4.4 Trigonometriska ekvationer

Sommarmatte 1

Version från den 25 april 2007 kl. 07.36; Lina (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Innehåll

4.4 Trigonometriska ekvationer

Innehåll:

  • Trigonometriska ekvationer

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Lösa ekvationer av typen $ \cos x = a $, $\sin x = a \;$ och $ \tan x = a $
  • Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationer

Övningar

Teori

Grundekvationer

Trigonometriska ekvationer kan vara mycket komplicerade, men det finns också många typer av trigonometriska ekvationer som man kan lösa med ganska enkla metoder. Här skall vi börja med att titta på de mest grundläggande trigonometriska ekvationerna, av typerna $\sin x = a, \cos x = a $ och $\tan x = a$.

Dessa ekvationer har oändligt många lösningar, såvida inte omständigheterna begränsar antalet möjliga lösningar (t ex att man söker en spetsig vinkel).

Exempel 1

Lös ekvationen $\sin x = 1/2$.


Lösning:

Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $1/2$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinklen här kallas $x$.

Bild: figur 3.5.1

I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med $y$-koordinat $1/2$ i enhetscirkeln, d.v.s. vinklar med sinusvärdet $\frac{1}{2}$. Den första är standardvinkeln $30^\circ = \pi / 6 $ och symmetriskäl bildar den andra vinkeln $30^\circ$ mot den negativa $x$-axeln, vilket gör at den vinkeln är $180^\circ – 30^\circ = 150^\circ$ eller i radianer $\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\sin x = \frac{1}{2}$ mellan $0$ och $2\pi$.

Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde $\frac{1}{2}$ är alltså $$\left\{ \matrix{x=\displaystyle \frac{\pi}{6} + 2n\pi \\ x=\displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2n\pi}\right.$$ där $n$ är ett godtyckligt heltal. Detta kallas den fullständiga lösningen till ekvationen.

Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till $y = \sin x$ skär linjen $y=\frac{1}{2}$.

Bild:3_5_02.gif‎

Exempel 2

Lös ekvationen $\cos x = 1/2$.


Lösning:

Vi tar igen hjälp av enhetscirkeln.

Bild:3_5_03.gif‎

Vi vet att cosinus blir $\frac{1}{2}$ för vinkeln $\pi/3$. Den enda andra riktningen i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln $-\pi/3$. Lägger vi til ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen

$$x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi $$

där $n$ är ett godtyckligt heltal.

Exempel 3

Lös ekvationen $\tan x = \sqrt{3}$.

Lösning:

Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $x$ med den postiva $x$-axeln.

Bild: figur 3.5.2

Därför ser vi att lösningarna till $\tan x = \sqrt{3}$ upprepar sig varje halvt varv $\pi/3, \pi/3 +\pi , \pi/3+ \pi +\pi, \ldots$ Den fullständiga lösningen kan vi få fram genom att utgå från lösningen $\pi/3$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\pi$, $$x = \pi/3 + n \cdot \pi $$

där $n$ är ett godtyckligt heltal.

Några mer komplicerade ekvationer

Trigonometriska ekvationer kan se ut på många olika sätt, och det är omöjligt att här ge en fullständig genomgång av alla tänkbara ekvationer. Men låt oss studera några exempel, där vi kan ha nytta av att vi kan lösa grundekvationerna.

Vissa trigonometriska ekvationer kan förenklas genom att de skrivs om med hjälp av trigonometriska samband. Detta kan t ex leda till en andragradsekvation, som i nedanstående exempel där man använder att $\cos 2x = 2 \cos^2 x – 1$:

Exempel 4

Lös ekvationen $4\cos 2x – \cos x = 0$.

