1.1 Olika typer av tal
Sommarmatte 1
Versionen från 25 april 2007 kl. 08.24 (redigera) Lina (Diskussion | bidrag) (→Räkneoperationer med tal) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (29 juni 2007 kl. 12.14) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1tyze7e (Diskussion | bidrag) (Reella tal) |
||
(27 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
Rad 1: | Rad 1: | ||
+ | __NOTOC__ | ||
<table><tr><td width="600"> | <table><tr><td width="600"> | ||
- | =1.1 Olika typer av tal= | + | {{Info| |
- | + | ||
- | <div class="inforuta"> | + | |
'''Innehåll:''' | '''Innehåll:''' | ||
* Naturliga tal | * Naturliga tal | ||
* Negativa tal | * Negativa tal | ||
- | * Parenteser | + | * Prioriteringsregler och parenteser |
* Rationella tal | * Rationella tal | ||
- | * Irrationella tal | + | * Något om irrationella tal |
+ | * Reella tal | ||
+ | }} | ||
- | </div> | + | {{Info| |
- | + | '''Lärandemål:''' | |
- | <div class="inforuta"> | + | |
- | '''Läromål:''' | + | |
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | ||
Rad 20: | Rad 19: | ||
* Beräkna uttryck som innehåller heltal, de fyra räknesätten och parenteser. | * Beräkna uttryck som innehåller heltal, de fyra räknesätten och parenteser. | ||
* Veta skillnaden mellan naturliga tal, heltal, rationella tal och irrationella tal. | * Veta skillnaden mellan naturliga tal, heltal, rationella tal och irrationella tal. | ||
- | * Omvandla bråktal till decimalform och omvänt (liggande stolen) | + | * Omvandla bråktal till decimalform och omvänt. |
* Avgöra vilket av två bråktal som är störst, dels med decimalbråksutveckling, dels genom förlängning av bråken. | * Avgöra vilket av två bråktal som är störst, dels med decimalbråksutveckling, dels genom förlängning av bråken. | ||
* Ange ett närmevärde till decimaltal och bråktal med ett givet antal decimaler. | * Ange ett närmevärde till decimaltal och bråktal med ett givet antal decimaler. | ||
- | </div> | + | }} |
[[1.1 Övningar|Övningar]] | [[1.1 Övningar|Övningar]] | ||
Rad 38: | Rad 37: | ||
==Räkneoperationer med tal== | ==Räkneoperationer med tal== | ||
- | Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer de grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text: | + | Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text: |
- | Bild: figur 1.1.1 | + | [[Bild:t_1_1_1.gif|center]] |
- | När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas: | + | När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas |
- | $$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12 \; \mbox{.}$$ | + | $$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}$$ |
- | När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig: | + | När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig |
- | $$5-2=3, \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3 \; \mbox{.}$$ | + | $$5-2=3 \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}$$ |
Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden | Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden | ||
Rad 52: | Rad 51: | ||
- | När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig: | + | När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig |
- | $$3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4=5 \cdot 4 \cdot 3= 60 \; \mbox{.}$$ | + | $$3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4=5 \cdot 4 \cdot 3= 60 \,\mbox{.}$$ |
- | Vid division är ordningen av betydelse: | + | Vid division är ordningen av betydelse |
- | $$\displaystyle \frac{6}{3}=2 \quad \mbox{medan} \quad \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5 \; \mbox{.}$$ | + | $$\displaystyle \frac{6}{3}=2 \quad \mbox{medan} \quad \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}$$ |
==Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)== | ==Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)== | ||
Rad 64: | Rad 63: | ||
*Multiplikation och division (från vänster till höger) | *Multiplikation och division (från vänster till höger) | ||
*Addition och subtraktion (från vänster till höger) | *Addition och subtraktion (från vänster till höger) | ||
+ | |||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 1''' | '''Exempel 1''' | ||
- | Hakparanteserna visar vilken operation som utförs i varje led. | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>$3-(2\cdot ([3+2])-5)=3-([2\cdot 5]-5)=3-([10-5])=[3-5]=-2$ <br><br> | + | <li style="padding-bottom:5pt;">$3-(2\cdot \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2$</li> |
- | <li>$3-2\cdot ([3+2])-5 =3-([2\cdot 5])-5=[3-10]-5=[-7-5]=-12$ <br><br> | + | <li style="padding-bottom:5pt">$3-2\cdot \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12$</li> |
- | <li>$5+3\cdot\left(5-\left[\displaystyle\frac{-4}{2}\right]\right)-3\cdot(2+([2-4]))=5+3\cdot(5[-(-2)])-3\cdot(2[+(-2)])$ <br><br> | + | <li>$\displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5-\displaystyle\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))}-3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))}$<br/> |
- | $\ \ {}=5+3\cdot([5+2])-3\cdot([2-2])=5+[3\cdot 7] - [3\cdot 0]=[5+21-0]=26$ | + | $\qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)}-3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)}=5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26$</li> |
</ol> | </ol> | ||
Rad 84: | Rad 83: | ||
'''Exempel 2''' | '''Exempel 2''' | ||
