1.2 Övningar
Sommarmatte 2
Innehåll |
[redigera] Övning 1.2:1
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $\cos x \cdot \sin x$ | b) | $x^2\ln x$ | c) | $\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ | e) | $\displaystyle\frac{x}{\ln x}$ | f) | $\displaystyle\frac{x \ln x}{\sin x}$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$ | b) | $2x\ln x+ x$ | c) | $\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}=1-\frac{2}{(x+1)^2}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$ | e) | $\displaystyle\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}$ | f) | $\displaystyle \frac{\ln x + 1}{\sin x}-\frac{x\ln x \cos x}{\sin^2x}$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
[redigera] Övning 1.2:2
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $ \sin x^2$ | b) | $e^{x^2+x}$ | c) | $\sqrt{\cos x}$ |
| d) | $\ln \ln x$ | e) | $x(2x+1)^4$ | f) | $\cos \sqrt{1-x}$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $\cos x^2 \cdot 2x$ | b) | $e^{x^2+x}(2x+1)$ | c) | $\displaystyle - \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{1}{x\ln x}$ | e) | $(2x+1)^3(10x+1)$ | f) | $\displaystyle\frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning till delfråga f)
|
|
[redigera] Övning 1.2:3
Beräkna derivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $ \ln (\sqrt{x} + \sqrt{x+1})$ | b) | $\sqrt{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$ | c) | $\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$ |
| d) | $\sin \cos \sin x$ | e) | $e^{\sin x^2}$ | f) | $x^{\tan x}$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ | b) | $\displaystyle - \frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}$ | c) | $\displaystyle - \frac{1-2x^2}{x^2(1-x^2)^{3/2}}$ |
| d) | $-\cos\cos\sin x \cdot \sin\sin x \cdot \cos x$ | e) | $e^{\sin x^2}\cdot \cos x^2 \cdot 2x$ | f) | $\displaystyle x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2x}+\frac{\tan x}{x}\Bigr)$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning till delfråga f)
|
|
[redigera] Övning 1.2:4
Beräkna andraderivatan av följande funktioner och förenkla svaret så långt som möjligt
| a) | $ \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ | b) | $x ( \sin \ln x +\cos \ln x )$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $\displaystyle\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}}$ | b) | $\displaystyle - \frac{2\sin \ln x}{x}$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
