1.1 Olika typer av tal
Sommarmatte 1
Versionen från 20 april 2007 kl. 13.16 (redigera) Adeline (Diskussion | bidrag) (→Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (29 juni 2007 kl. 12.14) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1tyze7e (Diskussion | bidrag) (Reella tal) |
||
(44 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
Rad 1: | Rad 1: | ||
+ | __NOTOC__ | ||
<table><tr><td width="600"> | <table><tr><td width="600"> | ||
- | =1.1 Olika typer av tal= | + | {{Info| |
- | + | ||
- | <div class="inforuta"> | + | |
'''Innehåll:''' | '''Innehåll:''' | ||
* Naturliga tal | * Naturliga tal | ||
* Negativa tal | * Negativa tal | ||
- | * Parenteser | + | * Prioriteringsregler och parenteser |
* Rationella tal | * Rationella tal | ||
- | * Irrationella tal | + | * Något om irrationella tal |
+ | * Reella tal | ||
+ | }} | ||
- | </div> | + | {{Info| |
- | + | '''Lärandemål:''' | |
- | <div class="inforuta"> | + | |
- | '''Läromål:''' | + | |
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | ||
Rad 20: | Rad 19: | ||
* Beräkna uttryck som innehåller heltal, de fyra räknesätten och parenteser. | * Beräkna uttryck som innehåller heltal, de fyra räknesätten och parenteser. | ||
* Veta skillnaden mellan naturliga tal, heltal, rationella tal och irrationella tal. | * Veta skillnaden mellan naturliga tal, heltal, rationella tal och irrationella tal. | ||
- | * Omvandla bråktal till decimalform och omvänt (liggande stolen) | + | * Omvandla bråktal till decimalform och omvänt. |
* Avgöra vilket av två bråktal som är störst, dels med decimalbråksutveckling, dels genom förlängning av bråken. | * Avgöra vilket av två bråktal som är störst, dels med decimalbråksutveckling, dels genom förlängning av bråken. | ||
* Ange ett närmevärde till decimaltal och bråktal med ett givet antal decimaler. | * Ange ett närmevärde till decimaltal och bråktal med ett givet antal decimaler. | ||
- | </div> | + | }} |
- | [[agjöeijö|Övningar]] | + | |
+ | [[1.1 Övningar|Övningar]] | ||
</td> | </td> | ||
Rad 31: | Rad 31: | ||
</td></tr> | </td></tr> | ||
- | <tr><td width=600> | + | <tr><td width="600"> |
<!-- huvudtexten --> | <!-- huvudtexten --> | ||
Rad 37: | Rad 37: | ||
==Räkneoperationer med tal== | ==Räkneoperationer med tal== | ||
- | Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer de grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text: | + | Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text: |
- | [[Bild:Fig_1_1_1.gif]] | + | [[Bild:t_1_1_1.gif|center]] |
+ | När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas | ||
+ | $$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}$$ | ||
- | När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas: | + | När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig |
+ | $$5-2=3 \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}$$ | ||
+ | Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden | ||
+ | mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan 2 och 5 är 3. | ||
- | :$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12$. | ||
+ | När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig | ||
+ | $$3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4=5 \cdot 4 \cdot 3= 60 \,\mbox{.}$$ | ||
- | När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig: | + | Vid division är ordningen av betydelse |
+ | $$\displaystyle \frac{6}{3}=2 \quad \mbox{medan} \quad \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}$$ | ||
+ | ==Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)== | ||
+ | När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller: | ||
- | :$5-2=3,$  medan  $2-5=-3$. | + | *Parenteser (parentesen "längst in" först) |
+ | *Multiplikation och division (från vänster till höger) | ||
+ | *Addition och subtraktion (från vänster till höger) | ||
- | Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden | + | <div class="exempel"> |
- | mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan 2 och 5 är 3. | + | '''Exempel 1''' |
+ | <ol type="a"> | ||
+ | <li style="padding-bottom:5pt;">$3-(2\cdot \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2$</li> | ||
+ | <li style="padding-bottom:5pt">$3-2\cdot \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12$</li> | ||
+ | <li>$\displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5-\displaystyle\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))}-3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))}$<br/> | ||
+ | $\qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)}-3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)}=5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26$</li> | ||