- | Hakparanteserna visar vilken operation som utförs i varje led. | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>$\displaystyle \frac{7+5}{2} =\frac{12}{2} = 6$ <br><br> | + | <li style="padding-bottom:5pt;">$\displaystyle \frac{7+5}{2} =\frac{12}{2} = 6$</li> |
- | <li>$\displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2$ <br><br> | + | <li style="padding-bottom:5pt;">$\displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2$</li> |
- | <li>$\displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2$ | + | <li>$\displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2$</li> |
</ol> | </ol> | ||
Rad 99: | Rad 97: | ||
måste skrivas $(8 + 4 )/(2 + 4)$ på miniräknaren för att det korrekta svaret $2$ | måste skrivas $(8 + 4 )/(2 + 4)$ på miniräknaren för att det korrekta svaret $2$ | ||
- | ska erhållas. Ett vanligt misstag att skriva $8 + 4/2 + 4$, vilket av miniräknaren tolkas | + | ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva $8 + 4/2 + 4$, vilket av miniräknaren tolkas |
som $8 + 2 + 4 = 14$. | som $8 + 2 + 4 = 14$. | ||
Rad 106: | Rad 104: | ||
De tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., | De tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., | ||
kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje: | kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Bild:762280.gif ||center]] | ||
De reella talen "fyller" tallinjen, dvs. inga hål eller mellanrum finns någonstans längs | De reella talen "fyller" tallinjen, dvs. inga hål eller mellanrum finns någonstans längs | ||
- | tallinjen. Varje punkt på tallinjen kan anges med hjälp av en följd av decimaler. Mängden av de reella talen är alla decimaltal. Tallinjen visar också talen i storleksordning; ett tal till höger är alltid | + | tallinjen. Varje punkt på tallinjen kan anges med hjälp av en följd av decimaler. Mängden av de reella talen är alla decimaltal och betecknas med '''R'''. Tallinjen visar också talen i storleksordning; ett tal till höger är alltid |
större än ett tal till vänster. | större än ett tal till vänster. | ||
Man brukar dela upp de reella talen i följande typer av tal: | Man brukar dela upp de reella talen i följande typer av tal: | ||
- | ''Naturliga tal'' (symboliseras vanligen med bokstaven N) | + | ''Naturliga tal'' (symboliseras vanligen med bokstaven '''N''') |
De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ... | De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ... | ||
- | ''Heltal'' ( Z ) | + | ''Heltal'' ('''Z''') |
De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... | De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... | ||
- | ''Rationella tal'' ( Q ) | + | ''Rationella tal'' ('''Q''') |
Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex. | Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex. | ||
- | + | $$-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{o.s.v.}$$ | |
- | + | ||
- | $-\displaystyle \frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{o.s.v.}$ | + | |
- | + | ||
Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom | Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom | ||
- | + | $$-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$$ | |
- | + | ||
- | $-1 = \displaystyle \frac{-1}{1},\quad 0 = \displaystyle \frac{0}{1},\quad 1 = \displaystyle \frac{1}{1},\quad 2 = \displaystyle \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$ | + | |
- | + | ||
Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex. | Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex. | ||
- | + | $$2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{o.s.v.}$$ | |
- | + | ||
- | $2 = \displaystyle \frac{2}{1}=\displaystyle \frac{4}{2}=\displaystyle \frac{6}{3}= \displaystyle \frac{8}{4}=\displaystyle \frac{100}{50}=\displaystyle \frac{384}{192}\quad\mbox{o.s.v.}$ | + | |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 3''' | '''Exempel 3''' | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
+ | <li style="padding-bottom:5pt;"> Att multiplicera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma faktor kallas förlängning och förändrar inte talets värde | ||
+ | $$\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} =\frac{5}{15}\quad\mbox{o.s.v.}$$ | ||
+ | </li> | ||
- | + | <li>Att dividera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma tal kallas förkortning och förändrar inte heller talets värde | |
- | <li> | + | $$\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5} = \frac{15}{21} =\frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{o.s.v.}$$ |
- | + | </li> | |
- | + | ||
- | Att multiplicera täljare och nämnare | + | |
- | hos ett rationellt tal med samma tal kallas | + | |
- | förlängning och förändrar | + | |
- | inte talets värde: | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | :$\qquad\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} =\frac{5}{15}\quad\mbox{o.s.v.}$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | Att dividera täljare och nämnare hos | + | |
- | ett rationellt tal med samma tal kallas | + | |
- | förkortning och förändrar inte | + | |
- | heller talets värde: | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | :$\qquad\displaystyle \frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5} = \frac{15}{21} =\frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{o.s.v.}$ | + | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
+ | |||
