Sammanställning övningar

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 21 juni 2007 kl. 14.50 (redigera)
KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag)
(Övning 2.2:8)
← Gå till föregående ändring
Versionen från 21 juni 2007 kl. 14.51 (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag)
(Övning 2.2:9)
Gå till nästa ändring →
Rad 1 355: Rad 1 355:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Facit till alla delfrågor+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
Rad 1 374: Rad 1 371:
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>

Versionen från 21 juni 2007 kl. 14.51


Övning 1.1:1

Beräkna (utan hjälp av räknedosa)

a) $3-7-4+6-5$ b) $3-(7-4)+(6-5)$
c) $3-(7-(4+6)-5)$ d) $3-(7-(4+6))-5$
a) $-7$ b) $1$
c) $11$ d) $1$

Övning 1.1:2

Beräkna (utan hjälp av räknedosa)

a) $(3-(7-4))(6-5)$ b) $3-(((7-4)+6)-5)$
c) $3\cdot(-7)-4\cdot(6-5)$ d) $3\cdot(-7)-(4+6)/(-5)$
a) $0$ b) $-1$
c) $-25$ d) $-19$

Övning 1.1:3

Vilka av följande tal tillhör de naturliga talen? heltalen? rationella talen? irrationella talen? Förenkla först!

a) $8$ b) $-4$ c) $8-4$
d) $4-8$ e) $8(-4)$ f) $(-8)(-4)$
g) $\displaystyle \frac{4}{-8}$ h) $\displaystyle \frac{-8}{-4}$ i) $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$
j) $\displaystyle \Bigl(\frac{4}{\sqrt{2}}\Bigr)^2$ k) $-\pi$ l) $\pi+1$
a) naturliga talen, heltalen, rationella talen b) heltalen, rationella talen c) naturliga talen, heltalen, rationella talen
d) heltalen, rationella talen e) heltalen, rationella talen f) naturliga talen, heltalen, rationella talen
g) rationella talen h) naturliga talen, heltalen, rationella talen i) irrationella talen
j) naturliga talen, heltalen, rationella talen k) irrationella talen l) irrationella talen

Övning 1.1:4

Ordna följande tal i storleksordning

a) $\displaystyle 2,\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{3}\ $ och $\ \displaystyle \frac{7}{3}$
b) $\displaystyle -\frac{1}{2},\ -\frac{1}{5},\ -\frac{3}{10}\ $ och $\ \displaystyle -\frac{1}{3}$
c) $\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{8}\ $ och $\ \displaystyle \frac{21}{34}$
a) $\displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{3}<2<\frac{7}{3}$
b) $\displaystyle -\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{5}$
c) $\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{3}{5}<\frac{21}{34}<\frac{5}{8}<\frac{2}{3}$

Övning 1.1:5

Ange decimalutvecklingen med tre korrekta decimaler till

a) $\displaystyle \frac{7}{6}$ b) $\displaystyle \frac{9}{4}$ c) $\displaystyle \frac{2}{7}$ d) $\sqrt{2}$
a) $1{,}167$ b) $2{,}250$ c) $0{,}286$ d) $1{,}414$

Övning 1.1:6

Vilka av följande tal är rationella? Ange dem som en kvot mellan heltal.

a) $3,14$
b) $3{,}1416\,1416\,1416\,\dots$
c) $0{,}2\,001\,001\,001\,\dots\,$ (därefter är var tredje decimal en 1:a och övriga 0)
d) $0{,}10\,100\,1000\,10000\,1\dots\, $ (en 1:a, en 0:a, en 1:a, två 0:or, en 1:a, tre 0:or osv.)
a) Talet är rationellt och lika med $\,314/100 = 157/50\,$.
b) Talet är rationellt och är lika med $\,31413/9999 = 10471/3333\,$.
c) Talet är rationellt och lika med $\,1999/9990\,$.
d) Talet är irrationellt.


Övning 1.2:1

Skriv på gemensamt bråkstreck

a) $\displaystyle \frac{7}{4}+\frac{11}{7}$ b) $\displaystyle \frac{2}{7}-\frac{1}{5}$ c) $\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{2}{5}$
d) $\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$ e) $\displaystyle \frac{8}{7}+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}$
a) $\displaystyle \frac{93}{28}$ b) $\displaystyle \frac{3}{35}$ c) $\displaystyle -\frac{7}{30}$
d) $\displaystyle \frac{47}{60}$ e) $\displaystyle \frac{47}{84}$

Övning 1.2:2

Bestäm minsta gemensamma nämnare

a) $\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{10}$ b) $\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{8}$
c) $\displaystyle \frac{1}{12}-\frac{1}{14}$ d) $\displaystyle \frac{2}{45}+\frac{1}{75}$
a) $\displaystyle {30}$ b) $\displaystyle {8}$
c) $\displaystyle {84}$ d) $\displaystyle {225}$