+ | </ol> | ||
- | När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig: | + | </div> |
+ | ==="Osynliga" parenteser=== | ||
+ | Vid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare. | ||
- | :$3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4=5 \cdot 4 \cdot 3= 60$. | + | <div class="exempel"> |
+ | '''Exempel 2''' | ||
+ | <ol type="a"> | ||
+ | <li style="padding-bottom:5pt;">$\displaystyle \frac{7+5}{2} =\frac{12}{2} = 6$</li> | ||
+ | <li style="padding-bottom:5pt;">$\displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2$</li> | ||
+ | <li>$\displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2$</li> | ||
+ | </ol> | ||
- | Vid division är ordningen av betydelse: | + | </div> |
+ | Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare. | ||
- | :$\displaystyle \frac{6}{3}=2$  medan  $\displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5$. | + | Divisionen |
+ | $$\displaystyle \frac{8+4}{2+4}$$ | ||
- | ==Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)== | + | måste skrivas $(8 + 4 )/(2 + 4)$ på miniräknaren för att det korrekta svaret $2$ |
+ | ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva $8 + 4/2 + 4$, vilket av miniräknaren tolkas | ||
+ | som $8 + 2 + 4 = 14$. | ||
+ | ==Olika typer av tal== | ||
- | När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller: | + | De tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., |
+ | kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje: | ||
- | |||
- | *Parenteser (parentesen "längst in" först) | ||
- | *Multiplikation och division (från vänster till höger) | ||
- | *Addition och subtraktion (från vänster till höger) | ||
+ | [[Bild:762280.gif ||center]] | ||
- | <div class="exempel"> | ||
- | '''Exempel 1''' | ||
- | Hakparanteserna visar vilken operation som utförs i varje led. | + | De reella talen "fyller" tallinjen, dvs. inga hål eller mellanrum finns någonstans längs |
+ | tallinjen. Varje punkt på tallinjen kan anges med hjälp av en följd av decimaler. Mängden av de reella talen är alla decimaltal och betecknas med '''R'''. Tallinjen visar också talen i storleksordning; ett tal till höger är alltid | ||
+ | större än ett tal till vänster. | ||
+ | Man brukar dela upp de reella talen i följande typer av tal: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Naturliga tal'' (symboliseras vanligen med bokstaven '''N''') | ||
+ | |||
+ | De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ... | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Heltal'' ('''Z''') | ||
+ | |||
+ | De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Rationella tal'' ('''Q''') | ||
+ | |||
+ | Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex. | ||
+ | $$-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{o.s.v.}$$ | ||
+ | |||
+ | Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom | ||
+ | $$-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$$ | ||
+ | |||
+ | Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex. | ||
+ | $$2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{o.s.v.}$$ | ||
+ | |||
+ | <div class="exempel"> | ||
+ | '''Exempel 3''' | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>$3-(2\cdot ([3+2])-5)=3-([2\cdot 5]-5)=3-([10-5])=[3-5]=-2$ | + | <li style="padding-bottom:5pt;"> Att multiplicera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma faktor kallas förlängning och förändrar inte talets värde |
- | <li>$3-2\cdot ([3+2])-5 =3-([2\cdot 5])-5=[3-10]-5=[-7-5]=-12$<li>$5+3\cdot\left(5-\left[\displaystyle\frac{-4}{2}\right]\right)-3\cdot(2+([2-4]))=5+3\cdot(5[-(-2)])-3\cdot(2[+(-2)])$ | + | $$\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} =\frac{5}{15}\quad\mbox{o.s.v.}$$ |
- | + | </li> | |
- | $\ \ {}=5+3\cdot([5+2])-3\cdot([2-2])=5+[3\cdot 7] - [3\cdot 0]=[5+21-0]=26$ | + | <li>Att dividera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma tal kallas förkortning och förändrar inte heller talets värde |
- | </ol> | + | $$\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5} = \frac{15}{21} =\frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{o.s.v.}$$ |
+ | </li> | ||
+ | </ol> | ||
+ | </div> | ||
+ | ''Irrationella tal'' | ||
+ | |||
+ | De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel | ||
+ | på irrationella tal är de flesta rötter, som $\sqrt{2}$ och $\sqrt{3}$ men även talet $\pi$ t.ex. | ||
+ | |||
+ | ===Decimalform=== | ||
+ | |||
+ | Alla typer av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtyckligt antal decimaler. | ||
+ | Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger | ||
+ | antalet ental, tiotal, hundratal, osv. | ||
