1.1 Olika typer av tal
Sommarmatte 1
Versionen från 30 april 2007 kl. 10.06 (redigera) Lina (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 2 maj 2007 kl. 12.32 (redigera) (ogör) Tek (Diskussion | bidrag) (Diverse smärre ändringar) Gå till nästa ändring → |
||
Rad 1: | Rad 1: | ||
+ | __NOTOC__ | ||
<table><tr><td width="600"> | <table><tr><td width="600"> | ||
- | =1.1 Olika typer av tal= | + | =1.1 Olika typer av tal= |
<div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> | ||
Rad 14: | Rad 15: | ||
<div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> | ||
- | '''Läromål:''' | + | '''Lärandemål:''' |
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | ||
Rad 20: | Rad 21: | ||
* Beräkna uttryck som innehåller heltal, de fyra räknesätten och parenteser. | * Beräkna uttryck som innehåller heltal, de fyra räknesätten och parenteser. | ||
* Veta skillnaden mellan naturliga tal, heltal, rationella tal och irrationella tal. | * Veta skillnaden mellan naturliga tal, heltal, rationella tal och irrationella tal. | ||
- | * Omvandla bråktal till decimalform och omvänt (liggande stolen) | + | * Omvandla bråktal till decimalform och omvänt. |
* Avgöra vilket av två bråktal som är störst, dels med decimalbråksutveckling, dels genom förlängning av bråken. | * Avgöra vilket av två bråktal som är störst, dels med decimalbråksutveckling, dels genom förlängning av bråken. | ||
* Ange ett närmevärde till decimaltal och bråktal med ett givet antal decimaler. | * Ange ett närmevärde till decimaltal och bråktal med ett givet antal decimaler. | ||
Rad 38: | Rad 39: | ||
==Räkneoperationer med tal== | ==Räkneoperationer med tal== | ||
- | Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer de grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text: | + | Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text: |
Bild: figur 1.1.1 | Bild: figur 1.1.1 | ||
- | När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas: | + | När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas |
- | $$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12 \; \mbox{.}$$ | + | $$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}$$ |
- | När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig: | + | När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig |
- | $$5-2=3, \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3 \; \mbox{.}$$ | + | $$5-2=3 \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}$$ |
Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden | Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden | ||
Rad 52: | Rad 53: | ||
- | När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig: | + | När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig |
- | $$3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4=5 \cdot 4 \cdot 3= 60 \; \mbox{.}$$ | + | $$3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4=5 \cdot 4 \cdot 3= 60 \,\mbox{.}$$ |
- | Vid division är ordningen av betydelse: | + | Vid division är ordningen av betydelse |
- | $$\displaystyle \frac{6}{3}=2 \quad \mbox{medan} \quad \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5 \; \mbox{.}$$ | + | $$\displaystyle \frac{6}{3}=2 \quad \mbox{medan} \quad \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}$$ |
==Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)== | ==Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)== | ||
Rad 64: | Rad 65: | ||
*Multiplikation och division (från vänster till höger) | *Multiplikation och division (från vänster till höger) | ||
*Addition och subtraktion (från vänster till höger) | *Addition och subtraktion (från vänster till höger) | ||
+ | |||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 1''' | '''Exempel 1''' | ||
- | Hakparanteserna visar vilken operation som utförs i varje led. | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>$3-(2\cdot ([3+2])-5)=3-([2\cdot 5]-5)=3-([10-5])=[3-5]=-2$ <br><br> | + | <li style="padding-bottom:5pt;">$3-(2\cdot \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2$</li> |
- | <li>$3-2\cdot ([3+2])-5 =3-([2\cdot 5])-5=[3-10]-5=[-7-5]=-12$ <br><br> | + | <li style="padding-bottom:5pt">$3-2\cdot \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12$</li> |
- | <li>$5+3\cdot\left(5-\left[\displaystyle\frac{-4}{2}\right]\right)-3\cdot(2+([2-4]))=5+3\cdot(5[-(-2)])-3\cdot(2[+(-2)])$ <br><br> | + | <li>$\displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5-\displaystyle\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))}-3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))}$<br/> |
- | $\ \ {}=5+3\cdot([5+2])-3\cdot([2-2])=5+[3\cdot 7] - [3\cdot 0]=[5+21-0]=26$ | + | $\qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)}-3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)}=5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26$</li> |
</ol> | </ol> | ||
Rad 84: | Rad 85: | ||