''Irrationella tal'' | ''Irrationella tal'' | ||
De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel | De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel | ||
- | på irrationella tal är de flesta rötter, som | + | på irrationella tal är de flesta rötter, som $\sqrt{2}$ och $\sqrt{3}$ men även talet $\pi$ t.ex. |
- | + | ||
- | $\sqrt{2} \mbox{ och } \sqrt{3} \mbox{ men även talet } \pi\ \mbox{t.ex.}$ | + | |
===Decimalform=== | ===Decimalform=== | ||
Rad 184: | Rad 160: | ||
antalet ental, tiotal, hundratal, osv. | antalet ental, tiotal, hundratal, osv. | ||
- | Komm: Här ska figur 1.1.2 läggas in. | + | [[Bild:t_1_1_2.gif|center]] |
+ | |||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 4''' | '''Exempel 4''' | ||
- | + | $$1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}$$ | |
- | $\displaystyle 1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}$ | + | |
</div> | </div> | ||
Rad 194: | Rad 170: | ||
Således är talet $ \frac{3}{4} $ samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75. | Således är talet $ \frac{3}{4} $ samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75. | ||
- | [http://sv.wikipedia.org/wiki/Liggande_stolen Beskrivning av liggande stolen] | + | Läs om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Liggande_stolen liggande stolen] på wikipedia. |
Rad 201: | Rad 177: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\underline{0}$</li> | |
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333333... = 0{,}\underline{3}$</li> | |
- | <li> | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666... = 0{,}41\underline{6}$</li> |
- | + | <li>$\displaystyle\frac{1}{7} =0{,}142857142857... = 0{,}\underline{142857}$</li> | |
- | $\displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\underline{0}$ | + | </ol> |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333333... = 0{,}\underline{3}$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $\displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666... = 0{,}41\underline{6}$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $\displaystyle\frac{1}{7} =0{,}142857142857... = 0{,}\underline{142857}$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
(understrykningen markerar decimaler som upprepas) | (understrykningen markerar decimaler som upprepas) | ||
- | |||
- | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 240: | Rad 197: | ||
Talen $\pi$ och $\sqrt{2}$ är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling. | Talen $\pi$ och $\sqrt{2}$ är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling. | ||
- | |||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\, \ldots $</li> | |
- | + | <li>$\sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \,688\, \ldots $</li> | |
- | <li>$\pi=3{,}141 \:592 \: 653 \: 589 \:793 \: 238 \: 462 \:643 \ldots $ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li>$\sqrt{2}=1{,}414 \:213 \: 562 \:373 \: 095 \: 048 \: 801 \:688 \ldots $ | + | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 255: | Rad 207: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle 0{,}600\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $</li> | |
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} $</li> | |
- | <li>$\displaystyle 0{,}600\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $ | + | <li>$\displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400} $</li> |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li>$\displaystyle 0{,}35 = | + | |
- | \frac{35}{100} = \frac{7}{20} $ | + | |
- | + | ||
- | <li>$\displaystyle 0{,}0025 = | + | |
- | \frac{25}{10\:000} = \frac{1}{400} $ | + | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 271: | Rad 216: | ||
'''Exempel 8''' | '''Exempel 8''' | ||
- | Talet $x=0{,}215151515...$ | + | Talet $x=0{,}215151515...$ är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt |
- | är rationellt, eftersom det har en periodisk | + | |
- | decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella | + | |
- | tal som en kvot av två heltal på följande sätt | + | |
+ | Multiplicerar vi talet med 10 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger | ||
- | $\quad 10x = 2{,}151515\ldots$ | + | ::$\quad 10x = 2{,}151515\ldots$ |
+ | och multiplicerar vi talet med $10\cdot 10\cdot 10 = 1000$ flyttas decimalkommat tre steg åt höger | ||
- | $\quad 1000x = 215{,}1515\ldots$ | + | ::$\quad 1000x = 215{,}1515\ldots$ |
+ | Nu ser vi att $1000x$ och $10x$ har samma decimalutveckling så differensen mellan talen | ||
- | $\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\ldots -2{,}151515\ldots $ | + | ::$\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\ldots -2{,}151515\ldots $ |
+ | blir ett heltal | ||
- | $\quad 990x = 213 $ | + | ::$\quad 990x = 213\mathrm{.}$ |
+ | Alltså är | ||
- | $\quad\displaystyle x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}$ | + | ::$\quad\displaystyle x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}$ |
</div> | </div> | ||
Rad 300: | Rad 247: | ||
- | Vi använder symbolen | + | Vi använder symbolen $\approx$ (är ungefär lika med) för att markera att en avrundning har skett. |
- | $\approx$ | ||
- | |||
- | (är ungefär lika med) | ||
- | för att markera att en avrundning har skett. | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 9''' | '''Exempel 9''' | ||
Rad 311: | Rad 254: | ||
