3.2 Rotekvationer

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 23 april 2007 kl. 14.52 (redigera)
Lina (Diskussion | bidrag)
(Ny sida: <table><tr><td width="600"> =3.2 Rotekvationer= <div class="inforuta"> '''Innehåll:''' *Rotekvationer av typen $ \sqrt{ax+b}= cx +d $ *Falska rötter </div> <div class="inforuta"> '''L...)
← Gå till föregående ändring
Nuvarande version (16 maj 2007 kl. 07.33) (redigera) (ogör)
Tek (Diskussion | bidrag)
(Lagt in text om grund- och slutprov)
 
(12 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
 +__NOTOC__
<table><tr><td width="600"> <table><tr><td width="600">
- 
-=3.2 Rotekvationer= 
<div class="inforuta"> <div class="inforuta">
'''Innehåll:''' '''Innehåll:'''
-*Rotekvationer av typen $ \sqrt{ax+b}= cx +d $+*Rotekvationer av typen $\,\sqrt{ax+b}= cx +d $
*Falska rötter *Falska rötter
</div> </div>
<div class="inforuta"> <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''+'''Lärandemål:'''
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Lösa enkla rotekvationer med kvadrering och veta att lösningarna måste prövas+*Lösa enkla rotekvationer med kvadrering.
 +*Hantera falska rötter och veta när de uppstår.
</div> </div>
-[[agjöeijö|Övningar]]+[[3.2 Övningar|Övningar]]
</td> </td>
Rad 28: Rad 28:
=Teori= =Teori=
-Rotekvationer &auml;r ekvationer d&auml;r variabeln f&ouml;rekommer under ett rottecken.  
-Det kan handla om b&aring;de kvadratr&ouml;tter, kubikr&ouml;tter ellar andra r&ouml;tter. 
- 
-F&ouml;rst n&aring;got om beteckningar (se &auml;ven avsnitt 1.4). Kvadratroten ur x betecknas: 
- 
-$ \sqrt{x} \; $ eller $ \; x^{1/2} $ 
- 
-och &auml;r beteckningen f&ouml;r det positiva tal (om x > 0) som kvadrerat blir x.  
-Kubikroten ur x betecknas: 
-$ \sqrt[\scriptstyle3]{x} \; $ eller $ \; x^{1/3}$ 
- 
-och &auml;r det tal som upph&ouml;jt i 3 blir x.  
-F&ouml;rv&auml;xla inte kubikroten med $3 \sqrt{x}$ som &auml;r tre  
-g&aring;nger kvadratroten ur x. Kubikr&ouml;tter kan dras ur negativa tal, och de kan vara negativa.  
- 
- 
-Ett exempel &auml;r: 
-$ \sqrt[\scriptstyle3]{-1} = -1, \; $ eftersom $ \; (-1)^3 = -1.$ 
- 
- 
Det finns m&aring;nga olika varianter av rotekvationer, t.ex. Det finns m&aring;nga olika varianter av rotekvationer, t.ex.
-$$\sqrt{x} + 3x = 2$$+$$\sqrt{x} + 3x = 2\,,$$
-$$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2$$+$$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,$$
-$$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x$$+$$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}$$
Rad 60: Rad 40:
Strategin f&ouml;r att uppn&aring; detta &auml;r att skriva ekvationen Strategin f&ouml;r att uppn&aring; detta &auml;r att skriva ekvationen
s&aring; att rottecknet blir ensamt kvar p&aring; ena sidan av likhetstecknet. s&aring; att rottecknet blir ensamt kvar p&aring; ena sidan av likhetstecknet.
-Sedan kvadrerar man ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), s&aring; att rottecknet f&ouml;rsvinner.+Sedan kvadrerar man båda led i ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), s&aring; att rottecknet f&ouml;rsvinner och löser sedan den nya, kvadrerade, ekvationen.
N&auml;r man kvadrerar en ekvation m&aring;ste man t&auml;nka p&aring; att de l&ouml;sningar som man f&aring;r N&auml;r man kvadrerar en ekvation m&aring;ste man t&auml;nka p&aring; att de l&ouml;sningar som man f&aring;r
fram kanske inte &auml;r l&ouml;sningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror p&aring; att eventuella fram kanske inte &auml;r l&ouml;sningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror p&aring; att eventuella
Rad 72: Rad 52:
'''Exempel 1''' '''Exempel 1'''
-Minustecken f&ouml;rsvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation:+Minustecken f&ouml;rsvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation
-$$x = 2,$$+$$x = 2\mbox{.}$$
Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation f&aring;r vi Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation f&aring;r vi
-$$x^2 = 4 $$+$$x^2 = 4\mbox{.}$$
-Denna nya ekvation har tv&aring; l&ouml;sningar $x = 2$ eller $x = -2$. +Denna nya ekvation har tv&aring; l&ouml;sningar $\,x = 2\,$ eller $\,x = -2\,$.