+ | |||
+ | [[Bild:t_1_1_2.gif|center]] | ||
+ | |||
+ | <div class="exempel"> | ||
+ | '''Exempel 4''' | ||
+ | $$1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}$$ | ||
</div> | </div> | ||
+ | Ett rationellt tal kan skrivas på decimalform genom att utföra divisionen. | ||
+ | Således är talet $ \frac{3}{4} $ samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75. | ||
- | ==="Osynliga" parenteser=== | + | Läs om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Liggande_stolen liggande stolen] på wikipedia. |
- | Vid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare. | ||
+ | <div class="exempel"> | ||
+ | '''Exempel 5''' | ||
+ | <ol type="a"> | ||
+ | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\underline{0}$</li> | ||
+ | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333333... = 0{,}\underline{3}$</li> | ||
+ | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666... = 0{,}41\underline{6}$</li> | ||
+ | <li>$\displaystyle\frac{1}{7} =0{,}142857142857... = 0{,}\underline{142857}$</li> | ||
+ | </ol> | ||
+ | (understrykningen markerar decimaler som upprepas) | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | Som synes har de rationella talen ovan en periodisk decimalutveckling, dvs. | ||
+ | decimalutvecklingen slutar alltid med att en viss följd av decimaler upprepas | ||
+ | i all oändlighet. Detta gäller för alla rationella tal och skiljer | ||
+ | dessa från de irrationella, vilka inte har något periodiskt mönster | ||
+ | i sin decimalutveckling. | ||
+ | |||
+ | Omvänt gäller också att alla tal med en periodisk decimalutveckling är rationella tal. | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
- | '''Exempel 1''' | + | '''Exempel 6''' |
- | Hakparanteserna visar vilken operation som utförs i varje led. | + | Talen $\pi$ och $\sqrt{2}$ är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling. |
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>$\displaystyle \frac{7+5}{2} =\frac{12}{2} = 6$ | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\, \ldots $</li> |
- | <li>$\displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2$ | + | <li>$\sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \,688\, \ldots $</li> |
- | <li>$\displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2$ | + | |
</ol> | </ol> | ||
+ | </div> | ||
+ | <div class="exempel"> | ||
+ | '''Exempel 7''' | ||
+ | |||
+ | <ol type="a"> | ||
+ | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle 0{,}600\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $</li> | ||
+ | <li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} $</li> | ||
+ | <li>$\displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400} $</li> | ||
+ | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
- | Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare. | + | <div class="exempel"> |
- | Divisionen | + | '''Exempel 8''' |
+ | Talet $x=0{,}215151515...$ är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt | ||
- | $\displaystyle \frac{8+4}{2+4}$ | + | Multiplicerar vi talet med 10 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger |
+ | ::$\quad 10x = 2{,}151515\ldots$ | ||
- | måste skrivas (8 + 4 )/(2 + 4) på miniräknaren för att det korrekta svaret 2 | + | och multiplicerar vi talet med $10\cdot 10\cdot 10 = 1000$ flyttas decimalkommat tre steg åt höger |
- | ska erhållas. Ett vanligt misstag att skriva 8 + 4/2 + 4, vilket av miniräknaren tolkas | + | |
- | som 8 + 2 + 4 = 14. | + | |
- | ==Räkneoperationer med tal== | + | ::$\quad 1000x = 215{,}1515\ldots$ |
- | fristående formel dubbla dollar $$ | + | Nu ser vi att $1000x$ och $10x$ har samma decimalutveckling så differensen mellan talen |
- | teori igen | + | ::$\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\ldots -2{,}151515\ldots $ |
- | <div class="regel"> | + | blir ett heltal |
+ | ::$\quad 990x = 213\mathrm{.}$ | ||
- | '''Viktig regel:''' | + | Alltså är |
- | $$dubbeldollar$$ | + | |
+ | ::$\quad\displaystyle x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}$ | ||
</div> | </div> | ||
+ | |||
+ | ===Avrundning=== | ||
+ | |||
+ | Eftersom det är opraktiskt att räkna med långa decimalutvecklingar så | ||
+ | avrundar man ofta tal till ett lämpligt antal decimaler. Överenskommelsen som | ||
+ | gäller är att siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4 avrundas nedåt | ||
+ | medan 5, 6, 7, 8 och 9 avrundas uppåt. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Vi använder symbolen $\approx$ (är ungefär lika med) för att markera att en avrundning har skett. | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