Avrundning till 3 decimalers noggrannhet: | Avrundning till 3 decimalers noggrannhet: | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$1{,}0004 \approx 1,000$</li> | |
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$0{,}9999 \approx 1{,}000$</li> | |
- | <li> | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$2{,}9994999 \approx 2{,}999$</li> |
- | + | <li>$2{,}99950 \approx 3{,}000$</li> | |
- | + | ||
- | + | ||
- | $1{,}0004 \approx 1,000$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | $ 0{,}9999 \approx 1{,}000$ | + | |
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $2{,}9994999 \approx 2{,}999$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $ 2{,}99950 \approx 3{,}000$ | + | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 338: | Rad 265: | ||
Avrundning till 4 decimalers noggrannhet: | Avrundning till 4 decimalers noggrannhet: | ||
- | |||
- | |||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\pi \approx 3{,}1416 $</li> | |
- | + | <li>$\displaystyle\frac{2}{3} \approx 0{,}6667 $</li> | |
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $\pi \approx 3{,}1416 $ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <li> | + | |
- | + | ||
- | $\displaystyle\frac{2}{3} \approx 0{,}6667 $ | + | |
- | + | ||
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 358: | Rad 274: | ||
Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna | Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna | ||
- | > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). | + | > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). |
Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom | Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom | ||
att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk | att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk | ||
Rad 365: | Rad 281: | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 11''' | '''Exempel 11''' | ||
- | + | <ol type="a"> | |
- | $a)$ Vilket är störst av talen | + | <li> Vilket är störst av talen $\ \displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\ 0,33$ ?<br/><br/> |
- | $\ \displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\ 0,33$ ? | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <b>Lösning</b> | + | |
Vi har att | Vi har att | ||
+ | $$x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{och}\quad\displaystyle y = 0,33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}$$ | ||
- | $\qquad\displaystyle x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad$ och $\quad\displaystyle y = 0,33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}$. | + | Alltså är $x>y$ eftersom $100/300 > 99/300$.<br/> |
- | Alltså är $ x>y $ eftersom | + | Alternativt så kan man se att $1/3>0{,}33 $ eftersom $ 1/3=0{,}3333\ldots > 0{,}33$.</li> |
- | $100/300 > 99/300$. | + | |
- | Alternativt så kan man se att | ||
- | $1/3>0{,}33 $ eftersom | ||
- | $ 1/3=0{,}3333\ldots > | ||
- | 0{,}33$. | ||
+ | <li> Vilket tal är störst av $\ \displaystyle \frac{2}{5}\ $och $\ \displaystyle \frac{3}{7}$ ?<br/><br/> | ||
- | $b)$ Vilket tal är störst av | + | Skriv talen med gemensam nämnare, t.ex. 35: |
- | $\ \displaystyle \frac{2}{5}\ | + | |
- | $ | + | |
- | och $\ \displaystyle \frac{3}{7} | + | |
- | $ ? | + | |
+ | $$\frac{2}{5} = \frac{14}{35}\quad\text{och}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}$$ | ||
- | <b>Lösning:</b> | + | Alltså är $\ \displaystyle\frac{3}{7}>\frac{2}{5}\ $ eftersom $\ \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}$.</li> |
- | + | </ol> | |
- | Skriv talen med gemensam nämnare, t.ex. | + | |
- | 35: | + | |
- | + | ||
- | $\quad\displaystyle \frac{2}{5} = | + | |
- | \frac{14}{35}\ \ $ och $\ \ | + | |
- | \displaystyle\frac{3}{7} = \frac{15}{35} | + | |
- | $. | + | |
- | + | ||
- | Alltså är $\ \displaystyle | + | |
- | \frac{3}{7}>\frac{2}{5}\ $ eftersom | + | |
- | $\ \displaystyle \frac{15}{35} > | + | |
- | \frac{14}{35}$. | + | |
</div> | </div> | ||
+ | [[1.1 Övningar|Övningar]] | ||
<div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> | ||
'''Råd för inläsning''' | '''Råd för inläsning''' | ||
+ | |||
+ | '''Grund- och slutprov''' | ||
+ | |||
+ | Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. | ||
+ | |||
'''Att tänka på''' | '''Att tänka på''' | ||
Rad 422: | Rad 322: | ||
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om | För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om | ||
- | |||
- | [http://www.theducation.se/kurser/gymaa/kursmoment/aaritmetik_sam/aaritmetik_sam.htm Theducations sammanfattning av Aritmetiken med övningar att träna själv på] | ||
[http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia] | [http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia] | ||
Rad 443: | Rad 341: | ||
</div> | </div> | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | ''' © Copyright 2006, KTH Matematik''' | ||
- | |||
- | |||
Nuvarande version
Innehåll:
Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|
[redigera] Teori[redigera] Räkneoperationer med talAtt arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text: När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas $$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}$$ När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig $$5-2=3 \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}$$ Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan 2 och 5 är 3.