Lösning:

Omskrivning med hjälp av formeln $\cos 2x = 2 \cos^2 x – 1$ ger

$4(2 \cos^2 x – 1) – \cos x = 0$

$8 \cos^2 x – 4 – \cos x = 0$

$\cos^2 x – \displaystyle\frac{1}{8}\cos x – \displaystyle\frac{1}{2} = 0$

$\cos x = \displaystyle\frac{1}{16} \pm \sqrt{ \left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^2 + \displaystyle\frac{1}{2}}$

Vi har nu en ekvation på formen $\cos x = a$ där a är ett tal, och där vi kan hitta lösningsmängden på vanligt sätt.

Andra ekvationer kan efter omskrivning faktoriseras, så att man får en ekvation av formen (Uttryck 1)•(Uttryck 2) = 0. De lösningsmöjligheter som då finns är att Uttryck 1 = 0 eller Uttryck 2 = 0

Exempel 5

Lös ekvationen $\displaystyle\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0$.


Lösning:

Enligt trigonometriska ettan är $\sin ^2 x + \cos^2 x = 1$, dvs $1 – \cos^2 x = \sin^2 x$.

Ekvationen kan alltså skrivas $\displaystyle\frac{1}{2}\sin x + \sin^2 x = 0$.

Genom att nu bryta ut en faktor $\sin x$ får vi $(\sin x )\left(\displaystyle\frac{1}{2} + \sin x\right) = 0$.

Ekvationen delas sedan upp i de två grundekvationerna: $\sin x = 0$ och $\sin x = -1/2$, vilka är vanliga ekvationer på formen $\sin x = a$, där a är ett tal, och där vi enkelt kan hitta den fullständiga lösningsmängden enligt exempel 1

Exempel 6

Lös ekvationen $\sin 2x =4 \cos x$.


Lösning:

Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen

$2\sin x \cos x – 4 \cos x = 0$.

Vi delar med 2 och bryter ut en faktor $\cos x$, vilket ger

$(\cos x)( \sin x – 2) = 0$.

Eftersom produkten bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna

$\cos x = 0$ och $\sin x = 2$.

Men $\sin x$ kan aldrig bli större än 1, så ekvationen $\sin x = 2$ saknar lösningar. Då återstår bara $\cos x = 0$, vilket med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen $x = \pi / 2 + n \cdot \pi$.

Exempel 7

Lös ekvationen $4 \sin^2 x – 4 \cos x = 1$.


Lösning:

Med trigonometriska ettan kan $\sin^2 x$ bytas ut mot $1 – \cos^2 x$. Då får vi

$4 (1 – \cos^2 x) – 4 \cos x = 1$

$4 – 4 \cos^2 x – 4 \cos x = 1$

$– 4 \cos^2 x – 4 \cos x + 4 – 1 = 0$

$\cos^2 x + \cos x – 3/4 = 0$ Detta är en andragradsekvation i $\cos x$, som kan lösas med den så kallade pq-formeln.


$\cos x = - \displaystyle\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2 + \displaystyle\frac{3}{4}} = - \displaystyle\frac{1}{2} \pm \sqrt{\displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{3}{4}}= - \displaystyle\frac{1}{2} \pm 1 $

Eftersom värdet av $\cos x $ ligger mellan – 1 och 1 kan vi förkasta alla lösningar utanför detta intervall. Då återstår bara grundekvationen

$\cos x = 1/2$,

som löses enligt exempel 2.


Råd för inläsning

Tänk på att:

Det är bra om man lär sig de vanliga trigonometriska formlerna (identiteterna) och övar upp en viss vana på att förenkla och manipulera trigonometriska uttryck.

Det är viktigt att man lär sig de grundläggande ekvationerna, av typen sin x = a, cos x = a eller tan x = a (där a är ett reellt tal). Det är också viktigt att man vet att dessa ekvationer har oändligt många lösningar, såvida inte omständigheterna begränsar antalet möjliga lösningar (t ex att man söker en spetsig vinkel).


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om trigonometriska ekvationer i Theducations gymnasielexikon

Träna på trigonometriska räkneexempel i Theducations gymnasielexikon


Länktips

Experimentera med grafen y=a sin b(x-c)

Experimentera med derivatan av sin x


© Copyright 2006, KTH Matematik




Personliga verktyg