1.3 Potenser

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 20 april 2007 kl. 13.12 (redigera)
Safia (Diskussion | bidrag)

← Gå till föregående ändring
Nuvarande version (16 juli 2007 kl. 12.41) (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(Ogör ändring 2326 av Special:Contributions/KTH.SE:u1zpa8nw (Användardiskussion:KTH.SE:u1zpa8nw))
 
(16 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
 +__NOTOC__
<table><tr><td width="600"> <table><tr><td width="600">
- 
-=x.x styckerubrik= 
<div class="inforuta"> <div class="inforuta">
Rad 12: Rad 11:
<div class="inforuta"> <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''+'''Lärandemål:'''
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Känna till begreppen bas och exponent+*Känna till begreppen bas och exponent.
-*Beräkna uttryck med heltalsexponent+*Beräkna uttryck med heltalsexponent.
-*Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttryck+*Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttryck.
-*Potenslagarna bara gäller för positiv bas+*Veta när potenslagarna är giltiga (positiv bas).
-*Avgöra vilket av två potensuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/exponent +*Avgöra vilket av två potensuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/exponent.
</div> </div>
-[[agjöeijö|Övningar]]+[[1.3 Övningar|Övningar]]
</td> </td>
Rad 37: Rad 36:
Vi anv&auml;nder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivs&auml;tt Vi anv&auml;nder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivs&auml;tt
f&ouml;r upprepad addition av samma tal, t.ex. f&ouml;r upprepad addition av samma tal, t.ex.
- +$$
- +4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}
-$+$$
-4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5+
-$+
P&aring; ett liknande s&auml;tt anv&auml;nds potenser som ett kortare P&aring; ett liknande s&auml;tt anv&auml;nds potenser som ett kortare
-skrivs&auml;tt f&ouml;r upprepad multiplikation av samma tal: +skrivs&auml;tt f&ouml;r upprepad multiplikation av samma tal:
- +$$
- +4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}
-$+$$
-4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5+
-$+
Rad 70: Rad 65:
<br> <br>
<br> <br>
-<li>$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16 $ , men +<li>$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16$, men
$ -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$ $ -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$
<br> <br>
<br> <br>
-<li>$ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 $ , men +<li>$ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$, men
$ (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36$ $ (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36$
Rad 112: Rad 107:
Med definitionen av potens f&ouml;ljer ytterligare n&aring;gra r&auml;kneregler som f&ouml;renklar Med definitionen av potens f&ouml;ljer ytterligare n&aring;gra r&auml;kneregler som f&ouml;renklar
ber&auml;kningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att ber&auml;kningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att
- +$$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm st }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8$$
-$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 5 \mbox{ st }} = \underbrace{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ (3 + 5) \mbox{st}} = 2^{3+5} = 2^8$+
vilket generellt kan skrivas vilket generellt kan skrivas
<div class="regel"> <div class="regel">
-$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$+$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}$$
</div> </div>
-Vid division av potenser kan ocks&aring; ber&auml;kningarna f&ouml;renklas om potenserna har samma bas:+Vid division av potenser kan ocks&aring; ber&auml;kningarna f&ouml;renklas om potenserna har samma bas
- +$$
-$+\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} =
-\displaystyle\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} =+2^{7-3}=2^4\mbox{.}
-2^{7-3}=2^4+$$
-$+
Den allm&auml;nna regeln blir Den allm&auml;nna regeln blir
<div class="regel"> <div class="regel">
