1.2 Deriveringsregler

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll:

Derivata av en produkt och kvot
Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln)
Högre ordningars derivata

Färdigheter:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.

Övningar

[redigera] Derivering av produkt och kvot

Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:

Deriveringsregler för produkter och kvoter: $$\eqalign{D\,\bigl(\,f(x) \cdot g(x) \bigr) &= f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\cr D\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\bigl( g(x)\bigr)^2}}$$

(Observera att derivering av produkter och kvoter inte är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)

Exempel 1

$ D\,(x^2 e^x) = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (2x +x^2)\,e^x\,$.
$ D\,(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x \cos x\,$.
$\displaystyle D\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x\,$.
$\displaystyle D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\,$.
$\displaystyle D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x} - (1+x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2} = \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac { \displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,$.
$\displaystyle D\,\frac{x\,e^x}{1+x} = \frac{(1\cdot e^x + x\cdot e^x)(1+x) - x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} = \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,$.

[redigera] Derivering av sammansatta funktioner

En funktion $\,y=f(g)\,$ där variabeln $\,g\,$ i sin tur är beroende av en variabel $\,x\,$ får formen $\,y=f \bigl( g(x)\bigr)$ och kallas sammansatt funktion. Om man deriverar en sammansatt funktion med avseende på den oberoende variabeln $\,x\,$, använder man följande regel: $$y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr) \cdot g'(x)\,\mbox{.}$$ Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter $y=f(u)$ och $u=g(x)$ kan kedjeregeln skrivas $$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\,\mbox{.}$$ Man brukar säga att den sammansatta funktionen $\,y\,$ består av den yttre funktionen $\,f\,$ och den inre funktionen $\,g\,$. Analogt kallas $\,f^{\,\prime}\,$ för den yttre derivatan och $\,g'\,$ den inre derivatan.

Exempel 2

För funktionen $y=(x^2 + 2x)^4$ är

$y=u^4\quad$	yttre funktionen, och	$\quad u=x^2 + 2x\quad$	inre funktion.
$\displaystyle \frac{dy}{du} = 4 u^3\quad$	yttre derivatan, och	$\quad\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x + 2\quad$	inre derivatan.

Derivatan av funktionen $\,y\,$ med avseende på $\,x\,$ blir enligt kedjeregeln $$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \displaystyle \frac{dy}{du} \cdot \displaystyle \frac{du}{dx} = 4 u^3 \cdot (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \cdot (2x +2)\,\mbox{.}$$

När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret

$$(\text{yttre derivata})\cdot (\text{inre derivata})\,\mbox{.}$$

Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.

Exempel 3

$ f(x) = \sin (3x^2 + 1)$

$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&\cos (3x^2 +1)\cr \text{Inre derivatan:}&6x\end{array}$

$\,f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos (3x^2 +1)$
$ y = 5 \, e^{x^2}$

$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&5 \, e^{x^2}\cr \text{Inre derivatan:}&2x\end{array}$

$\,y' = 5 \, e^{x^2} \cdot 2x = 10x\, e^{x^2}$
$ f(x) = e^{x\cdot \sin x}$

$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&e^{x\cdot \sin x}\cr \text{Inre derivatan:}&1\cdot \sin x + x \cos x\end{array}$

$\,f^{\,\prime}(x) = e^{x\cdot \sin x} (\sin x + x \cos x)$
$ s(t) = t^2 \cos (\ln t) $

$ s'(t) = 2t \cdot \cos (\ln t) + t^2 \cdot\Bigl(-\sin (\ln t) \cdot \displaystyle \frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)$
$ D\,a^x = D\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = D\,e^{\ln a \cdot x} = e^{\ln a \cdot x} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a $
$ D\,x^a = D\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = D\,e^{ a \cdot \ln x } = e^{a \cdot \ln x} \cdot a \cdot \displaystyle \frac{1}{x} = x^a \cdot a \cdot x^{-1} = ax^{a-1}$

Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen $y= f \bigl( g(h(x))\bigr)$ har derivatan $$y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\,\mbox{.}$$

Exempel 4

$ D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x =3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)$
$ \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x$
$ D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot D\,\bigl((x^2 -3x)^4\bigr)$
$\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot D\,(x^2-3x)$
$\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3\cdot (2x-3) $
$ D\,\sin^4 (x^2 -3x) = D\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4 = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot D\,\sin(x^2-3x)$
$\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x) \cdot D(x^2 -3x)$
$\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x)\cdot (2x-3)$
$\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr) = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot D\,\sqrt{x^3-1} = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot D\,(x^3-1)$
$\displaystyle\phantom{\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{}= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}}$

[redigera] Derivator av högre ordningar

Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv.
Andraderivatan brukar betecknas $f^{\,\prime\prime}$ (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc, betecknas $\,f^{\,(3)}\,$, $\,f^{\,(4)}\,$ osv.

