2.2 Linjära uttryck

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 23 april 2007 kl. 11.08 (redigera)
Lina (Diskussion | bidrag)
(Räta linjer)
← Gå till föregående ändring
Versionen från 23 april 2007 kl. 11.44 (redigera) (ogör)
Lina (Diskussion | bidrag)
(Räta linjer)
Gå till nästa ändring →
Rad 237: Rad 237:
Bild: figur 3.1.5a och 3.1.6a Bild: figur 3.1.5a och 3.1.6a
 +
 +</div>
 +
 +Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ som uppfyller $k_2 = \frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.
 +
 +Bild: figur 3.1.7a och 3.1.8a
 +
 +Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficienter $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led motsvaras av $k$-steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ steg i $y$-led.
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 1'''
 +
 +<ol type="a">
 +<li>Linjerna $y=3x-1$ och $y=3x+5$ är parallella
 +<li>Linjerna $y=x+1$ och $y=2-x$ är vinkelräta
 +</ol>
 +
 +</div>
 +
 +Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen
 +<div class="regel">
 +$$ax+by=c$$
 +</div>
 +där $a$, $b$ och $c$ är konstanter.
 +
 +<div class="exempel">
 +'''Exempel 1'''
 +
 +<ol type="a">
 +<li>Skriv linjen $y=5x+7$ i formen $ax+by=c$.<br>
 +Flytta över $x$-termen till vänsterledet
 +$$-5x+y=7\;\mbox{.}$$
 +<li>Skriv linjen $2x+3y=-1$ i formen $y=kx+m$.<br>
 +Flytta över $x$-termen i högerledet
 +$$3y=5x+7$$
 +och dela båda led med $3$
 +$$y=\frac{5}{3}x + \frac{7}{3} \; \mbox{.}$$
 +</ol>
</div> </div>

Versionen från 23 april 2007 kl. 11.44

Innehåll

2.2 Linjära uttryck

Innehåll:

  • Förstagradsekvationer
  • Räta linjens ekvation
  • Parabler
  • Geometriska problem
  • Områden som definieras av olikheter

Läromål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Lösa algebraiska ekvationer som efter förenkling leder till förstagradsekvationer.
  • Lösa ekvationer som efter logaritmering ger en förstagradsekvation.
  • Lösa ekvationer som när ett deluttryck betraktas som ny obekant ger en förstagradsekvation.
  • Omvandla mellan formerna y = kx + m och ax + by + c = 0
  • Skissera räta linjer utgående från ekvationen
  • Lösa geometriska problem som innehåller räta linjer
  • Skissera grafen till andragradsfunktioner med kvadratkomplettering
  • Skissera områden som ges av linjära olikheter och bestämma arean av dessa


Övningar

Teori

Förstagradsekvationer

För att lösa ekvationer utför vi räkneoperationer på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får $x$ ensamt i ena ledet.

Exempel 1

  1. Lös ekvationen $x+3=7$
    Subtrahera $3$ från båda led
    $x+3-3=7-3.$
    Vänsterledet förenklas då till $x$ och vi får att
    $x=7-3=4.$

  2. Lös ekvationen $3x=6$.
    Dividera båda led med $3$.
    $\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}$
    Efter att ha förkortat bort $3$ i vänsterledet har vi att
    $x=\frac{6}{3} = 2$

  3. Lös ekvationen $2x+1=5$
    Först subtraherar vi båda led med $1$ för att få $2x$ ensamt i vänsterledet.
    $2x+x-1= 5-1$
    $2x=4$
    Sedan dividerar vi båda led med $2$ och får svaret
    $\displaystyle \frac{2x}{2} = \displaystyle{4}{2}$
    $x=2$

Förstagradsekvationer kallas även linjära ekvationer. En förstagradsekvation skrivs på normalform ax=b. Lösningen är helt enkelt x=b/a. Man måste anta att a ≠ 0. (Om a vore noll skulle ekvationen se annorlunda ut, och sakna x.)


De eventuella svårigheter som kan uppstå gäller alltså inte själva lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär normalform och därmed får en unik lösning.


Exempel 2

Lös ekvationen$2x-3=5x+7$.

Eftersom $x$ förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi $2x$ från båda leden

$$2x-3-2x=5x+7-2x$$

och får $x$ samlat i högerledet

$$-3 = 3x+7 \; \mbox{.}$$

Nu subtraherar vi 7 från båda led

$$-3 -7 = 3x +7-7$$

och får $3x$ ensamt kvar i högerledet

$$-10=3x \; \mbox{.}$$

Det sista steget är att dividera båda led med $3$

$$\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}$$

och detta ger att

$$x=-10/3 \; \mbox{.}$$

Exempel 1 Lös ut $x$ från ekvationen $ax+7=3x-b$.

