1:1

Skriv i grader och radianer

a) $\displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} $ b) $\displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}$
c) $-\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv}$ d) $\displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} $
a) $90^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} $ b) $135^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}$
c) $-240^\circ\ $ och $\ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad}$ d) $2910^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}$


[redigera] Övning 4.1:2

Omvandla till radianer

a) $45^\circ$ b) $135^\circ$ c) $-63^\circ$ d) $270^\circ$
a) $\displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad}$ b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad}$ c) $-\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad}$ d) $\displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}$

[redigera] Övning 4.1:3

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x$

a) Bild:O4_1_3a.gif‎ b) Bild:O4_1_3b.gif‎ c) Bild:O4_1_3c.gif‎
a) $x=50$ b) $x=5$ c) $x=15$

[redigera] Övning 4.1:4

a) Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).
b) Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).
c) Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).
a) $5 \textrm{ l.e.}$
b) $\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$
c) $(2,0)$

[redigera] Övning 4.1:5

a) Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.
b) Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).
a) $(x-1)^2+(y-2)^2=4$
b) $(x-2)^2+(y+1)^2=13$

[redigera] Övning 4.1:6

Skissera följande cirklar

a) $x^2+y^2=9$ b) $(x-1)^2+(y-2)^2=3$
c) $(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$
a) En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo. b) En cirkel med radie $\sqrt 3$ och medelpunkt i punkten (1, 2).
c) En cirkel med radie $\frac{1}{3}\sqrt 10$ och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).

[redigera] Övning 4.1:7

Skissera följande cirklar

a) $x^2+2x+y^2-2y=1$ b) $x^2+y^2+4y=0$
c) $x^2-2x+y^2+6y=-3$ d) $x^2-2x+y^2+2y=-2$
a) En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie $\sqrt 3$. b) En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2.
c) En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie $\sqrt 7$.
d) Endast punkten (1, -1).

[redigera] Övning 4.1:8

Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?

$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $

[redigera] Övning 4.1:9

På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?

$\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$

[redigera] Övning 4.1:10

En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet $\,x\,$ i figuren).

Bild:Uppg_4_1_10.gif


$x=9$ dm

[redigera] Övning 4.2:1

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.

a) Bild:O4_2_1a.gif b) Bild:O4_2_1b.gif
c) Bild:O4_2_1c.gif d) Bild:O4_2_1d.gif
e) Bild:O4_2_1e.gif f) Bild:O4_2_1f.gif

Facit till alla delfrågor

a) $x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$ b) $x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$
c) $x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$ d) $x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$
e) $x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$ f) $x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$

[redigera] Övning 4.2:2

Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln $\,v\,$ uppfyller.

a) Bild:O4_2_2a.gif b) Bild:O4_2_2b.gif
c) Bild:O4_2_2c.gif d) Bild:O4_2_2d.gif
e) Bild:O4_2_2e.gif f) Bild:O4_2_2f.gif
a) $\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$ b) $\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$
c) $\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$ d) $\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$
e) $v=30 ^\circ$ f) $\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$

[redigera] Övning 4.2:3

Bestäm

a) $\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$ b) $\cos{2\pi}$ c) $\sin{9\pi}$
d) $\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$ e) $\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ f) $\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$
a) $-1$ b) $1$ c) $0$
d) $0$ e) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ f) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

[redigera] Övning 4.2:4

Bestäm

a) $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$ b) $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$ c) $\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$
d) $\tan{\pi}$ e) $\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$ f) $\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$
a) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $\displaystyle \frac{1}{2}$ c) $-1$
d) $0$ e) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ f) $\sqrt{3}$

[redigera] Övning 4.2:5

Bestäm

a) $\cos{135^\circ}$ b) $\tan{225^\circ}$ c) $\cos{330^\circ}$ d) $\tan{495^\circ}$
a) $-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ b) $1$ c) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ d) $-1$

[redigera] Övning 4.2:6

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.

Bild:O4_2_6.gif
$x= \sqrt{3}-1$

[redigera] Övning 4.2:7

För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?

Bild:O_4_2_7.gif
Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.


[redigera] Övning 4.2:8

En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.