-$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$$+$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}$$
</div> </div>
N&auml;r man r&aring;kar ut f&ouml;r en potens av en potens finns ytterligare N&auml;r man r&aring;kar ut f&ouml;r en potens av en potens finns ytterligare
en anv&auml;ndbar r&auml;kneregel. Vi ser att en anv&auml;ndbar r&auml;kneregel. Vi ser att
- +$$
- +(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm gånger}\ 2\ {\rm st}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{.}
-$+$$
-(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} = \underbrace{5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\,}_{ 3 \mbox{ gånger } 2 \mbox{ st }} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6+
-$+
och och
- +$$
-$+(5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{2\cdot3}=5^6\mbox{.}
-(5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} = \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,\cdot\,(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 2 \mbox{ gånger } 3 \mbox{ st }}=5^{2\cdot3}=5^6+$$
-$+
Allm&auml;nt kan detta skrivas Allm&auml;nt kan detta skrivas
<div class="regel"> <div class="regel">
-$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} $$+$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} $$
</div> </div>
Rad 201: Rad 191:
Om ett br&aring;k har samma potensuttryck i både t&auml;ljare och n&auml;mnare s&aring; intr&auml;ffar f&ouml;ljande: Om ett br&aring;k har samma potensuttryck i både t&auml;ljare och n&auml;mnare s&aring; intr&auml;ffar f&ouml;ljande:
- +$$
- +\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{samtidigt som}\quad
-$+\frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}
-\displaystyle\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0 $&nbsp;+$$
-samtidigt som +
-&nbsp;$ \displaystyle\frac{5^3}{5^3} = \displaystyle\frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \displaystyle\frac{125}{125} = 1$.+
Rad 213: Rad 201:
<div class="regel"> <div class="regel">
-$$ a^0 = 1 $$+$$ a^0 = 1\mbox{.} $$
</div> </div>
Vi kan ocks&aring; r&aring;ka ut f&ouml;r att exponenten i n&auml;mnaren &auml;r Vi kan ocks&aring; r&aring;ka ut f&ouml;r att exponenten i n&auml;mnaren &auml;r
st&ouml;rre &auml;n den i t&auml;ljaren. Vi f&aring;r t.ex. st&ouml;rre &auml;n den i t&auml;ljaren. Vi f&aring;r t.ex.
- +$$
- +\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{och}\quad
-$+\frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} =
-\displaystyle\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} $&nbsp; och +\frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}
- +$$
-&nbsp;$ \displaystyle\frac{3^4}{3^6} = +
-\displaystyle\frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} =+
-\displaystyle\frac{1}{3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3^2}+
-$+
- +
Vi ser h&auml;r att enligt v&aring;ra r&auml;kneregler m&aring;ste den negativa Vi ser h&auml;r att enligt v&aring;ra r&auml;kneregler m&aring;ste den negativa
-exponenten betyda att +exponenten betyda att
- +$$
- +3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}
-$+$$
-3^{-2} = \displaystyle\frac{1}{3^2}+
-$+
Den allm&auml;nna definitionen av negativa exponenter &auml;r att, f&ouml;r alla Den allm&auml;nna definitionen av negativa exponenter &auml;r att, f&ouml;r alla
Rad 241: Rad 222:
<div class="regel"> <div class="regel">
-$$a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}$$+$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}$$
</div> </div>
 +
<div class="exempel"> <div class="exempel">
Rad 250: Rad 232:
<ol type="a"> <ol type="a">
<li>$ <li>$
-(-1)^{56} = 1$ eftersom $56$ är ett jämnt tal+\displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
 +$
<br> <br>
<br> <br>
<li>$ <li>$
-\displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1$ eftersom 11 är ett udda tal+3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
 +$
<br> <br>
<br> <br>
<li>$ <li>$
-\displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$+0{,}001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3}
-</ol>+
-</div>+
- +
-<div class="exempel">+
-'''Exempel 6'''+
-<br>+
-<br>+
