Övn 4

Sommarmatte 1

Version från den 30 juni 2007 kl. 15.48; KTH.SE:u1m1gion (Diskussion | bidrag)
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)
Hoppa till: navigering, sök

[redigera] Övning 4.1:1

Skriv i grader och radianer

a) $\displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} $ b) $\displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}$
c) $-\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv}$ d) $\displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} $
a) $90^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} $ b) $135^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}$
c) $-240^\circ\ $ och $\ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad}$ d) $2910^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}$


[redigera] Övning 4.1:2

Omvandla till radianer

a) $45^\circ$ b) $135^\circ$ c) $-63^\circ$ d) $270^\circ$
a) $\displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad}$ b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad}$ c) $-\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad}$ d) $\displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}$

[redigera] Övning 4.1:3

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x$

a) Bild:O4_1_3a.gif‎ b) Bild:O4_1_3b.gif‎ c) Bild:O4_1_3c.gif‎
a) $x=50$ b) $x=5$ c) $x=15$

[redigera] Övning 4.1:4

a) Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).
b) Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).
c) Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).
a) $5 \textrm{ l.e.}$
b) $\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$
c) $(2,0)$

[redigera] Övning 4.1:5

a) Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.
b) Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).
a) $(x-1)^2+(y-2)^2=4$
b) $(x-2)^2+(y+1)^2=13$

[redigera] Övning 4.1:6

Skissera följande cirklar

a) $x^2+y^2=9$ b) $(x-1)^2+(y-2)^2=3$
c) $(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$
a) En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo. b) En cirkel med radie $\sqrt 3$ och medelpunkt i punkten (1, 2).
c) En cirkel med radie $\frac{1}{3}\sqrt 10$ och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).

[redigera] Övning 4.1:7

Skissera följande cirklar

a) $x^2+2x+y^2-2y=1$ b) $x^2+y^2+4y=0$
c) $x^2-2x+y^2+6y=-3$ d) $x^2-2x+y^2+2y=-2$
a) En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie $\sqrt 3$. b) En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2.
c) En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie $\sqrt 7$.
d) Endast punkten (1, -1).

[redigera] Övning 4.1:8

Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?

$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $

[redigera] Övning 4.1:9

På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?

$\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$

[redigera] Övning 4.1:10

En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet $\,x\,$ i figuren).

Bild:Uppg_4_1_10.gif


$x=9$ dm

[redigera] Övning 4.2:1

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.

a) Bild:O4_2_1a.gif b) Bild:O4_2_1b.gif
c) Bild:O4_2_1c.gif d) Bild:O4_2_1d.gif
e) Bild:O4_2_1e.gif f) Bild:O4_2_1f.gif

Facit till alla delfrågor

a) $x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$ b) $x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$
c) $x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$ d) $x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$
e) $x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$ f) $x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$

[redigera] Övning 4.2:2

Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln $\,v\,$ uppfyller.

a) Bild:O4_2_2a.gif b) Bild:O4_2_2b.gif
c) Bild:O4_2_2c.gif d) Bild:O4_2_2d.gif
e) Bild:O4_2_2e.gif f) Bild:O4_2_2f.gif
a) $\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$ b) $\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$
c) $\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$ d) $\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$
e) $v=30 ^\circ$ f) $\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$

[redigera] Övning 4.2:3

Bestäm

a) $\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$ b) $\cos{2\pi}$ c) $\sin{9\pi}$
d) $\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$ e) $\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ f) $\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$
a) $-1$ b) $1$ c) $0$
d) $0$ e) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ f) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

[redigera] Övning 4.2:4

Bestäm

a) $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$ b) $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$ c) $\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$
d) $\tan{\pi}$ e) $\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$ f) $\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$
a) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $\displaystyle \frac{1}{2}$ c) $-1$
d) $0$ e) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ f) $\sqrt{3}$

[redigera] Övning 4.2:5

Bestäm

a) $\cos{135^\circ}$ b) $\tan{225^\circ}$ c) $\cos{330^\circ}$ d) $\tan{495^\circ}$
a) $-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ b) $1$ c) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ d) $-1$

[redigera] Övning 4.2:6

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.

Bild:O4_2_6.gif
$x= \sqrt{3}-1$

[redigera] Övning 4.2:7

För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?