-L&ouml;sningen $x = 2$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $x = -2$ &auml;r en l&ouml;sning dom uppstod i den kvaderade ekvationen. +L&ouml;sningen $\,x = 2\,$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $\,x = -2\,$ &auml;r en l&ouml;sning som uppstod i den kvadrerade ekvationen.
</div> </div>
Rad 89: Rad 69:
'''Exempel 2''' '''Exempel 2'''
-L&ouml;s ekvationen:$2\sqrt{x - 1} = 1 - x$+L&ouml;s ekvationen $\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x\,$.
- +<br>
- +<br>
-'''L&ouml;sning:''' +Tv&aring;an framf&ouml;r rottecknet &auml;r en faktor. Vi kan dividera v&auml;nster- och h&ouml;gerled med 2,
- +men vi kan ocks&aring; l&aring;ta tv&aring;an st&aring; kvar. Om vi kvadrerar ekvationen
-Tv&aring;an framf&ouml;r rottecknet &auml;r en faktor. Vi kan dividera v&auml;nster- och h&ouml;gerled med tv&aring;, +
-men vi kan ocks&aring; l&aring;ta tv&aring;an st&aring; kvar. Den st&ouml;r oss inte. Om vi kvadrerar ekvationen +
som den &auml;r f&aring;r vi som den &auml;r f&aring;r vi
- +$$4(x - 1) = (1 - x)^2$$
-$4(x - 1) = (1 - x)^2 $+
- +
och utvecklar vi kvadraten fås och utvecklar vi kvadraten fås
- +$$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}$$
-$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2$+
- +
Detta &auml;r en andragradsekvation, som kan skrivas Detta &auml;r en andragradsekvation, som kan skrivas
 +$$x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}$$
-$x^2 - 6x + 5 = 0$+Denna kan l&ouml;sas med kvadratkomplettering eller med den allm&auml;nna l&ouml;sningsformeln.
 +L&ouml;sningarna blir $\,x = 3 \pm 2\,$, dvs. $\,x = 1\,$ eller $\,x = 5\,$.
-Denna kan l&ouml;sas med kvadratkomplettering eller allm&auml;nna l&ouml;sningsformeln.  
-L&ouml;sningarna blir: 
-$x = 3 \pm 2, $ dvs $ x = 1 $ eller $ x = 5. $ +Eftersom vi kvadrerar ekvationen finns risken att detta introducerar falska r&ouml;tter och d&auml;rf&ouml;r beh&ouml;ver vi pr&ouml;va om $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$ ocks&aring; &auml;r l&ouml;sningarna till den ursprungliga rotekvationen:
 +* $x = 1\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 1 = 0\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} = \mbox{HL}\,$ och ekvationen &auml;r uppfylld!
 +* $x = 5\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 5 = -4\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} \ne \mbox{HL}$ och ekvationen &auml;r ''inte'' uppfylld!
-Eftersom vi kvaderar ekvationen finns risk att detta introducerar falska r&ouml;tter och d&auml;rf&ouml;r beh&ouml;ver vi pr&ouml;va om $x=1$ och $x=5$ ocks&aring; &auml;r l&ouml;sningarna i den ursprungliga rotekvationen:+Ekvationen har därmed bara en l&ouml;sning $\,x = 1 \,$.
 +[[Bild:772637.gif||center‎]]
-'''Testa $x = 1 \;$''' +</div>
-$x = 1 \;$+[[3.2 Övningar|Övningar]]
-medför  
-$\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 \; $+<div class="inforuta">
 +'''Råd för inläsning'''
-och +'''Grund- och slutprov'''
-$\mbox{HL} = 1 - 1 = 0. $+Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
- 
-'''$\mbox{VL} = \mbox{HL.}$ Ekvationen &auml;r uppfylld!''' 
- 
- 
-'''Testa $x = 5 \;$'''  
- 
-$x = 5 \; $ medför  
- 
-$ \mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 \; $ 
- 
-och  
- 
-$ \mbox{HL} = 1 - 5 = -4.$ 
- 
- 
-'''$\mbox{VL} \ne \mbox{HL.}$ Ekvationen &auml;r inte uppfylld!''' 
- 
- 
-'''Ekvationen har allts&aring; bara en l&ouml;sning, $x = 1 \; \mbox{.}$''' 
- 
- 
-De två funktionerna visas i kurvan nedan. 
-<img src="ppStdFiles2261/772637.gif" hspace='0' vspace='0' > <br> 
- 
-</div> 
- 
-<div class="inforuta"> 
-'''Råd för inläsning''' 
'''Tänk på att:''' '''Tänk på att:'''
Rad 168: Rad 117:
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring
- 
-[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/01_kursoversikt/index.asp Läs mer om Algebra i Theducations Gymnasielexikon] 
[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier] [http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier]
Rad 179: Rad 126:
</div> </div>
- 
- 
-'''© Copyright 2006, KTH Matematik''' 
- 
- 
Rad 190: Rad 132:
<td valign="top"> <td valign="top">
-<!-- rätt/fel in här -->+{{Repetition_rötter}}
</td><!--ej i wiki</tr></table>--> </td><!--ej i wiki</tr></table>-->