-<ol type="a">+
-<li>$+
-\displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1+
$ $
<br> <br>
<br> <br>
<li>$ <li>$
-3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2+0{,}008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3}
$ $
<br> <br>
<br> <br>
<li>$ <li>$
-(-1)^{-999} = \displaystyle\frac{1}{(-1)^{999}} = \displaystyle\frac{1}{-1} = -1+\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}
$ $
<br> <br>
<br> <br>
<li>$ <li>$
-0,001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3}+\left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
$ $
<br> <br>
<br> <br>
<li>$ <li>$
-0,008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3}+0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}
$ $
 +</ol>
 +
 +</div>
 +
 +Om basen i ett potensuttryck är $-1$ så blir uttrycket alternerande $-1$ eller $+1$ beroende på exponentens värde
 +$$
 +\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr
 +(-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr
 +(-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr
 +(-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = 1\cr
 +\quad\hbox{o.s.v.}}
 +$$
 +
 +Regeln är att $(-1)^n$ är lika med $-1$ om $n$ är udda och lika med $+1$ om $n$ är jämn.
 +
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 6'''
<br> <br>
<br> <br>
 +<ol type="a">
<li>$ <li>$
-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2} +(-1)^{56} = 1\quad$ eftersom $56$ är ett jämnt tal
-$+
<br> <br>
<br> <br>
<li>$ <li>$
-\left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6+\displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1\quad$ eftersom 11 är ett udda tal
-$+
<br> <br>
<br> <br>
<li>$ <li>$
-0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}+\displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$
-$+
</ol> </ol>
- 
</div> </div>
-==Byte av bas== 
 +==Byte av bas==
Man b&ouml;r vara uppm&auml;rksam p&aring; att vid f&ouml;renkling av uttryck om m&ouml;jligt Man b&ouml;r vara uppm&auml;rksam p&aring; att vid f&ouml;renkling av uttryck om m&ouml;jligt
f&ouml;rs&ouml;ka skriva ihop potenser genom att v&auml;lja samma bas. Det handlar ofta om att f&ouml;rs&ouml;ka skriva ihop potenser genom att v&auml;lja samma bas. Det handlar ofta om att
Rad 316: Rad 305:
igen potenser av dessa tal, exempelvis igen potenser av dessa tal, exempelvis
 +$$4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots$$
 +$$9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots$$
 +$$25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots$$
-$ 
-4=2^2 \;,\; 8=2^3 \;,\; 16=2^4 \;,\; 32=2^5 \;,\; 64=2^6 \;,\; 128=2^7 \;,\ldots 
-$ 
- 
- 
- 
- 
-$ 
-9=3^2 \;,\; 27=3^3 \;,\; 81=3^4 \;,\; 243=3^5 \;,\ldots 
-$ 
- 
- 
- 
- 
-$ 
-25=5^2 \;,\; 125=5^3 \;,\; 625=5^4 \;,\ldots 
-$ 
- 
-  
Men &auml;ven Men &auml;ven
 +$$
 +\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots
 +$$
 +$$
 +\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots
 +$$
- +$$
-$+\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots
-\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{2^2} = 2^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{2^3}=2^{-3} \;,\; \displaystyle\frac{1}{16}=\displaystyle\frac{1}{2^4}=2^{-4} \;,\ldots+$$
-$+
- +
- +
- +
- +
-$+
-\displaystyle \frac{1}{9}=\displaystyle \frac{1}{3^2}=3^{-2} \;,\; \displaystyle \frac{1}{27}=\displaystyle \frac{1}{3^3}=3^{-3} \;,\ldots+
-$+
- +
- +
- +
- +
-$+
-\displaystyle\frac{1}{25}=\displaystyle\frac{1}{5^2}=5^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{125}=\displaystyle\frac{1}{5^3}=5^{-3} \;,\ldots+
-$+
- +
o.s.v. o.s.v.
- 
<div class="exempel"> <div class="exempel">
Rad 370: Rad 332:
<br> <br>
<ol type="a"> <ol type="a">
- +<li>Skriv $8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16$ som en potens med basen 2.
-<li>Skriv som en potens med basen 2: +<br/>
- +<br/>
-$ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 $+:$8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4 <br><br>= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$
- +<br/>
-<br>+<br/>
-<br>+<li>Skriv $\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$ som en potens av basen 3.