Övning 1.2:3

Beräkna följande uttryck genom att använda minsta gemensamma nämnare:

a) $\displaystyle \frac{3}{20}+\frac{7}{50}-\frac{1}{10}$ b) $\displaystyle \frac{1}{24}+\frac{1}{40}-\frac{1}{16}$
a) $\displaystyle \frac{19}{100}$ b) $\displaystyle \frac{1}{240}$

Övning 1.2:4

Förenkla följande uttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck. Bråket ska vara färdigförkortat.

a) $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{7}{10}}$ b) $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{7}}{\displaystyle\frac{3}{8}}$ c) $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\displaystyle\frac{3}{10}}$
a) $\displaystyle \frac{6}{7}$ b) $\displaystyle \frac{16}{21}$ c) $\displaystyle \frac{1}{6}$

Övning 1.2:5

Förenkla följande uttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck. Bråket ska vara färdigförkortat.

a) $\displaystyle \frac{2}{\displaystyle \frac{1}{7}\displaystyle -\frac{1}{15}}$ b) $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle+\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle-\frac{1}{2}}$ c) $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{10}\displaystyle-\frac{1}{5}}{\displaystyle\frac{7}{8}\displaystyle-\frac{3}{16}}$
a) $\displaystyle \frac{105}{4}$ b) $-5$ c) $\displaystyle \frac{8}{55}$

Övning 1.2:6

Förenkla $\ \,\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{\displaystyle 3+\frac{1}{2}}\displaystyle + \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{4}\displaystyle -\frac{1}{3}}}{\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle - \frac{3}{\displaystyle 2-\frac{2}{7}}}$

$\displaystyle \frac{152}{35}$


Övning 1.3:1

Beräkna

a) $2^3\cdot3^2$ b) $3^5\cdot9^{-2}$ c) $(-5)^3$ d) $\Bigl(\displaystyle \frac{2}{3}\Bigr)^{-3}$
a) $72$ b) $3$ c) $-125$ d) $\displaystyle \frac{27}{8}$

Övning 1.3:2

Skriv som en potens av 2

a) $2\cdot4\cdot8$ b) $0{,}25$ c) $1$
a) $2^6$ b) $2^{-2}$ c) $2^0$

Övning 1.3:3

Skriv som en potens av 3

a) $\displaystyle \frac{1}{3}$ b) $243$ c) $9^2$ d) $\displaystyle \frac{1}{27}$ e) $\displaystyle \frac{3}{9^2}$
a) $3^{-1}$ b) $3^5$ c) $3^4$ d) $3^{-3}$ e) $3^{-3}$

Övning 1.3:4

Beräkna

a) $2^{9}\cdot2^{-7}$ b) $3^{13}\cdot9^{-3}\cdot27^{\,-2}$ c) $\displaystyle \frac{5^{12}}{5^{-4}}\cdot(5^{2})^{-6}$
d) $2^{2^{\scriptstyle3}}\cdot(-2)^{\scriptstyle-4}$ e) $625\cdot(5^{8}+5^{9})^{-1}$
a) $4$ b) $3$ c) $625$
d) $16$ e) $\displaystyle \frac{1}{3750}$

Övning 1.3:5

Beräkna

a) $4^{1/2}$ b) $4^{-1/2}$ c) $9^{3/2}$
d) $\left(47^{2/3} \right) ^{3}$ e) $3^{1{,}4}\cdot3^{0{,}6}$ f) $\bigl( 125 ^{1/3} \bigr)^2\cdot \bigl( 27^{1/3} \bigr)^{-2}\cdot9^{1/2}$
a) $2$ b) $\displaystyle \frac{1}{2}$ c) $27$
d) $2209$ e) $9$ f) $\displaystyle \frac{25}{3}$


Övning 1.3:6

Avgör vilket tal som är störst av

a) $256^{1/3}\ $ och $\ 200^{1/3}$ b) $0{,}5^{-3}\ $ och $\ 0{,}4^{-3}$ c) $0{,}2^5\ $ och $\ 0{,}2^{7}$
d) $400^{1/3}\ $ och $\ \bigl(5^{1/3}\bigr)^{4}$ e) $125^{1/2}\ $ och $\ 625^{1/3}$ f) $2^{56}\ $ och $\ 3^{40}$
a) $256^{1/3}>200^{1/3}$ b) $0{,}4^{-3}>0{,}5^{-3}$ c) $0{,}2^{5}>0{,}2^{7}$
d) $\bigl(5^{1/3}\bigr)^{4}>400^{1/3}$ e) $125^{1/2}>625^{1/3}$ f) $3^{40}>2^{56}$