Genom att subtrahera båda led med $3x$

$$ax+7-3x=3x-b-3x$$ $$ax+7-3x=b$$

och sedan med $7$

$$ax+7-3x -7=b-7$$ $$ax-3x=b-7$$

har vi samlat alla termer som innehåller $x$ i vänsterledet och övriga termer i högerledet.

Eftersom termerna i vänsterledet har $x$ som en gemensam faktor kan $x$ brytas ut

$$(3-a)x = 7+b\; \mbox{.}$$

Dividera båda led med $a-3$

$$x= \displaystyle \frac{7+b}{3-a}\; \mbox{.}$$

Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation.

Exempel 1 Lös ekvationen $(x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2$.

Utveckla kvadratuttrycken i båda leden

$$x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49$$ $$4x^2-6x+9=4x^2+28x+49$$

Subtrahera med $4x^2$ från båda leden

$$-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}$$

Addera $6x$ till båda led

$$9 = 43x +49\; \mbox{.}$$

Subtrahera $49$ från båda led

$$-40=34x\; \mbox{.}$$

Dividera båda led med $34$

$$x=\displaystyle \frac{-40}{34}= -\displaystyle \frac{20}{17}\; \mbox{.}$$

Exempel 1

Lös ekvationen $\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}=\displaystyle \frac{3}{2+3x}$.

Flytta över båda termerna i ena ledet

$$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\displaystyle \frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}$$

Förläng termerna så att de får samma nämnare

$$\displaystyle \frac{x+2(2+3x)}{x^2+x(2+3x)}-\displaystyle \frac{3(x^2+x)}{2+3x(x^2+x)}= 0$$

och förenkla täljaren

$$\displaystyle \frac{x+2(2+3x)-3(x^2+x)}{x^2+x(2+3x)} = 0$$

$$\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{x^2+x(2+3x)} = 0$$

$$\displaystyle \frac{5x +4}{x^2+x(2+3x)} = 0$$

Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll

$$5x+4=0$$

vilket ger att $x=-\displaystyle \frac{5}{4}$.


Räta linjer

Funktioner av typen $$y=2x+1$$ $$y=-x+3$$ $$y=\displaystyle \frac{1}{2} x -5 $$

är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen

$$y=kx+m$$

där $k$ och $m$ är konstanter.

Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten $k$ anger linjens lutning mot $x$-axeln och $m$ anger $y$-koordinaten för den punkt där linjen skär $y$-axeln.

Bild: figur 3.1.1a och 3.1.2a

Konstanten $k$ kallad för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv $x$-led på linjen ger $k$ enheters förändring i positiv $y$-led. Detta gäller därmed att om

  • $k>0$ så lutar linjen uppåt
  • $k<0$ så lutar linjen nedåt

För en horisontell linje (parallell med $x$-axeln) är $k=0$ medan en vertikal linje (parallell med $y$-axeln) inte har något $k$-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen $y=kx+m$).

Exempel 1

  1. Skissera linjen $y=2x-1$.
    Jämför vi linjens ekvation med $y=kx+m$ så ser vi att $k=2$ och $m=-1$. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är $2$ och att den skär $y$-axeln i punkten $(0,1)$. Se figuren till vänster nedan.
  2. Skissera linjen $y=2-\displaystyle \frac{1}{2}x$.
    Linjens ekvation kan skrivas som $y= -\frac{1}{2}x + 2$ och då ser vi att dess riktningskoefficient är $k= -\frac{1}{2}$ och att $m=2$. Se figur nedan till höger.

Bild: figur 3.1.3a och figur 3.1.4a

Exempel 1

Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna $(2,1)$ och $(5,3)$?


Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att $5-2=3$ steg i $x$-led motsvarar $3-1=2$ steg i $y$-led på linjen. Det betyder att $1$ steg i $x$-led måste motsvara $k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}$ steg i $y$-led. Alltså är linjens riktningskoeffivient $k= \frac{2}{3}$.

Bild: figur 3.1.5a och 3.1.6a

Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ som uppfyller $k_2 = \frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.

Bild: figur 3.1.7a och 3.1.8a

Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficienter $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led motsvaras av $k$-steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ steg i $y$-led.