-'''L&ouml;sning:'''+<br/>
-<br>+<br/>
-<br>+:$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$
-$ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4 <br><br>= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$+<br/>
-<br>+:$\displaystyle\qquad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2$
-<br>+<br/>
-<li>Skriv som en potens av basen 3:+<br/>
-<br>+<li>Skriv $\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$ så enkelt som möjligt:
-<br>+<br/>
-$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$+<br/>
-<br>+:$\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$
-<br>+<br/>
- +:$\displaystyle\qquad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8$
-'''L&ouml;sning:'''+<br/>
-<br>+
-<br>+
- +
-$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = +
-\displaystyle\frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = +
-\displaystyle\frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$<br><br>$ =+
-\displaystyle\frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} =+
-\displaystyle\frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \displaystyle\frac{3^{6 + 4}}{3^8}= +
-\displaystyle\frac{3^{10}}{3^8} = +
-3^{10-8}= 3^2$+
-<br>+
-<br>+
-<li>Skriv så enkelt som möjligt:+
-<br>+
-<br>+
-$\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$+
-<br>+
-<br>+
-'''L&ouml;sning:'''+
-<br>+
-<br>+
-$+
-\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}=+
-\displaystyle\frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = +
-\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = +
-\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$<br><br>$ = +
-\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = +
-\displaystyle\frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = +
-3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4}=+
-3^1 \cdot 2^8=+
-3\cdot 2^8+
-$+
- +
</ol> </ol>
</div> </div>
Rad 434: Rad 363:
Eftersom exempelvis Eftersom exempelvis
- +$$2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$$
-$\quad 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$&nbsp;, så måste &nbsp;$ 2^{1/2} $&nbsp; vara samma sak som &nbsp;$ \sqrt{2} $&nbsp; eftersom +så måste &nbsp;$ 2^{1/2} $&nbsp; vara samma sak som $\,\sqrt{2}\,$ i och med att $\,\sqrt2\,$ definieras som det tal som uppfyller $\,\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2\,$&nbsp;.
- +
-$\quad \sqrt2+
-$&nbsp; är det tal som uppfyller &nbsp;+
-$\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$&nbsp;+
-Allm&auml;nt kan vi g&ouml;ra definitionen:+Allm&auml;nt kan vi g&ouml;ra definitionen
-$+<div class="regel">
-a^{1/2} = \sqrt{a}+$$a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}$$
-$+</div>
-Vi ser d&aring; att vi m&aring;ste f&ouml;ruts&auml;tta att $a\ge 0$, eftersom t.ex. +Vi m&aring;ste d&aring; f&ouml;ruts&auml;tta att $a\ge 0$, eftersom inget reellt tal multiplicerat med sig själv kan ge ett negativt tal.
-$+Man ser ocks&aring; att exempelvis
-(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}+$$5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5$$
-$+
-inte &auml;r m&ouml;jligt. Man ser ocks&aring; att exempelvis+som inneb&auml;r att $\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,$ vilket kan generaliseras till att
- +
-$+
-5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = +
-5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5+
-$+
- +
-som inneb&auml;r att +
- +
-$ 5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5} $, vilket kan generaliseras till att+
<div class="regel"> <div class="regel">
-$$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}$$+$$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}$$
</div> </div>
Rad 471: Rad 386:
<div class="regel"> <div class="regel">
-$$+$$a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$
-a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$+
-</div>+
eller eller
-<div class="regel">+$$a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} $$
-$$+
-a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a})^m $$+
</div> </div>
Rad 487: Rad 398:
<br> <br>