Övning 2.1:1

Utveckla

a) $3x(x-1)$ b) $(1+x-x^2)xy$ c) $-x^2(4-y^2)$
d) $x^3y^2\left(\displaystyle \frac{1}{y} - \frac{1}{xy}+1\right)$ e) $(x-7)^2$ f) $(5+4y)^2$
g) $(y^2-3x^3)^2$ h) $(5x^3+3x^5)^2$
a) $3x^2-3x$ b) $xy+x^2y-x^3y$ c) $-4x^2+x^2y^2$
d) $x^3y-x^2y+x^3y^2$ e) $x^2-14x+49$ f) $16y^2+40y+25$
g) $9x^6-6x^3y^2+y^4$ h) $9x^{10}+30x^8+25x^6$

Övning 2.1:2

Utveckla och förenkla så långt som möjligt

a) $(x-4)(x-5)-3x(2x-3)$ b) $(1-5x)(1+15x)-3(2-5x)(2+5x)$
c) $(3x+4)^2-(3x-2)(3x-8)$ d) $(3x^2+2)(3x^2-2)(9x^4+4)$
e) $(a+b)^2+(a-b)^2$
a) $-5x^2+20$ b) $10x-11$
c) $54x$ d) $81x^8-16$
e) $2a^2+2b^2$

Övning 2.1:3

Faktorisera så långt som möjligt

a) $x^2-36$ b) $5x^2-20$ c) $x^2+6x+9$
d) $x^2-10x+25$ e) $18x-2x^3$ f) $16x^2+8x+1$
a) $(x+6)(x-6)$ b) $5(x+2)(x-2)$ c) $(x+3)^2$
d) $(x-5)^2$ e) $-2x(x+3)(x-3)$ f) $(4x+1)^2$

Övning 2.1:4

Bestäm koefficienterna framför $\,x\,$ och $\,x^2\,$ när följande uttryck utvecklas

a) $(x+2)(3x^2-x+5)$
b) $(1+x+x^2+x^3)(2-x+x^2+x^4)$
c) $(x-x^3+x^5)(1+3x+5x^2)(2-7x^2-x^4)$
a) $5\,$ framför $\,x^2\,$, $\,3\,$ framför $\,x$
b) $2\,$ framför $\,x^2\,$, $\,1\,$ framför $\,x$
$\textrm{c) }$ $6\,$ framför $\,x^2\,$, $\,2\,$ framför $\,x$

Övning 2.1:5

Förenkla så långt som möjligt

a) $\displaystyle \frac{1}{x-x^2}-\displaystyle \frac{1}{x}$ b) $\displaystyle \frac{1}{y^2-2y}-\displaystyle \frac{2}{y^2-4}$
c) $\displaystyle \frac{(3x^2-12)(x^2-1)}{(x+1)(x+2)}$ d) $\displaystyle \frac{(y^2+4y+4)(2y-4)}{(y^2+4)(y^2-4)}$
a) $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ b) $-\displaystyle \frac{1}{y(y+2)}$
c) $3(x-2)(x-1)$ d) $\displaystyle \frac{2(y+2)}{y^2+4}$

Övning 2.1:6

Förenkla så långt som möjligt

a) $\left(x-y+\displaystyle\frac{x^2}{y-x}\right)$ $\left(\displaystyle\frac{y}{2x-y}-1\right)$ b) $\displaystyle \frac{x}{x-2}+\displaystyle \frac{x}{x+3}-2$
c) $\displaystyle \frac{2a+b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}$ d) $\displaystyle\frac{a-b+\displaystyle\frac{b^2}{a+b}}{1-\left(\displaystyle\frac{a-b}{a+b}\right)^2}$
a) $2y$ b) $\displaystyle\frac{-x+12}{(x-2)(x+3)}$
c) $\displaystyle\frac{b}{a(a-b)}$ d) $\displaystyle\frac{a(a+b)}{4b}$

Övning 2.1:7

Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck

a) $\displaystyle \frac{2}{x+3}-\frac{2}{x+5}$ b) $x+\displaystyle \frac{1}{x-1}+\displaystyle \frac{1}{x^2}$ c) $\displaystyle \frac{ax}{a+1}-\displaystyle \frac{ax^2}{(a+1)^2}$
a) $\displaystyle \frac{4}{(x+3)(x+5)}$ b) $\displaystyle \frac{x^4-x^3+x^2+x-1}{x^2(x-1)}$ c) $\displaystyle \frac{ax(a+1-x)}{(a+1)^2}$

Övning 2.1:8

Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck

a) $\displaystyle \frac{\displaystyle\ \frac{x}{x+1}\ }{\ 3+x\ }$ b) $\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{x}-\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle \frac{1}{x-3}}$ c) $\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+x}}}$
a) $\displaystyle \frac{x}{(x+3)(x+1)}$ b) $\displaystyle \frac{2(x-3)}{x}$ c) $\displaystyle \frac{x+2}{2x+3}$