'''Exempel 2''' | '''Exempel 2''' | ||
- | Hakparanteserna visar vilken operation som utförs i varje led. | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>$\displaystyle \frac{7+5}{2} =\frac{12}{2} = 6$ <br><br> | + | <li style="padding-bottom:5pt;">$\displaystyle \frac{7+5}{2} =\frac{12}{2} = 6$</li> |
- | <li>$\displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2$ <br><br> | + | <li style="padding-bottom:5pt;">$\displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2$</li> |
- | <li>$\displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2$ | + | <li>$\displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2$</li> |
</ol> | </ol> | ||
Rad 99: | Rad 99: | ||
måste skrivas $(8 + 4 )/(2 + 4)$ på miniräknaren för att det korrekta svaret $2$ | måste skrivas $(8 + 4 )/(2 + 4)$ på miniräknaren för att det korrekta svaret $2$ | ||
- | ska erhållas. Ett vanligt misstag att skriva $8 + 4/2 + 4$, vilket av miniräknaren tolkas | + | ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva $8 + 4/2 + 4$, vilket av miniräknaren tolkas |
som $8 + 2 + 4 = 14$. | som $8 + 2 + 4 = 14$. | ||
Rad 108: | Rad 108: | ||
- | [[Bild:762280.gif |center]] | + | [[Bild:762280.gif ||center]] |
Rad 117: | Rad 117: | ||
- | ''Naturliga tal'' (symboliseras vanligen med bokstaven N) | + | ''Naturliga tal'' (symboliseras vanligen med bokstaven '''N''') |
De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ... | De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ... | ||
- | ''Heltal'' ( Z ) | + | ''Heltal'' ('''Z''') |
De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... | De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... | ||
- | ''Rationella tal'' ( Q ) | + | ''Rationella tal'' ('''Q''') |
Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex. | Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex. | ||
- | + | $$-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{o.s.v.}$$ | |
- | + | ||
- | $-\displaystyle \frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{o.s.v.}$ | + | |
- | + | ||
Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom | Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom | ||
- | + | $$-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$$ | |
- | + | ||
- | $-1 = \displaystyle \frac{-1}{1},\quad 0 = \displaystyle \frac{0}{1},\quad 1 = \displaystyle \frac{1}{1},\quad 2 = \displaystyle \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$ | + | |
- | + | ||
Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex. | Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex. | ||
- | + | $$2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{o.s.v.}$$ | |
- | + | ||
- | $2 = \displaystyle \frac{2}{1}=\displaystyle \frac{4}{2}=\displaystyle \frac{6}{3}= \displaystyle \frac{8}{4}=\displaystyle \frac{100}{50}=\displaystyle \frac{384}{192}\quad\mbox{o.s.v.}$ | + | |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 3''' | '''Exempel 3''' | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
+ | <li style="padding-bottom:5pt;"> Att multiplicera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma faktor kallas förlängning och förändrar inte talets värde | ||
+ | $$\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} =\frac{5}{15}\quad\mbox{o.s.v.}$$ | ||
+ | </li> | ||
- | + | <li>Att dividera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma tal kallas förkortning och förändrar inte heller talets värde | |
- | <li> | + | $$\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5} = \frac{15}{21} =\frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{o.s.v.}$$ |
- | + | </li> | |
- | + | ||
- | Att multiplicera täljare och nämnare | + | |
- | hos ett rationellt tal med samma tal kallas | + | |
- | förlängning och förändrar | + | |
- | inte talets värde: | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | :$\qquad\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} =\frac{5}{15}\quad\mbox{o.s.v.}$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | Att dividera täljare och nämnare hos | + | |
- | ett rationellt tal med samma tal kallas | + | |
- | förkortning och förändrar inte | + | |
- | heller talets värde: | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | :$\qquad\displaystyle \frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5} = \frac{15}{21} =\frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{o.s.v.}$ | + | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
+ | |||
''Irrationella tal'' | ''Irrationella tal'' | ||
De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel | De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel | ||
- | på irrationella tal är de flesta rötter, som | + | på irrationella tal är de flesta rötter, som $\sqrt{2}$ och $\sqrt{3}$ men även talet $\pi$ t.ex. |
- | + | ||
- | $\sqrt{2} \mbox{ och } \sqrt{3} \mbox{ men även talet } \pi\ \mbox{t.ex.}$ | + | |