Nuvarande version

Innehåll:

  • Rotekvationer av typen $\,\sqrt{ax+b}= cx +d $
  • Falska rötter

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Lösa enkla rotekvationer med kvadrering.
  • Hantera falska rötter och veta när de uppstår.


Övningar

[redigera] Teori

Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex.

$$\sqrt{x} + 3x = 2\,,$$

$$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,$$

$$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}$$


För att lösa rotekvationer vill man bli av med rottecknet. Strategin för att uppnå detta är att skriva ekvationen så att rottecknet blir ensamt kvar på ena sidan av likhetstecknet. Sedan kvadrerar man båda led i ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), så att rottecknet försvinner och löser sedan den nya, kvadrerade, ekvationen. När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Oavsett om man hade något positivt eller negativt så har man alltid något positivt efter en kvadrering. Därför måste man pröva de lösningar som man får fram. Man behöver verifiera att de inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också till den ursprungliga ekvationen.

Exempel 1

Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation

$$x = 2\mbox{.}$$

Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi

$$x^2 = 4\mbox{.}$$

Denna nya ekvation har två lösningar $\,x = 2\,$ eller $\,x = -2\,$. Lösningen $\,x = 2\,$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $\,x = -2\,$ är en lösning som uppstod i den kvadrerade ekvationen.

Exempel 2

Lös ekvationen $\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x\,$.

Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med 2, men vi kan också låta tvåan stå kvar. Om vi kvadrerar ekvationen som den är får vi $$4(x - 1) = (1 - x)^2$$ och utvecklar vi kvadraten fås $$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}$$ Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas $$x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}$$

Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller med den allmänna lösningsformeln. Lösningarna blir $\,x = 3 \pm 2\,$, dvs. $\,x = 1\,$ eller $\,x = 5\,$.


Eftersom vi kvadrerar ekvationen finns risken att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$ också är lösningarna till den ursprungliga rotekvationen:

  • $x = 1\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 1 = 0\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} = \mbox{HL}\,$ och ekvationen är uppfylld!
  • $x = 5\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 5 = -4\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} \ne \mbox{HL}$ och ekvationen är inte uppfylld!

Ekvationen har därmed bara en lösning $\,x = 1 \,$.

center‎

Övningar


Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att:

När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen, s. k. falska rötter. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Därför måste man verifiera att de lösningar man får fram, inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också är lösningar till den ursprungliga ekvationen.

Du ska alltid pröva lösningen i rotekvationer.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring

Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier


Länktips

Vad är roten ur -- ? Webmath.com hjälper dig att förenkla rotuttryck


Repetition av rötter

Rotekvationer är ekvationer där variabeln förekommer under ett rottecken. Det kan handla om både kvadratrötter, kubikrötter ellar andra rötter.

Först något om beteckningar (se även avsnitt 1.4). Kvadratroten ur x betecknas:

$ \sqrt{x} \; $ eller $ \; x^{1/2} $

och är beteckningen för det positiva tal (om x > 0) som kvadrerat blir x. Kubikroten ur x betecknas: $ \sqrt[\scriptstyle3]{x} \; $ eller $ \; x^{1/3}$

och är det tal som upphöjt i 3 blir x. Förväxla inte kubikroten med $3 \sqrt{x}$ som är tre gånger kvadratroten ur x. Kubikrötter kan dras ur negativa tal, och de kan vara negativa.


Ett exempel är: $ \sqrt[\scriptstyle3]{-1} = -1, \; $ eftersom $ \; (-1)^3 = -1.$

Personliga verktyg