Sommarmatte 1
Övning 4.1:1
Skriv i grader och radianer
| a) |
$\displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} $ |
b) |
$\displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}$ |
| c) |
$-\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv}$ |
d) |
$\displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} $ |
|
| a) |
$90^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} $ |
b) |
$135^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}$ |
| c) |
$-240^\circ\ $ och $\ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad}$ |
d) |
$2910^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}$ |
|
Övning 4.1:2
Omvandla till radianer
| a) |
$45^\circ$ |
b) |
$135^\circ$ |
c) |
$-63^\circ$ |
d) |
$270^\circ$ |
|
| a) |
$\displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad}$ |
b) |
$\displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad}$ |
c) |
$-\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad}$ |
d) |
$\displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}$ |
|
Övning 4.1:3
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x$
| a) |
$x=50$ |
b) |
$x=5$ |
c) |
$x=15$ |
|
Övning 4.1:4
| a) |
Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4). |
| b) |
Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1). |
| c) |
Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1). |
|
| a) |
$5 \textrm{ l.e.}$ |
| b) |
$\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$ |
| c) |
$(2,0)$ |
|
Övning 4.1:5
| a) |
Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2. |
| b) |
Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1). |
|
| a) |
$(x-1)^2+(y-2)^2=4$ |
| b) |
$(x-2)^2+(y+1)^2=13$ |
|
Övning 4.1:6
Skissera följande cirklar
| a) |
$x^2+y^2=9$ |
b) |
$(x-1)^2+(y-2)^2=3$ |
| c) |
$(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$ |
|
Facit
Facit till alla delfrågor
Övning 4.1:7
Skissera följande cirklar
| a) |
$x^2+2x+y^2-2y=1$ |
b) |
$x^2+y^2+4y=0$ |
| c) |
$x^2-2x+y^2+6y=-3$ |
d) |
$x^2-2x+y^2+2y=-2$ |
|
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) |
BILD |
b) |
BILD |
| c) |
BILD |
d) |
BILD |
|
Övning 4.1:8
Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?
|
|
$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $ |
|
Övning 4.1:9
På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?
|
| $\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$ |
|
Övning 4.1:10
En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet $\,x\,$ i figuren).
Övning 4.2:1
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.
Facit till alla delfrågor
| a) |
$x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$ |
b) |
$x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$ |
| c) |
$x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$ |
d) |
$x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$ |
| e) |
$x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$ |
f) |
$x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$ |
|
Övning 4.2:2
Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln $\,v\,$ uppfyller.
| a) |
$\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$ |
b) |
$\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$ |
| c) |
$\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$ |
d) |
$\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$ |
| e) |
$v=30 ^\circ$ |
f) |
$\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$ |
|
Övning 4.2:3
Bestäm
| a) |
$\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$ |
b) |
$\cos{2\pi}$ |
c) |
$\sin{9\pi}$ |
| d) |
$\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$ |
e) |
$\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ |
f) |
$\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$ |
|
| a) |
$-1$ |
b) |
$1$ |
c) |
$0$ |
| d) |
$0$ |
e) |
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
f) |
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
|
Övning 4.2:4
Bestäm
| a) |
$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$ |
b) |
$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$ |
c) |
$\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ |
| d) |
$\tan{\pi}$ |
e) |
$\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$ |
f) |
$\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$ |
|
| a) |
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
b) |
$\displaystyle \frac{1}{2}$ |
c) |
$-1$ |
| d) |
$0$ |
e) |
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ |
f) |
$\sqrt{3}$ |
|
Övning 4.2:5
Bestäm
| a) |
$\cos{135^\circ}$ |
b) |
$\tan{225^\circ}$ |
c) |
$\cos{330^\circ}$ |
d) |
$\tan{495^\circ}$ |
|
| a) |
$-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
b) |
$1$ |
c) |
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
d) |
$-1$ |
|
Övning 4.2:6
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.
Övning 4.2:7
För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
| Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m. |
|
Övning 4.2:8
En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.
Facit
| $\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $ |
|
Övning 4.2:9
Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
Facit
| Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km. |
|