===Decimalform=== | ===Decimalform=== | ||
Rad 190: | Rad 165: | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 4''' | '''Exempel 4''' | ||
- | + | $$1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}$$ | |
- | $\displaystyle 1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}$ | + | |
</div> | </div> | ||
Rad 197: | Rad 171: | ||
Således är talet $ \frac{3}{4} $ samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75. | Således är talet $ \frac{3}{4} $ samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75. | ||
- | [http://sv.wikipedia.org/wiki/Liggande_stolen Beskrivning av liggande stolen] | + | Läs om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Liggande_stolen liggande stolen] på wikipedia. |
Rad 204: | Rad 178: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\underline{0}$</li> | |
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333333... = 0{,}\underline{3}$</li> | |
- | <li> | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666... = 0{,}41\underline{6}$</li> |
- | + | <li>$\displaystyle\frac{1}{7} =0{,}142857142857... = 0{,}\underline{142857}$</li> | |
- | $\displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\underline{0}$ | + | </ol> |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333333... = 0{,}\underline{3}$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $\displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666... = 0{,}41\underline{6}$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $\displaystyle\frac{1}{7} =0{,}142857142857... = 0{,}\underline{142857}$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
(understrykningen markerar decimaler som upprepas) | (understrykningen markerar decimaler som upprepas) | ||
- | |||
- | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 243: | Rad 198: | ||
Talen $\pi$ och $\sqrt{2}$ är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling. | Talen $\pi$ och $\sqrt{2}$ är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling. | ||
- | |||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\, \ldots $</li> | |
- | + | <li>$\sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \,688\, \ldots $</li> | |
- | <li>$\pi=3{,}141 \:592 \: 653 \: 589 \:793 \: 238 \: 462 \:643 \ldots $ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li>$\sqrt{2}=1{,}414 \:213 \: 562 \:373 \: 095 \: 048 \: 801 \:688 \ldots $ | + | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 258: | Rad 208: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle 0{,}600\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $</li> | |
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} $</li> | |
- | <li>$\displaystyle 0{,}600\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $ | + | <li>$\displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400} $</li> |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li>$\displaystyle 0{,}35 = | + | |
- | \frac{35}{100} = \frac{7}{20} $ | + | |
- | + | ||
- | <li>$\displaystyle 0{,}0025 = | + | |
- | \frac{25}{10\:000} = \frac{1}{400} $ | + | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 274: | Rad 217: | ||
'''Exempel 8''' | '''Exempel 8''' | ||
- | Talet $x=0{,}215151515...$ | + | Talet $x=0{,}215151515...$ är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt |
- | är rationellt, eftersom det har en periodisk | + | |
- | decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella | + | |
- | tal som en kvot av två heltal på följande sätt | + | |
+ | Multiplicerar vi talet med 10 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger | ||
- | $\quad 10x = 2{,}151515\ldots$ | + | ::$\quad 10x = 2{,}151515\ldots$ |
+ | och multiplicerar vi talet med $10\cdot 10\cdot 10 = 1000$ flyttas decimalkommat tre steg åt höger | ||
- | $\quad 1000x = 215{,}1515\ldots$ | + | ::$\quad 1000x = 215{,}1515\ldots$ |
+ | Nu ser vi att $1000x$ och $10x$ har samma decimalutveckling så differensen mellan talen | ||
- | $\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\ldots -2{,}151515\ldots $ | + | ::$\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\ldots -2{,}151515\ldots $ |
+ | blir ett heltal | ||
- | $\quad 990x = 213 $ | + | ::$\quad 990x = 213\mathrm{.}$ |
+ | Alltså är | ||
- | $\quad\displaystyle x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}$ | + | ::$\quad\displaystyle x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}$ |
</div> | </div> | ||
Rad 303: | Rad 248: | ||
- | Vi använder symbolen | + | Vi använder symbolen $\approx$ (är ungefär lika med) för att markera att en avrundning har skett. |
- | $\approx$ | ||
- | |||
- | (är ungefär lika med) | ||
- | för att markera att en avrundning har skett. | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 9''' | '''Exempel 9''' | ||
Rad 314: | Rad 255: | ||
Avrundning till 3 decimalers noggrannhet: | Avrundning till 3 decimalers noggrannhet: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$1{,}0004 \approx 1,000$</li> | |