Övning 2.2:1

Lös ekvationerna

a) $x-2=-1$ b) $2x+1=13$
c) $\displaystyle\frac{1}{3}x-1=x$ d) $5x+7=2x-6$
a) $x=1$ b) $x=6$
c) $x=-\displaystyle\frac{3}{2}$ d) $x=-\displaystyle\frac{13}{3}$

Övning 2.2:2

Lös ekvationerna

a) $\displaystyle\frac{5x}{6}-\displaystyle\frac{x+2}{9}=\displaystyle\frac{1}{2}$ b) $\displaystyle\frac{8x+3}{7}-\displaystyle\frac{5x-7}{4}=2$
c) $(x+3)^2-(x-5)^2=6x+4$ d) $(x^2+4x+1)^2+3x^4-2x^2=(2x^2+2x+3)^2$
a) $x=1$ b) $x=\displaystyle\frac{5}{3}$
c) $x=2$ d) $x=-2$

Övning 2.2:3

Lös ekvationerna

a) $\displaystyle\frac{x+3}{x-3}-\displaystyle\frac{x+5}{x-2}=0$
b) $\displaystyle\frac{4x}{4x-7}-\displaystyle\frac{1}{2x-3}=1$
c) $\left(\displaystyle\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\left(x^2+\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{6x-1}{3x-3}$
d) $\left(\displaystyle\frac{2}{x}-3\right)\left(\displaystyle\frac{1}{4x}+\frac{1}{2}\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{2}{3}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}+\frac{1}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{1}{3}\right)=0$
a) $x=9$
b) $x=\displaystyle\frac{7}{5}$
c) $x=\displaystyle\frac{4}{5}$
d) $x=\displaystyle\frac{1}{2}$

Övning 2.2:4

a) Skriv ekvationen för linjen $\,y=2x+3\,$ på formen $\,ax+by=c\,$.
b) Skriv ekvationen för linjen $\,3x+4y-5=0\,$ på formen $\,y=kx+m\,$.
a) $-2x+y=3$
b) $y=-\displaystyle\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$

Övning 2.2:5

a) Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $\,(2,3)\,$ och $\,(3,0)\,$.
b) Bestäm ekvationen för den räta linje som har riktningskoefficient $\,-3\,$ och går genom punkten $\,(1,-2)\,$.
c) Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(-1,2)\,$ och är parallell med linjen $\,y=3x+1\,$.
d) Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(2,4)\,$ och är vinkelrät mot linjen $\,y=2x+5\,$.
e) Bestäm riktningskoefficienten, $\,k\,$, för den räta linje som skär x-axeln i punkten $\,(5,0)\,$ och y-axeln i punkten $\,(0,-8)\,$.
a) $y=-3x+9$
b) $y=-3x+1$
c) $y=3x+5$
d) $y=-\displaystyle \frac{1}{2}x+5$
e) $k = \displaystyle\frac{8}{5}$

Övning 2.2:6

Finn skärningspunkten mellan följande linjer

a) $y=3x+5\ $ och x-axeln b) $y=-x+5\ $ och y-axeln
c) $4x+5y+6=0\ $ och y-axeln d) $x+y+1=0\ $ och $\ x=12$
e) $2x+y-1=0\ $ och $\ y-2x-2=0$
a) $\bigl(-\frac{5}{3},0\bigr)$ b) $(0,5)$
c) $\bigl(0,-\frac{6}{5}\bigr)$ d) $(12,-13)$
e) $\bigl(-\frac{1}{4},\frac{3}{2}\bigr)$

Övning 2.2:7

Skissera grafen till följande funktioner

a) $f(x)=3x-2$ b) $f(x)=2-x$ c) $f(x)=2$
a) Bild:Svar_o2_2_7a.gif‎ b) Bild:Svar_o2_2_7b.gif‎
c) Bild:Svar_o2_2_7c.gif‎

Övning 2.2:8

Rita in i ett xy-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller

a) $y \geq x $ b) $y < 3x -4 $ c) $2x+3y \leq 6 $
a) Bild:Svar_o2_2_8a.gif‎ b) Bild:Svar_o2_2_8b.gif‎
c) Bild:Svar_o2_2_8c.gif‎

Övning 2.2:9

Beräkna arean av den triangel som

a) har hörn i punkterna $\,(1,4)\,$, $\,(3,3)\,$ och $\,(1,0)\,$
b) begränsas av linjerna $\ x=2y\,$, $\ y=4\ $ och $\ y=10-2x\,$
c) beskrivs av olikheterna $\ x+y \geq -2\,$, $\ 2x-y \leq 2\ $ och $\ 2y-x \leq 2\,$
a) $4\,$ a.e.
b) $5\,$ a.e.
c) $6\,$ a.e.
Personliga verktyg