Bild:O_4_2_7.gif
Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.


[redigera] Övning 4.2:8

En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.

Bild:O_4_2_8.gif
$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $

[redigera] Övning 4.2:9

Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)

Bild:O4_2_9.gif
Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.

[redigera] Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller

a) $\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$ b) $\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$ c) $\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$
a) $v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$ b) $v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$ c) $v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$

[redigera] Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller

a) $\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$ b) $\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$
a) $v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$ b) $v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$

[redigera] Övning 4.3:3

Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$

a) $\sin{(-v)}$ b) $\sin{(\pi-v)}$
c) $\cos{v}$ d) $\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$
e) $\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$ f) $\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$
a) $-a$ b) $a$
c) $\sqrt{1-a^2}$ d) $\sqrt{1-a^2}$
e) $-a$ f) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $

[redigera] Övning 4.3:4

Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$

a) $\sin^2{v}$ b) $\sin{v}$
c) $\sin{2v}$ d) $\cos{2v}$
e) $\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$ f) $\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$
a) $1-b^2$ b) $\sqrt{1-b^2}$
c) $2b\sqrt{1-b^2}$ d) $2b^2-1$
e) $\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $ f) $b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

[redigera] Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.

$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.

[redigera] Övning 4.3:6

a) Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.
b) Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.
c) Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.
a) $\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.
b) $\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.
c) $\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.

[redigera] Övning 4.3:7

Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om

a) $\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.
b) $\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.
a) $\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$
b) $\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$

[redigera] Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a) $\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$
b) $\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$
c) $\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$
d) $\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$
Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen

[redigera] Övning 4.3:9

Visa "Feynmans likhet" $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$ (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)

Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen

[redigera] Övning 4.4:1

För vilka vinklar $\,v\,$, där $\,0 \leq v\leq 2\pi\,$, gäller att

a) $\sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$ b) $\cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$
c) $\sin{v}=1$ d) $\tan{v}=1$
e) $\cos{v}=2$ f) $\sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}$
g) $\tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
a) $\displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}$ b) $\displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}$
c) $\displaystyle v=\frac{\pi}{2}$ d) $\displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}$
e) lösning saknas f) $\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}$
g) $\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}$

[redigera] Övning 4.4:2

Lös ekvationen

a) $\sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $\cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} $ c) $\sin{x}=0$
d) $\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $ e) $\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2}$ f) $\cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$
a)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right.$

b)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right.$

c) $x=n\pi$
d)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right.$

e)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.$

f)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.$

[redigera] Övning 4.4:3

Lös ekvationen

a) $\cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$ b) $\sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$
c) $\sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ}$ d) $\sin{3x}=\sin{15^\circ}$
a)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi }\right.$

b)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi }\right.$

c)

$\left\{\eqalign{ x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ }\right.$

d)

$\left\{\eqalign{ x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ }\right.$

[redigera] Övning 4.4:4

Bestäm de vinklar $\,v\,$ i intervallet $\,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\,$ som uppfyller $\ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,$.

$v_1=50^\circ$, $\ \ v_2=120^\circ$, $\ \ v_3=230^\circ\ \ $ och $\ \ v_4=300^\circ$

[redigera] Övning 4.4:5

Lös ekvationen

a) $\sin{3x}=\sin{x}$ b) $\tan{x}=\tan{4x}$
c) $\cos{5x}=\cos(x+\pi/5)$
a)

$\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2} }\right.$

b) $x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}$
c)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3} }\right.$

[redigera] Övning 4.4:6

Lös ekvationen

a) $\sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x$ b) $\sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}$
c) $\sin 2x = -\sin x$
a)

$x=n\pi$

b)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.$

c)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr }\right.$

[redigera] Övning 4.4:7

Lös ekvationen

a) $2\sin^2{x}+\sin{x}=1$ b) $2\sin^2{x}-3\cos{x}=0$
c) $\cos{3x}=\sin{4x}$
a)

$\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi }\right.$

b) $x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi $
c)

$\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7} }\right.$

[redigera] Övning 4.4:8

Lös ekvationen

a) $\sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x}$ b) $\sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}$
c) $\displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}$
a)

$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi }\right.$

b) $x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi$
c)

$\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi }\right.$

Personliga verktyg