Vid division är ordningen av betydelse $$\displaystyle \frac{6}{3}=2 \quad \mbox{medan} \quad \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}$$ [redigera] Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller:
Exempel 1
[redigera] "Osynliga" parenteserVid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare. Exempel 2
Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare. Divisionen $$\displaystyle \frac{8+4}{2+4}$$ måste skrivas $(8 + 4 )/(2 + 4)$ på miniräknaren för att det korrekta svaret $2$ ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva $8 + 4/2 + 4$, vilket av miniräknaren tolkas som $8 + 2 + 4 = 14$. [redigera] Olika typer av talDe tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje:
De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ...
De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex. $$-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{o.s.v.}$$ Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom $$-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$$ Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex. $$2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{o.s.v.}$$ Exempel 3
Irrationella tal De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel på irrationella tal är de flesta rötter, som $\sqrt{2}$ och $\sqrt{3}$ men även talet $\pi$ t.ex. [redigera] DecimalformAlla typer av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtyckligt antal decimaler. Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger antalet ental, tiotal, hundratal, osv. Exempel 4 $$1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}$$ Ett rationellt tal kan skrivas på decimalform genom att utföra divisionen. Således är talet $ \frac{3}{4} $ samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75. Läs om liggande stolen på wikipedia.
Exempel 5
(understrykningen markerar decimaler som upprepas) Som synes har de rationella talen ovan en periodisk decimalutveckling, dvs. decimalutvecklingen slutar alltid med att en viss följd av decimaler upprepas i all oändlighet. Detta gäller för alla rationella tal och skiljer dessa från de irrationella, vilka inte har något periodiskt mönster i sin decimalutveckling. Omvänt gäller också att alla tal med en periodisk decimalutveckling är rationella tal. Exempel 6 Talen $\pi$ och $\sqrt{2}$ är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling.
Exempel 7
Exempel 8 Talet $x=0{,}215151515...$ är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt Multiplicerar vi talet med 10 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger
och multiplicerar vi talet med $10\cdot 10\cdot 10 = 1000$ flyttas decimalkommat tre steg åt höger
Nu ser vi att $1000x$ och $10x$ har samma decimalutveckling så differensen mellan talen
blir ett heltal
Alltså är
[redigera] AvrundningEftersom det är opraktiskt att räkna med långa decimalutvecklingar så avrundar man ofta tal till ett lämpligt antal decimaler. Överenskommelsen som gäller är att siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4 avrundas nedåt medan 5, 6, 7, 8 och 9 avrundas uppåt.
Exempel 9 Avrundning till 3 decimalers noggrannhet:
Exempel 10 Avrundning till 4 decimalers noggrannhet:
[redigera] Jämförelse av talMan anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk med gemensam nämnare. Exempel 11
Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Vara noggrann! Många lösningar blir fel på grund av misstag i avskriften eller andra enkla fel, och inte för att du skulle ha tänkt fel.
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia Vem upptäckte Nollan? Läs mer i "The MacTutor History of Mathematics archive" Liggande stolen - en beskrivning
Hur många färger behövs det för att färglägga en karta? Hur många gånger måste man blanda en kortlek? Vilket är det största primtalet? Finns det några "turnummer"? Vilket är det vackraste talet? Lyssna till den kända författaren och matematikern Simon Singh, som bland annat berättar om de magiska talen 4 och 7, om primtalen, Keplers högar och om nollan.
|
|