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$0{,}9999 \approx 1{,}000$</li> | |
- | <li> | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$2{,}9994999 \approx 2{,}999$</li> |
- | + | <li>$2{,}99950 \approx 3{,}000$</li> | |
- | + | ||
- | + | ||
- | $1{,}0004 \approx 1,000$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | $ 0{,}9999 \approx 1{,}000$ | + | |
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $2{,}9994999 \approx 2{,}999$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $ 2{,}99950 \approx 3{,}000$ | + | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 341: | Rad 266: | ||
Avrundning till 4 decimalers noggrannhet: | Avrundning till 4 decimalers noggrannhet: | ||
- | |||
- | |||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\pi \approx 3{,}1416 $</li> | |
- | + | <li>$\displaystyle\frac{2}{3} \approx 0{,}6667 $</li> | |
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $\pi \approx 3{,}1416 $ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $\displaystyle\frac{2}{3} \approx 0{,}6667 $ | + | |
- | + | ||
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 361: | Rad 275: | ||
Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna | Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna | ||
- | > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). | + | > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). |
Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom | Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom | ||
att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk | att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk | ||
Rad 368: | Rad 282: | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 11''' | '''Exempel 11''' | ||
- | |||
- | |||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li> Vilket är störst av talen $\ \displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\ 0,33$ ?<br/><br/> | |
- | + | ||
- | <li> Vilket är störst av talen | + | |
- | $\ \displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\ 0,33$ ? | + | |
- | </ol> | + | |
- | + | ||
- | <b>Lösning</b> | + | |
Vi har att | Vi har att | ||
+ | $$x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{och}\quad\displaystyle y = 0,33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}$$ | ||
- | $\qquad\displaystyle x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad$ och $\quad\displaystyle y = 0,33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}$. | + | Alltså är $x>y$ eftersom $100/300 > 99/300$.<br/> |
- | Alltså är $ x>y $ eftersom | + | Alternativt så kan man se att $1/3>0{,}33 $ eftersom $ 1/3=0{,}3333\ldots > 0{,}33$.</li> |
- | $100/300 > 99/300$. | + | |
- | Alternativt så kan man se att | + | <li> Vilket tal är störst av $\ \displaystyle \frac{2}{5}\ $och $\ \displaystyle \frac{3}{7}$ ?<br/><br/> |
- | $1/3>0{,}33 $ eftersom | + | |
- | $ 1/3=0{,}3333\ldots > | + | |
- | 0{,}33$. | + | |
+ | Skriv talen med gemensam nämnare, t.ex. 35: | ||
- | <ol type="a" start="2"> | + | $$\frac{2}{5} = \frac{14}{35}\quad\text{och}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}$$ |
- | + | Alltså är $\ \displaystyle\frac{3}{7}>\frac{2}{5}\ $ eftersom $\ \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}$.</li> | |
- | <li> Vilket tal är störst av $\ \displaystyle \frac{2}{5}\ $och $\ \displaystyle \frac{3}{7}$ ? | + | |
</ol> | </ol> | ||
- | |||
- | <b>Lösning:</b> | ||
- | |||
- | Skriv talen med gemensam nämnare, t.ex. | ||
- | 35: | ||
- | |||
- | $\quad\displaystyle \frac{2}{5} = | ||
- | \frac{14}{35}\ \ $ och $\ \ | ||
- | \displaystyle\frac{3}{7} = \frac{15}{35} | ||
- | $. | ||
- | |||
- | Alltså är $\ \displaystyle | ||
- | \frac{3}{7}>\frac{2}{5}\ $ eftersom | ||
- | $\ \displaystyle \frac{15}{35} > | ||
- | \frac{14}{35}$. | ||
</div> | </div> | ||
Rad 428: | Rad 316: | ||
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om | För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om | ||
- | |||
- | [http://www.theducation.se/kurser/gymaa/kursmoment/aaritmetik_sam/aaritmetik_sam.htm Theducations sammanfattning av Aritmetiken med övningar att träna själv på] | ||
[http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia] | [http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia] |
Versionen från 2 maj 2007 kl. 12.32
1.1 Olika typer av talInnehåll:
Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|
TeoriRäkneoperationer med talAtt arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text: Bild: figur 1.1.1 När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas $$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}$$ När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig $$5-2=3 \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}$$ Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan 2 och 5 är 3.