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>$+<li>$27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad$ eftersom $3 \cdot 3 \cdot 3 =27$
-27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3$ eftersom $3 \cdot 3 \cdot 3 =27$+
-$+
<br> <br>
<br> <br>
Rad 517: Rad 426:
Om basen i en potens är större är än $1$ så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan $0$ och $1$ så blir potensen mindre istället när exponenten växer. Om basen i en potens är större är än $1$ så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan $0$ och $1$ så blir potensen mindre istället när exponenten växer.
-{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"+<div class="exempel">
-!width= "1000" STYLE="background:#efefef;" |EXEMPEL 9+'''Exempel 9'''
-|-+<br>
-|+<br>
-a) $\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad$ eftersom basen $3$ är större än $1$ och den första exponenten $5/6$ är större än den andra exponenten $3/4$. +<ol type="a">
 +<li>$\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad$ eftersom basen $3$ är större än $1$ och den första exponenten $5/6$ är större än den andra exponenten $3/4$.
 +<br>
 +<br>
 +<li>$ \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad$ eftersom basen är större än $1$ och exponenterna uppfyller $ -3/4 > - 5/6$.
 +<br>
 +<br>
 +<li>$ \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad$ eftersom basen $ 0{,}3$ är mellan $0$ och $1$ och $5 > 4$.
 +</ol>
 +</div>
-b) $ \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad$ eftersom basen är större än $1$ och exponenterna uppfyller $ -3/4 > - 5/6$.+Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ: då blir potensen mindre när basen blir större.
- +
- +
-c) $ \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad$ eftersom basen $ 0{,}3$ är mellan $0$ och $1$ och $5 > 4$.+
-|}+
- +
- +
-Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ, Då blir potensen mindre när basen blir större. +
- +
-{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"+
-!width= "1000" STYLE="background:#efefef;" |EXEMPEL 10+
-|-+
-|+
-a) $\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad$ eftersom basen $5$ är större än basen $4$ och båda potenserna har samma positiva exponenten $3/2$. +
- +
- +
-b) $ \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad$ eftersom baserna uppfyller $2<3$ och potenserna har den negativa exponenten $-5/3$.+
- +
-|}+
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 10'''
 +<br>
 +<br>
 +<ol type="a">
 +<li>$\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad$ eftersom basen $5$ är större än basen $4$ och båda potenserna har samma positiva exponenten $3/2$.
 +<br>
 +<br>
 +<li>$ \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad$ eftersom baserna uppfyller $2<3$ och potenserna har den negativa exponenten $-5/3$.
 +</ol>
 +</div>
Ibland kr&auml;vs det en omskrivning av potenserna f&ouml;r att kunna avg&ouml;ra Ibland kr&auml;vs det en omskrivning av potenserna f&ouml;r att kunna avg&ouml;ra
storleksf&ouml;rh&aring;llandet. Vill man t.ex. j&auml;mf&ouml;ra storleksf&ouml;rh&aring;llandet. Vill man t.ex. j&auml;mf&ouml;ra
- +$125^2$ med $36^3$
-$125^2 \mbox{ med } 36^3$ +
- +
kan man g&ouml;ra omskrivningarna kan man g&ouml;ra omskrivningarna
 +$$
 +125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{och}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6
 +$$
-$+varefter man kan konstatera att $36^3 > 125^2$.
-125^2 = (5^3)^2 = 5^6 \mbox{ och } 36^3 = (6^2)^3 = 6^6+
-$+
-varefter man kan konstatera att +<div class="exempel">
- +'''Exempel 11'''
-$36^3 > 125^2.$+<br>
- +<br>
- +
- +
-{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"+
-!width= "1000" STYLE="background:#efefef;"|EXEMPEL 11+
-|-+
-|+
Avg&ouml;r vilket tal som &auml;r st&ouml;rst av Avg&ouml;r vilket tal som &auml;r st&ouml;rst av
- +<br>
- +<br>
- +<ol type="a">
-a) $ 25^{1/3} $&nbsp; och &nbsp;$ 5^{3/4} $+<li>$ 25^{1/3} $&nbsp; och &nbsp;$ 5^{3/4} $
- +<br>
- +<br>
-'''L&ouml;sning:'''+
- +
Basen 25 kan skrivas om i termer av den andra basen $5$ genom att $25= 5\cdot 5= 5^2$. Därför är Basen 25 kan skrivas om i termer av den andra basen $5$ genom att $25= 5\cdot 5= 5^2$. Därför är