Bild:O_4_2_8.gif
$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $

[redigera] Övning 4.2:9

Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)

Bild:O4_2_9.gif
Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.

[redigera] Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller

a) $\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$ b) $\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$ c) $\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$
a) $v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$ b) $v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$ c) $v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$

[redigera] Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller

a) $\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$ b) $\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$
a) $v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$ b) $v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$

[redigera] Övning 4.3:3

Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$

a) $\sin{(-v)}$ b) $\sin{(\pi-v)}$
c) $\cos{v}$ d) $\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$
e) $\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$ f) $\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$
a) $-a$ b) $a$
c) $\sqrt{1-a^2}$ d) $\sqrt{1-a^2}$
e) $-a$ f) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $

[redigera] Övning 4.3:4

Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$

a) $\sin^2{v}$ b) $\sin{v}$
c) $\sin{2v}$ d) $\cos{2v}$
e) $\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$ f) $\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$
a) $1-b^2$ b) $\sqrt{1-b^2}$
c) $2b\sqrt{1-b^2}$ d) $2b^2-1$
e) $\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $ f) $b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

[redigera] Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.

$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.

[redigera] Övning 4.3:6

a) Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.
b) Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.
c) Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.
a) $\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.
b) $\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.
c) $\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.

[redigera] Övning 4.3:7

Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om

a) $\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.
b) $\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.
a) $\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$
b) $\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$

[redigera] Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a) $\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$
b) $\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$
c) $\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$
d) $\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$
Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen

[redigera] Övning 4.3:9

Visa "Feynmans likhet" $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$ (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)

Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen

[redigera] Övning 4.4:1

För vilka vinklar $\,v\,$, där $\,0 \leq v\leq 2\pi\,$, gäller att

a) $\sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$ b) $\cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$
c) $\sin{v}=1$ d) $\tan{v}=1$
e) $\cos{v}=2$ f) $\sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}$
g) $\tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
a) $\displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}$ b) $\displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}$
c) $\displaystyle v=\frac{\pi}{2}$ d) $\displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}$
e) lösning saknas f) $\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}$
g) $\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}$

[redigera] Övning 4.4:2

Lös ekvationen

a) $\sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $\cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} $ c) $\sin{x}=0$
d) $\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $ e) $\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2}$ f) $\cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$
a)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right.$

b)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right.$

c) $x=n\pi$
d)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right.$

e)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.$

f)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.$

[redigera] Övning 4.4:3

Lös ekvationen

a) $\cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$ b) $\sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$
c) $\sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ}$ d) $\sin{3x}=\sin{15^\circ}$
a)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi }\right.$

b)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi }\right.$

c)

$\left\{\eqalign{ x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ }\right.$

d)

$\left\{\eqalign{ x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ }\right.$

[redigera] Övning 4.4:4

Bestäm de vinklar $\,v\,$ i intervallet $\,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\,$ som uppfyller $\ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,$.

$v_1=50^\circ$, $\ \ v_2=120^\circ$, $\ \ v_3=230^\circ\ \ $ och $\ \ v_4=300^\circ$

[redigera] Övning 4.4:5

Lös ekvationen

a) $\sin{3x}=\sin{x}$ b) $\tan{x}=\tan{4x}$
c) $\cos{5x}=\cos(x+\pi/5)$
a)

$\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2} }\right.$

b) $x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}$
c)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3} }\right.$

[redigera] Övning 4.4:6

Lös ekvationen

a) $\sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x$ b) $\sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}$
c) $\sin 2x = -\sin x$
a)

$x=n\pi$

b)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.$

c)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr }\right.$

[redigera] Övning 4.4:7

Lös ekvationen

a) $2\sin^2{x}+\sin{x}=1$ b) $2\sin^2{x}-3\cos{x}=0$
c) $\cos{3x}=\sin{4x}$
a)

$\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi }\right.$

b) $x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi $
c)

$\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7} }\right.$

[redigera] Övning 4.4:8

Lös ekvationen

a) $\sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x}$ b) $\sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}$
c) $\displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}$
a)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi }\right.$

b) $x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi$
c)

$\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi }\right.$

Personliga verktyg