Vid division är ordningen av betydelse $$\displaystyle \frac{6}{3}=2 \quad \mbox{medan} \quad \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}$$ Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller:
Exempel 1
"Osynliga" parenteserVid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare. Exempel 2
Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare. Divisionen $$\displaystyle \frac{8+4}{2+4}$$ måste skrivas $(8 + 4 )/(2 + 4)$ på miniräknaren för att det korrekta svaret $2$ ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva $8 + 4/2 + 4$, vilket av miniräknaren tolkas som $8 + 2 + 4 = 14$. Olika typer av talDe tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje:
De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ...
De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex. $$-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{o.s.v.}$$ Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom $$-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$$ Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex. $$2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{o.s.v.}$$ Exempel 3
Irrationella tal De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel på irrationella tal är de flesta rötter, som $\sqrt{2}$ och $\sqrt{3}$ men även talet $\pi$ t.ex. DecimalformAlla typer av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtyckligt antal decimaler. Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger antalet ental, tiotal, hundratal, osv. Komm: Här ska figur 1.1.2 läggas in. Exempel 4 $$1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}$$ Ett rationellt tal kan skrivas på decimalform genom att utföra divisionen. Således är talet $ \frac{3}{4} $ samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75. Läs om liggande stolen på wikipedia.
Exempel 5
(understrykningen markerar decimaler som upprepas) Som synes har de rationella talen ovan en periodisk decimalutveckling, dvs. decimalutvecklingen slutar alltid med att en viss följd av decimaler upprepas i all oändlighet. Detta gäller för alla rationella tal och skiljer dessa från de irrationella, vilka inte har något periodiskt mönster i sin decimalutveckling. Omvänt gäller också att alla tal med en periodisk decimalutveckling är rationella tal. Exempel 6 Talen $\pi$ och $\sqrt{2}$ är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling.
Exempel 7
Exempel 8 Talet $x=0{,}215151515...$ är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt Multiplicerar vi talet med 10 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger
och multiplicerar vi talet med $10\cdot 10\cdot 10 = 1000$ flyttas decimalkommat tre steg åt höger
Nu ser vi att $1000x$ och $10x$ har samma decimalutveckling så differensen mellan talen
blir ett heltal
Alltså är
AvrundningEftersom det är opraktiskt att räkna med långa decimalutvecklingar så avrundar man ofta tal till ett lämpligt antal decimaler. Överenskommelsen som gäller är att siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4 avrundas nedåt medan 5, 6, 7, 8 och 9 avrundas uppåt.
Exempel 9 Avrundning till 3 decimalers noggrannhet:
Exempel 10 Avrundning till 4 decimalers noggrannhet:
Jämförelse av talMan anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk med gemensam nämnare. Exempel 11
Råd för inläsning Att tänka på Vara noggrann! Många lösningar blir fel på grund av misstag i avskriften eller andra enkla fel, och inte för att du skulle ha tänkt fel.
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia Vem upptäckte Nollan? Läs mer i "The MacTutor History of Mathematics archive" Liggande stolen - en beskrivning
Hur många färger behövs det för att färglägga en karta? Hur många gånger måste man blanda en kortlek? Vilket är det största primtalet? Finns det några "turnummer"? Vilket är det vackraste talet? Lyssna till den kända författaren och matematikern Simon Singh, som bland annat berättar om de magiska talen 4 och 7, om primtalen, Keplers högar och om nollan.
© Copyright 2007, math.se
|
|