Rad 583: Rad 485:
::$5^{3/4} > 25^{1/3} $ ::$5^{3/4} > 25^{1/3} $
-eftersom $\displaystyle\frac{3}{4} > \displaystyle\frac{2}{3}$ och basen $5$ är större än $1$. +eftersom $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$ och basen $5$ är större än $1$.
- +<br>
- +<br>
- +<li>$(\sqrt{8}\,)^5 $&nbsp; och $128$
- +<br>
-b) $(\sqrt{8})^5 $&nbsp; och $128$+<br>
- +
- +
-'''L&ouml;sning:'''+
- +
Både $8$ och $128$ kan skrivas som potenser av $2$ Både $8$ och $128$ kan skrivas som potenser av $2$
-::$ 8 = 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$+::$ 8 = 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}$
-::$ 128 = 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7$+::$ 128 = 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}$
Detta betyder att Detta betyder att
-::$(\sqrt{8})^5 = (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot frac{5}{2}}= 2^{15/2}$+::$(\sqrt{8}\,)^5 = (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}$
::$128 = 2^7 = 2^{14/2}$ ::$128 = 2^7 = 2^{14/2}$
Rad 607: Rad 505:
och därför är och därför är
-::$(\sqrt{8})^5 > 128 $+::$(\sqrt{8}\,)^5 > 128 $
-i och med att $ \displaystyle\frac{15}{2} > \displaystyle\frac{14}{2}$ och basen $2$ är större än $1$.+i och med att $\frac{15}{2} > \frac{14}{2}$ och basen $2$ är större än $1$.
- +<br>
- +<br>
- +<li>$ (8^2)^{1/5} $ och $ (\sqrt{27}\,)^{4/5}$
- +<br>
-c) $ (8^2)^{1/5} $ och $ (\sqrt{27})^{4/5}$+<br>
- +Eftersom $8=2^3$ och $27=3^3$ kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av $2$ respektive $3$,
- +
-'''L&ouml;sning:'''+
- +
-Eftersom $8=2^3$ och $27=3^3$ kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av $2$ respektive $3$, +
-::$(8^2)^{1/5} = (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}$+::$(8^2)^{1/5} = (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}$
-::$(\sqrt{27})^{4/5} = (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}$+::$(\sqrt{27}\,)^{4/5} = (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.}$
Nu ser vi att Nu ser vi att
-::$(\sqrt{27})^{4/5} > (8^2)^{1/5} $+::$(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} $
eftersom $ 3>2$ och exponenten $\frac{6}{5}$ är positiv. eftersom $ 3>2$ och exponenten $\frac{6}{5}$ är positiv.
- +<br>
- +<br>
- +<li>$ 3^{1/3} $&nbsp; och
- +
-d) $ 3^{1/3} $&nbsp; och +
&nbsp;$ 2^{1/2}$ &nbsp;$ 2^{1/2}$
- +<br>
- +<br>
-'''L&ouml;sning:'''+
- +
Vi skriver exponenterna med gemensam nämnare Vi skriver exponenterna med gemensam nämnare
-::$ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad$ och $\quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ . +::$\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad$ och $\quad \displaystyle\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ .
Då har vi att Då har vi att
Rad 655: Rad 545:
eftersom $ 9>8$ och exponenten $1/6$ är positiv. eftersom $ 9>8$ och exponenten $1/6$ är positiv.
 +</ol>
 +</div>
 +[[1.3 Övningar|Övningar]]
-|} 
 +<div class="inforuta">
 +'''Råd för inläsning'''
 +'''Grund- och slutprov'''
 +
 +Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
-{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center" WIDTH="1000" 
-|- 
-|'''Råd för inläsning''' 
'''Tänk på att:''' '''Tänk på att:'''
-Ett tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skiljt från 0.+Ett tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skild från 0.
-Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.  
-Exempelvis: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 
- 
'''Lästips''' '''Lästips'''
Rad 685: Rad 576:
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/BasicAlgebra/ExponentRules/ExponentRules.html Här kan du träna på potenslagarna] [http://www.ltcconline.net/greenl/java/BasicAlgebra/ExponentRules/ExponentRules.html Här kan du träna på potenslagarna]
-|} 
-© Copyright 2006, KTH Matematik 
- 
-<div class="inforuta"> 
-'''Råd för inläsning''' 
- 
-'''Tänk på att:''' 
- 
-text 
- 
-'''Lästips''' 
- 
-stående 
- 
-'''Länktips''' 
- 
-stående 
</div> </div>
- 
- 
-'''© Copyright 2006, KTH Matematik''' 
- 
- 

