1.1 Olika typer av tal

Övningar

Teori

Räkneoperationer med tal

Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer de grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text:

När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas:

$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12$.

När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig:

$5-2=3,$  medan  $2-5=-3$.

Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan 2 och 5 är 3.

När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig:

$3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4=5 \cdot 4 \cdot 3= 60$.

Vid division är ordningen av betydelse:

$\displaystyle \frac{6}{3}=2$  medan  $\displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5$.

Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)

När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller:

• Parenteser (parentesen "längst in" först)
• Multiplikation och division (från vänster till höger)
• Addition och subtraktion (från vänster till höger)

"Osynliga" parenteser

Vid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare.

Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare. Divisionen

$\displaystyle \frac{8+4}{2+4}$

måste skrivas (8 + 4 )/(2 + 4) på miniräknaren för att det korrekta svaret 2 ska erhållas. Ett vanligt misstag att skriva 8 + 4/2 + 4, vilket av miniräknaren tolkas som 8 + 2 + 4 = 14.

Viktig regel: $$dubbeldollar$$ </div>

Olika typer av tal

De tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje:

De reella talen "fyller" tallinjen, dvs. inga hål eller mellanrum finns någonstans längs tallinjen. Varje punkt på tallinjen kan anges med hjälp av en följd av decimaler. Mängden av de reella talen är alla decimaltal. Tallinjen visar också talen i storleksordning; ett tal till höger är alltid större än ett tal till vänster. Man brukar dela upp de reella talen i följande typer av tal:

Naturliga tal (symboliseras vanligen med bokstaven N)

De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ...

Heltal ( Z )

De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Rationella tal ( Q )

Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex.

$-\displaystyle \frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{o.s.v.}$

Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom

$-1 = \displaystyle \frac{-1}{1},\quad 0 = \displaystyle \frac{0}{1},\quad 1 = \displaystyle \frac{1}{1},\quad 2 = \displaystyle \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$

Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex.

$2 = \displaystyle \frac{2}{1}=\displaystyle \frac{4}{2}=\displaystyle \frac{6}{3}= \displaystyle \frac{8}{4}=\displaystyle \frac{100}{50}=\displaystyle \frac{384}{192}\quad\mbox{o.s.v.}$

Irrationella tal

De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel på irrationella tal är de flesta rötter, som

$\sqrt{2} \mbox{ och } \sqrt{3} \mbox{ men även talet } \pi\ \mbox{t.ex.}$

Decimalform

Alla typer av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtyckligt antal decimaler. Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger antalet ental, tiotal, hundratal, osv.

Komm: Här ska figur 1.1.2 läggas in.