Övningar 4.3

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 16 juli 2007 kl. 08.16 (redigera)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(Ny sida: __NOTOC__ ==Övning 4.3:1== <div class="ovning"> Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller <table width="100%" cellspacing="10px"> <tr...)
← Gå till föregående ändring
Versionen från 16 juli 2007 kl. 11.42 (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)

Gå till nästa ändring →
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__ __NOTOC__
-==Övning 4.3:1==+'''Övning 4.3:1'''
-<div class="ovning">+<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller
-<table width="100%" cellspacing="10px">+<table width="100%">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">a)</td>+<td class="ntext">a)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td> <td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
-<td class="ntext">b)</td>+<td class="ntext">b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td> <td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td>
-<td class="ntext">c)</td>+<td class="ntext">c)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td> <td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td>
</tr> </tr>
Rad 15: Rad 15:
</div> </div>
-==Övning 4.3:2==+'''Övning 4.3:2'''
-<div class="ovning">+<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller
-<table width="100%" cellspacing="10px">+<table width="100%">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">a)</td>+<td class="ntext">a)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>
-<td class="ntext">b)</td>+<td class="ntext">b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>
</tr> </tr>
Rad 29: Rad 29:
</div> </div>
-==Övning 4.3:3==+'''Övning 4.3:3'''
-<div class="ovning">+<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$ Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$
-<table width="100%" cellspacing="10px">+<table width="100%">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">a)</td>+<td class="ntext">a)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td>
-<td class="ntext">b)</td>+<td class="ntext">b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">c)</td>+<td class="ntext">c)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td>
-<td class="ntext">d)</td>+<td class="ntext">d)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">e)</td>+<td class="ntext">e)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>
-<td class="ntext">f)</td>+<td class="ntext">f)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>
</tr> </tr>
Rad 55: Rad 55:
</div> </div>
-==Övning 4.3:4==+'''Övning 4.3:4'''
-<div class="ovning">+<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$ Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$
-<table width="100%" cellspacing="10px">+<table width="100%">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">a)</td>+<td class="ntext">a)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td>
-<td class="ntext">b)</td>+<td class="ntext">b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">c)</td>+<td class="ntext">c)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td>
-<td class="ntext">d)</td>+<td class="ntext">d)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">e)</td>+<td class="ntext">e)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td>
-<td class="ntext">f)</td>+<td class="ntext">f)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td>
</tr> </tr>
Rad 81: Rad 81:
</div> </div>
-==Övning 4.3:5==+'''Övning 4.3:5'''
-<div class="ovning">+<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$. För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.
</div> </div>
-==Övning 4.3:6==+'''Övning 4.3:6'''
-<div class="ovning">+<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
-<table width="100%" cellspacing="10px">+<table width="100%">
<tr align="left" valign="top"> <tr align="left" valign="top">
-<td class="ntext">a)</td>+<td class="ntext">a)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td> <td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td>
</tr> </tr>
<tr align="left" valign="top"> <tr align="left" valign="top">
-<td class="ntext">b)</td>+<td class="ntext">b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td> <td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td>
</tr> </tr>
<tr align="left" valign="top"> <tr align="left" valign="top">
-<td class="ntext">c)</td>+<td class="ntext">c)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td> <td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td>
</tr> </tr>
Rad 105: Rad 105:
</div> </div>
-==Övning 4.3:7==+'''Övning 4.3:7'''
-<div class="ovning">+<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
-<table width="100%" cellspacing="10px">+<table width="100%">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">a)</td>+<td class="ntext">a)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td> <td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext">b)</td>+<td class="ntext">b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td> <td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
</tr> </tr>
Rad 121: Rad 121:
</div> </div>
-==Övning 4.3:8==+'''Övning 4.3:8'''
-<div class="ovning">+<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Visa f&ouml;ljande trigonometriska samband Visa f&ouml;ljande trigonometriska samband
-<table width="100%" cellspacing="10px">+<table width="100%">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext>a)</td>+<td class="ntext>a)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td> <td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext>b)</td>+<td class="ntext>b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td> <td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext>c)</td>+<td class="ntext>c)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td> <td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext>d)</td>+<td class="ntext>d)&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
<td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td> <td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td>
</tr> </tr>
Rad 144: Rad 144:
</div> </div>
-==Övning 4.3:9==+'''Övning 4.3:9'''
-<div class="ovning">+<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
-<table width="100%" cellspacing="10px">+<table width="100%">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext> <td class="ntext>

Versionen från 16 juli 2007 kl. 11.42

Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller

a)    $\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$ b)    $\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$ c)    $\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$

Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller

a)    $\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$ b)    $\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$

Övning 4.3:3

Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$

a)    $\sin{(-v)}$ b)    $\sin{(\pi-v)}$
c)    $\cos{v}$ d)    $\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$
e)    $\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$ f)    $\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$

Övning 4.3:4

Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$

a)    $\sin^2{v}$ b)    $\sin{v}$
c)    $\sin{2v}$ d)    $\cos{2v}$
e)    $\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$ f)    $\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$

Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.

Övning 4.3:6

a)    Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.
b)    Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.
c)    Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.

Övning 4.3:7

Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om

a)    $\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.
b)    $\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.

Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a)    $\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$
b)    $\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$
c)    $\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$
d)    $\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$

Övning 4.3:9

Visa "Feynmans likhet" $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$ (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)

Personliga verktyg