Nuvarande version

Innehåll:

  • Positiv heltalsexponent
  • Negativ heltalsexponent
  • Rationell exponent
  • Potenslagar

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Känna till begreppen bas och exponent.
  • Beräkna uttryck med heltalsexponent.
  • Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttryck.
  • Veta när potenslagarna är giltiga (positiv bas).
  • Avgöra vilket av två potensuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/exponent.

Övningar

[redigera] Teori

[redigera] Potenser

Vi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt för upprepad addition av samma tal, t.ex. $$ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.} $$


På ett liknande sätt används potenser som ett kortare skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal: $$ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.} $$


Siffran 4 kallas för potensens bas och siffran 5 dess exponent.


Exempel 1

  1. $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

  2. $10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000$

  3. $0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$

  4. $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16$, men $ -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$

  5. $ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$, men $ (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36$

Exempel 2

  1. $ \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27} $

  2. $(2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)=$ $ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296 $

Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser:

$$\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m$$

[redigera] Potenslagar

Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att $$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm st }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8$$

vilket generellt kan skrivas

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}$$

Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas $$ \frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.} $$

Den allmänna regeln blir

$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}$$

När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare en användbar räkneregel. Vi ser att $$ (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm gånger}\ 2\ {\rm st}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{.} $$

och $$ (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{2\cdot3}=5^6\mbox{.} $$


Allmänt kan detta skrivas

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} $$

Exempel 3

  1. $ 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23} $

  2. $ 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4 $

  3. $ 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9 $

  4. $ 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8 $

Exempel 4

  1. $\displaystyle\frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2 $

  2. $\displaystyle\frac{7^{10}}{7} = \displaystyle\frac{7^{10}}{7^1} =7^{10-1} = 7^9 $


Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande: $$ \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{samtidigt som}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.} $$


För att räknereglerna för potenser ska stämma gör man alltså den naturliga definitionen att för alla a som inte är 0 gäller att

$$ a^0 = 1\mbox{.} $$

Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.ex. $$ \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{och}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.} $$

Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa exponenten betyda att $$ 3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.} $$

Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla tal a som inte är 0 gäller att

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}$$


Exempel 5

  1. $ \displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1 $

  2. $ 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2 $

  3. $ 0{,}001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3} $

  4. $ 0{,}008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3} $

  5. $ \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2} $

  6. $ \left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6 $

  7. $ 0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10} $

Om basen i ett potensuttryck är $-1$ så blir uttrycket alternerande $-1$ eller $+1$ beroende på exponentens värde $$ \eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = 1\cr \quad\hbox{o.s.v.}} $$

Regeln är att $(-1)^n$ är lika med $-1$ om $n$ är udda och lika med $+1$ om $n$ är jämn.


Exempel 6

  1. $ (-1)^{56} = 1\quad$ eftersom $56$ är ett jämnt tal

  2. $ \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1\quad$ eftersom 11 är ett udda tal

  3. $ \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$


[redigera] Byte av bas

Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, exempelvis

$$4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots$$

$$9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots$$

$$25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots$$

Men även

$$ \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots $$

$$ \frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots $$

$$ \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots $$

o.s.v.

Exempel 7

  1. Skriv $8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16$ som en potens med basen 2.

    $8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4

    = 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$


  2. Skriv $\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$ som en potens av basen 3.

    $\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$

    $\displaystyle\qquad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2$


  3. Skriv $\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$ så enkelt som möjligt:

    $\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$

    $\displaystyle\qquad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8$

[redigera] Rationell exponent

Vad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan?

Eftersom exempelvis $$2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$$ så måste  $ 2^{1/2} $  vara samma sak som $\,\sqrt{2}\,$ i och med att $\,\sqrt2\,$ definieras som det tal som uppfyller $\,\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2\,$ .

Allmänt kan vi göra definitionen

$$a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}$$

Vi måste då förutsätta att $a\ge 0$, eftersom inget reellt tal multiplicerat med sig själv kan ge ett negativt tal.