Exempel 1

  1. Linjerna $y=3x-1$ och $y=3x+5$ är parallella
  2. Linjerna $y=x+1$ och $y=2-x$ är vinkelräta

Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen

$$ax+by=c$$

där $a$, $b$ och $c$ är konstanter.

Exempel 1

  1. Skriv linjen $y=5x+7$ i formen $ax+by=c$.
    Flytta över $x$-termen till vänsterledet $$-5x+y=7\;\mbox{.}$$
  2. Skriv linjen $2x+3y=-1$ i formen $y=kx+m$.
    Flytta över $x$-termen i högerledet $$3y=5x+7$$ och dela båda led med $3$ $$y=\frac{5}{3}x + \frac{7}{3} \; \mbox{.}$$

De punkter i ett plan som ligger på en kurva uppfyller ett samband, man kan säga att de har en relation till varandra. Man kan också sammanfatta detta samband som en ekvation. Ofta är det dock inte helt enkelt att få fram detta samband utifrån utseenedet på denna kurva. Dock finns det några exempel där det inte är lika besvärligt. Vi skall här gå igenom två viktiga exempel, räta linjen och andragradskurvan.


<img src="ppStdFiles2261/762723.gif" align="left" hspace='0' vspace='0' />

En kurva kan naturligvis även vara en rät linje. För att definiera en rät linje behöver du två punkter. Den kurva som sammanbinder dessa två punkter, så att avståndet mellan dessa punkter längs kurvan blir så litet som möjligt, är den räta linjen mellan de två punkterna. En rät linje kan beskrivas som alla punkter (x,y) som uppfyller räta linjens ekvation:


$y = kx + m $ där $k, m$ är konstanter och där $ k $ anger linjens lutning och

$ m $ anger för vilken y-koordinat som linjen skär y-axeln.

I figuren nedan gäller att $k=\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$ Lutningen $k$ kan vi bestämma om vi har två kända punkter på linjen, $(x_1,y_1)$ och $(x_0,y_0)$.

<img src="ppStdFiles2261/783053.gif" hspace='0' vspace='0' />
Att en punkt $\;(x,y)\;$ ligger på linjen mellan de två punkterna betyder att lutningen mellan $\;(x,y);$ och $\;(x_0, y_0);$ är densamma som lutningen mellan $\;(x_1, y_1);$ och $\;(x_0,y_0);$ Formeln $\; k=\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\; $ kan vi härleda på följande sätt: Enligt räta linjens ekvation är (i) $y_1=kx_1+m$ och (ii) $y_0=kx_0+m$. (i) ger oss $m = y_1-kx_1$ och(ii) ger oss $m = y_0-kx_0$. Vi har nu två uttryck för $m$ som vi kan sätta lika med varandra. $ \left\{ \matrix { m=y_1-kx_1 \cr m=y_0-kx_0 } \right.\Rightarrow y_1-kx_1=y_0-kx_0\Leftrightarrow$ $ kx_1-kx_0=y_1-y_0\Leftrightarrow k(x_1-x_0)=y_1-y_0\Leftrightarrow$ $ k = \displaystyle\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ . Ofta skrivs $y_1-y_0=\Delta y$ och $x_1-x_0=\Delta x$ vilket betyder förflyttning i y-led respektive x-led. Då kan vi skriva $ k = \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$ På en rät linje är $\Delta y$ proportionell mot $\Delta x$. Anmärkning: Om man har två givna punkter på en rät linje och ska bestämma $k$ så kan man själv välja vilken punkt man vill kalla $(x_1,y_1)$ respektive $(x_0,y_0)$. Notera också att man inte behöver konstanten $m$ för att bestämma $k$. Konstanten $m$ bestäms ofta genom att sätta $x=0$. Då gäller $y = m$, d.v.s. punkten $\;(0,m)\;$ på y-axeln är den punkt där linjen skär y-axeln.

Exempel 1 Bestäm ekvationen för en linje genom punkterna (1,-1) och (3,5).<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766662.gif" hspace='0' vspace='0' />
Lösning: Vi får en lutning $ \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle \frac{5-(-1)}{3-1} = \displaystyle \frac{6}{2}=3. $


Vi ser att om vi går ett steg i x-led skall vi gå 3 steg i y-led för att fortfarande vara på linjen.


För att vi skall få skärning med y-axeln så ansätter vi att linjens ekvation är $y=3x+m$.


Sätt in en av punkterna, vi väljer (3,5), i denna formel och vi får att $5=9+m$, d.v.s. $m=-4$.

Ekvationen för linjen är således $y=3x-4$.