- | '''Exempel 1''' | + | '''Exempel 9''' |
- | Exempeltext, använd nedanstående numrering | + | Avrundning till 3 decimalers noggrannhet: |
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
- | <li>$matte$ | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$1{,}0004 \approx 1,000$</li> |
- | <li>text | + | <li style="padding-bottom:3pt;">$0{,}9999 \approx 1{,}000$</li> |
+ | <li style="padding-bottom:3pt;">$2{,}9994999 \approx 2{,}999$</li> | ||
+ | <li>$2{,}99950 \approx 3{,}000$</li> | ||
</ol> | </ol> | ||
+ | </div> | ||
+ | <div class="exempel"> | ||
+ | '''Exempel 10''' | ||
+ | |||
+ | Avrundning till 4 decimalers noggrannhet: | ||
+ | <ol type="a"> | ||
+ | <li style="padding-bottom:3pt;">$\pi \approx 3{,}1416 $</li> | ||
+ | <li>$\displaystyle\frac{2}{3} \approx 0{,}6667 $</li> | ||
+ | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
- | ==Räkneoperationer med tal== | + | ==Jämförelse av tal== |
- | teori igen | + | |
+ | Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna | ||
+ | > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). | ||
+ | Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom | ||
+ | att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk | ||
+ | med gemensam nämnare. | ||
+ | |||
+ | <div class="exempel"> | ||
+ | '''Exempel 11''' | ||
+ | <ol type="a"> | ||
+ | <li> Vilket är störst av talen $\ \displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\ 0,33$ ?<br/><br/> | ||
+ | |||
+ | Vi har att | ||
+ | |||
+ | $$x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{och}\quad\displaystyle y = 0,33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}$$ | ||
+ | |||
+ | Alltså är $x>y$ eftersom $100/300 > 99/300$.<br/> | ||
+ | |||
+ | Alternativt så kan man se att $1/3>0{,}33 $ eftersom $ 1/3=0{,}3333\ldots > 0{,}33$.</li> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <li> Vilket tal är störst av $\ \displaystyle \frac{2}{5}\ $och $\ \displaystyle \frac{3}{7}$ ?<br/><br/> | ||
+ | |||
+ | Skriv talen med gemensam nämnare, t.ex. 35: | ||
+ | |||
+ | $$\frac{2}{5} = \frac{14}{35}\quad\text{och}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}$$ | ||
+ | |||
+ | Alltså är $\ \displaystyle\frac{3}{7}>\frac{2}{5}\ $ eftersom $\ \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}$.</li> | ||
+ | </ol> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | [[1.1 Övningar|Övningar]] | ||
+ | |||
<div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> | ||
'''Råd för inläsning''' | '''Råd för inläsning''' | ||
- | '''Tänk på att:''' | + | '''Grund- och slutprov''' |
- | text | + | Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. |
+ | |||
+ | |||
+ | '''Att tänka på''' | ||
+ | |||
+ | Vara noggrann! Många lösningar blir fel på grund av misstag i avskriften eller andra enkla fel, och inte för att du skulle ha tänkt fel. | ||
+ | |||
'''Lästips''' | '''Lästips''' | ||
- | stående | + | För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om |
- | '''Länktips''' | + | [http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia] |
- | stående | + | [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html Vem upptäckte Nollan? Läs mer i "The MacTutor History of Mathematics archive"] |
- | </div> | + | [http://www.fritext.se/matte/grunder/posi3.html Liggande stolen - en beskrivning] |
+ | [http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... Visste du att 0,999... = 1?] | ||
- | '''© Copyright 2006, KTH Matematik''' | ||
+ | '''Länktips''' | ||
+ | Hur många färger behövs det för att färglägga en karta? Hur många gånger måste man blanda en kortlek? Vilket är det största primtalet? Finns det några "turnummer"? Vilket är det vackraste talet? Lyssna till den kända författaren och matematikern Simon Singh, som bland annat berättar om de magiska talen 4 och 7, om primtalen, Keplers högar och om nollan. | ||
+ | |||
+ | [http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers1.shtml Lyssna på BBC-programmen "5 Numbers"] | ||
+ | |||
+ | [http://www.bbc.co.uk/radio4/science/another5.shtml Lyssna på BBC-programmen "Another 5 numbers"] | ||
+ | |||
+ | </div> | ||
Nuvarande version
Innehåll:
Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|
[redigera] Teori[redigera] Räkneoperationer med talAtt arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text: När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas $$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}$$ När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig $$5-2=3 \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}$$ Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan 2 och 5 är 3.