Man ser också att exempelvis $$5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5$$

som innebär att $\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,$ vilket kan generaliseras till att

$$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}$$

Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna $((a^m)^n=a^{m\cdot n})$ får vi att, för alla $a\ge0$ gäller att

$$a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$

eller

$$a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} $$

Exempel 8

  1. $27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad$ eftersom $3 \cdot 3 \cdot 3 =27$

  2. $ 1000^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{1000^{1/3}}= \displaystyle \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \displaystyle \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} =\displaystyle\frac{1}{10^1} = \displaystyle\frac{1}{10} $

  3. $ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{8}}= \displaystyle\frac{1}{8^{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2} $

  4. $ \displaystyle\frac{1}{16^{-1/3}}= \displaystyle\frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3} $

[redigera] Jämförelse av potenser

Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten.

Om basen i en potens är större är än $1$ så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan $0$ och $1$ så blir potensen mindre istället när exponenten växer.

Exempel 9

  1. $\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad$ eftersom basen $3$ är större än $1$ och den första exponenten $5/6$ är större än den andra exponenten $3/4$.

  2. $ \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad$ eftersom basen är större än $1$ och exponenterna uppfyller $ -3/4 > - 5/6$.

  3. $ \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad$ eftersom basen $ 0{,}3$ är mellan $0$ och $1$ och $5 > 4$.

Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ: då blir potensen mindre när basen blir större.

Exempel 10

  1. $\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad$ eftersom basen $5$ är större än basen $4$ och båda potenserna har samma positiva exponenten $3/2$.

  2. $ \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad$ eftersom baserna uppfyller $2<3$ och potenserna har den negativa exponenten $-5/3$.

Ibland krävs det en omskrivning av potenserna för att kunna avgöra storleksförhållandet. Vill man t.ex. jämföra $125^2$ med $36^3$ kan man göra omskrivningarna $$ 125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{och}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6 $$

varefter man kan konstatera att $36^3 > 125^2$.

Exempel 11

Avgör vilket tal som är störst av

  1. $ 25^{1/3} $  och  $ 5^{3/4} $

    Basen 25 kan skrivas om i termer av den andra basen $5$ genom att $25= 5\cdot 5= 5^2$. Därför är
    $25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}$
    och då ser vi att
    $5^{3/4} > 25^{1/3} $
    eftersom $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$ och basen $5$ är större än $1$.

  2. $(\sqrt{8}\,)^5 $  och $128$

    Både $8$ och $128$ kan skrivas som potenser av $2$
    $ 8 = 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}$
    $ 128 = 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}$
    Detta betyder att
    $(\sqrt{8}\,)^5 = (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}$
    $128 = 2^7 = 2^{14/2}$
    och därför är
    $(\sqrt{8}\,)^5 > 128 $
    i och med att $\frac{15}{2} > \frac{14}{2}$ och basen $2$ är större än $1$.

  3. $ (8^2)^{1/5} $ och $ (\sqrt{27}\,)^{4/5}$

    Eftersom $8=2^3$ och $27=3^3$ så kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av $2$ respektive $3$,
    $(8^2)^{1/5} = (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}$
    $(\sqrt{27}\,)^{4/5} = (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.}$
    Nu ser vi att
    $(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} $
    eftersom $ 3>2$ och exponenten $\frac{6}{5}$ är positiv.

  4. $ 3^{1/3} $  och  $ 2^{1/2}$

    Vi skriver exponenterna med gemensam nämnare
    $\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad$ och $\quad \displaystyle\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ .
    Då har vi att
    $3^{1/3} = 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}$
    $2^{1/2} = 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}$
    och vi ser att
    $ 3^{1/3} > 2^{1/2} $
    eftersom $ 9>8$ och exponenten $1/6$ är positiv.

Övningar


Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att:

Ett tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skild från 0.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om potenser på engelska Wikipedia

Vilket är det största primtalet? Läs mer på The Prime Pages


Länktips

Här kan du träna på potenslagarna




Personliga verktyg