Svar: Ekvationen är $y=3x-4$



Här kan du flytta på punkter på en linje och undersöka hur k och m ändras i linjens ekvation $y = kx + m$ beroende på hur linjen lutar och var linjen skär y-axeln. Här kan du se hur linjens ekvation kan skrivas utifrån att man vet koordinaterna för två punkter på linjen.

Här kan du ändra på k och m och se hur detta påverkar linjens egenskaper.


Områden i koordinatsystem

Geometriskt kan man tolka påståendet att $ y \ge 2 $ som att för alla värden på $ x $ så skall $y$ vara större än eller lika med 2.

Om vi ritar upp linjen $y=2$ i ett kordinatsystem så ser vi att olikheten gäller för alla punkter $(x,y)$ så att $y \ge 2$ dvs alla punkter som ligger på eller ovanför linjen.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766665.gif" hspace='0' vspace='0' />



På samma sätt kan vi välja att tolka sambandet $ y \le x $ geometriskt genom att först rita upp linjen $\;y=x\;$ i ett koordinatsystem. Vilka punkter $\;(x,y)\;$ uppfyller sambandet $\;y\le x\;$. Vi kan tolka detta samband som ett villkor som är uppfyllt för alla punkter $(x,y)$ som har större än eller lika stor x-koordinat som y-koordinat. Vi upptäcker att det är de punkter som ligger till höger om denna linje som uppfyller villkoret.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766666.gif" hspace='0' vspace='0' />

Exempel 1

Om vi ritar upp linjerna $ y=x, y=-x \mbox{ och } y=2 $ så begränsar dessa linjer en månghörning, i detta fall en triangel, i kordinatsystemet.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/797024.gif" hspace='0' vspace='0' />


Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den.


Vi ser att dess y-koordinat måste vara mindre än 2. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränas av $ y=0$.


y-koordinaten måste således ligga i intervallet $ 0\le y\le2$.


För x-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att x-koordinaten måste ligga ovanför linjerna $y=-x \mbox{ och } y=x$. Vi ser att detta är uppfyllt då $-y\le x\le y$.


Eftersom vi redan har begränsningar för y-koordinaten så ser vi att x inte kan vara större än 2 och mindre än -2 automatiskt.


Vi ser att basen i triangeln blir 4 längdenheter och höjden 2 längdenheter.


Arean av denna triangel blir alltså $ 4\cdot 2/2=4$areaenheter.



Linjära ekvationer uppstår alltid när man vill bestämma skärningspunkten mellan två linjer:


Exempel 1


Skärningspunkten för linjerna $ y=3x+1 $ och $ y=2-x $ skall bestämmas. I en skärningspunkt måste y-koordinaterna vara lika. Man får skärningspunktens x-koordinat genom sätta högerleden för linjernas ekvationer lika med varandra och därefter lösa ut x:


$ 3x+1=2-x $

$ 4x=1 $

$ x=\displaystyle \frac{1}{4} $


Insättning ger y-koordinaten $ y=3\cdot \displaystyle \frac{1}{4}+1=\displaystyle \frac{7}{4} $. Man hade lika gärna kunnat beräkna y med hjälp av den andra linjens ekvation: $ y=2-\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{7}{4} $. Skärningspunkten är alltså (1/4, 7/4).



Råd för inläsning


Tänk på att...

Rita egna figurer när du löser geometriska problem och att vara noggrann när du ritar! En bra figur kan vara halva lösningen, men en dålig figur kan lura en.

Observera att man skiljer på längdskala, areaskala och volymskala.

Två figurer är likformiga om alla inbördes avstånd är förändrade i samma skala. För polygoner (månghörningar) innebär detta att motsvarande vinklar är lika stora och att förhållandet mellan motsvarande sidor är lika. Om dessutom alla inbördes avstånd är oförändrade så är de båda figurerna kongruenta.



Lästips


för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: <img src="ppStdFiles2261/779513.gif" align="left" hspace='0' vspace='0' />


Läs mer om räta linjens ekvation i Bruno Kevius matematiska ordlista


Läs mer om paraboler i "Cut the Knot"



Länktips <img src="ppStdFiles2261/779514.gif" align="left" hspace='10' vspace='15' />


Undersök sambandet melan en rät linje och dess ekvation


Experimentera med Räta linjens ekvation


Experimentera med Archimedes triangel & andragradskurvor


Här kan du träna på fler geometriska räkneuppgifter


© Copyright 2006, KTH Matematik




Personliga verktyg