Vid division är ordningen av betydelse $$\displaystyle \frac{6}{3}=2 \quad \mbox{medan} \quad \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}$$ [redigera] Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller:
Exempel 1
[redigera] "Osynliga" parenteserVid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare. Exempel 2
Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare. Divisionen $$\displaystyle \frac{8+4}{2+4}$$ måste skrivas $(8 + 4 )/(2 + 4)$ på miniräknaren för att det korrekta svaret $2$ ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva $8 + 4/2 + 4$, vilket av miniräknaren tolkas som $8 + 2 + 4 = 14$. [redigera] Olika typer av talDe tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje:
De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ...
De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex. $$-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{o.s.v.}$$ Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom $$-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$$ Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex. $$2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{o.s.v.}$$ Exempel 3
Irrationella tal De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel på irrationella tal är de flesta rötter, som $\sqrt{2}$ och $\sqrt{3}$ men även talet $\pi$ t.ex. [redigera] DecimalformAlla typer av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtyckligt antal decimaler. Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger antalet ental, tiotal, hundratal, osv. Exempel 4 $$1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}$$ Ett rationellt tal kan skrivas på decimalform genom att utföra divisionen. Således är talet $ \frac{3}{4} $ samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75. Läs om liggande stolen på wikipedia.
Exempel 5
(understrykningen markerar decimaler som upprepas) Som synes har de rationella talen ovan en periodisk decimalutveckling, dvs. decimalutvecklingen slutar alltid med att en viss följd av decimaler upprepas i all oändlighet. Detta gäller för alla rationella tal och skiljer dessa från de irrationella, vilka inte har något periodiskt mönster i sin decimalutveckling. Omvänt gäller också att alla tal med en periodisk decimalutveckling är rationella tal. Exempel 6 Talen $\pi$ och $\sqrt{2}$ är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling.
Exempel 7
Exempel 8 Talet $x=0{,}215151515...$ är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt Multiplicerar vi talet med 10 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger
och multiplicerar vi talet med $10\cdot 10\cdot 10 = 1000$ flyttas decimalkommat tre steg åt höger
Nu ser vi att $1000x$ och $10x$ har samma decimalutveckling så differensen mellan talen
blir ett heltal
Alltså är
[redigera] AvrundningEftersom det är opraktiskt att räkna med långa decimalutvecklingar så avrundar man ofta tal till ett lämpligt antal decimaler. Överenskommelsen som gäller är att siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4 avrundas nedåt medan 5, 6, 7, 8 och 9 avrundas uppåt.
Exempel 9 Avrundning till 3 decimalers noggrannhet:
Exempel 10 Avrundning till 4 decimalers noggrannhet:
[redigera] Jämförelse av talMan anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk med gemensam nämnare. Exempel 11
Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Vara noggrann! Många lösningar blir fel på grund av misstag i avskriften eller andra enkla fel, och inte för att du skulle ha tänkt fel.
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia Vem upptäckte Nollan? Läs mer i "The MacTutor History of Mathematics archive" Liggande stolen - en beskrivning
Hur många färger behövs det för att färglägga en karta? Hur många gånger måste man blanda en kortlek? Vilket är det största primtalet? Finns det några "turnummer"? Vilket är det vackraste talet? Lyssna till den kända författaren och matematikern Simon Singh, som bland annat berättar om de magiska talen 4 och 7, om primtalen, Keplers högar och om nollan.
|
|