Även beteckningarna $\,D^2 f\,$, $\,D^3 f\,$, $\,\ldots\,$ och $\,\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\,$, $\,\displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}\,$, $\,\ldots\,$ är vanliga.

Exempel 5

$ f(x) = 3\,e^{x^2 -1}$
$ f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot D\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}$
$ f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) $
$ y = \sin x\,\cos x$
$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}$
$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x $
$ D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$
$ D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr)=e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x)= 2\,e^x \cos x\vphantom{\biggl(}$
$D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )$

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/1.2_Deriveringsregler

1.2 Deriveringsregler

Sommarmatte 2

Nuvarande version

[redigera] Derivering av produkt och kvot

[redigera] Derivering av sammansatta funktioner

[redigera] Derivator av högre ordningar

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

+__NOTOC__
 <table><tr><td width="600">
-<div class="inforuta">
+{{Info|
 '''Innehåll:'''
-* alt 1
+* Derivata av en produkt och kvot
-* alt 2
+* Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln)
-</div>
+* Högre ordningars derivata
+}}
+{{Info|
+'''Färdigheter:'''
+Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+* I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.
+}}
-[[agjöeijö|Övningar]]
+[[1.2 Övningar|Övningar]]
 </td>
 <tr><td width=600>
 <!-- huvudtexten -->
-=Teori=
-==Deriveringsregler==
-Med hjälpa av derivatans definition kan man besätmma derivatan för de vanliga funktionstyperna.
-<div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
-Om $f(x)=x^2$ så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten
-$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h $$
-Om vi sedan låter $h$ bli noll så ser vi att lutningen i punkten blir $2x$. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan $y=x^2$ är $2x$, dvs. derivatan av $x^2$ är $2x$.
-</div>
-På liknande sätt kan man härleda allmämnna deriveringsregler:
-{| BORDER="0" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
-!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;;"|Funktion
-!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;"|Derivata
-|-
-|$$x^n$$
-|$$n \cdot x^{n-1}$$
-|-
-|$$\ln x$$
-|$$ \frac{1}{x}$$
-|-
-|$$e^x$$
-|$$e^x$$
-|-
-|$$\sin x$$
-|$$\cos x$$
-|-
-|$$\tan x$$
-|$$\frac{1}{\cos^2 x}$$
-|}
-Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att
-$$D(f(x) +g(x))= f'(x) + g'(x)$$
-Samt, om $k$ är en konstant, att
-$$D(k \cdot f(x)) = k \cdot f'(x)$$
-<div class="exempel">
-'''Exempel 2'''
-<ol type="a">
-  <li> $D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 6x^2 - 4 - \cos x$ <br><br>
-  <li>$ y= 3 \ln x + 3e^x \quad \rightarrow \quad y'= 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{x} + 2 e^x = \displaystyle\frac{3}{x} + 2 e^x$ <br><br>
-<li>$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\displaystyle\frac{3x^2}{5} - \displaystyle\frac{x^3}{2}\right) = \displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{5}x^2 - \displaystyle\frac{1}{2}x^3\right)= \displaystyle\frac{6}{5}x - \displaystyle\frac{3}{2}x^2= \frac{6x}{5} - \displaystyle\frac{3x^2}{2}$ <br><br>
-<li>$ s(t)= v_0t + \displaystyle\frac{at^2}{2} \quad \rightarrow \quad s'(t)=v_0 + \displaystyle\frac{2at}{2} = v_0 + at$
-</ol>
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 3'''
-<ol type="a">
-  <li>$f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} = x^{-1} \quad \rightarrow \quad f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\displaystyle\frac{1}{x^2}$ <br><br>
-  <li>$f(x)= \displaystyle\frac{1}{3x^2} = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot x^{-2} \quad \rightarrow \quad f'(x) = -\displaystyle\frac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\displaystyle\frac{2}{3x^3} $ <br><br>
-<li>$g(t) = \displaystyle \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \displaystyle\frac{1}{t} \quad \rightarrow \quad g'(t) = 1 - \displaystyle\frac{1}{t^2}$ <br><br>
-<li>$y = \left( x^2 + \displaystyle\frac{1}{x} \right)^2 = x^4 + 2 \cdot x^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{x} + \left(\displaystyle\frac{1}{x} \right)^2 = x^4 + 2x + x^{-2} \quad \rightarrow \quad$ <br>
-$\quad \rightarrow \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \displaystyle\frac{2}{x^3}$
-</ol>
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 4'''
-$f(x)=x^2 + x^{-2} \quad \rightarrow \quad f'(x) = 2x -2x^{-3} = 2x - \displaystyle \frac{2}{x^3}$
-$ f '(2) = 2\cdot 2 - \displaystyle \frac{2}{2^3}= 4- \displaystyle \frac{1}{4} = \displaystyle \frac{15}{4}$
-$ f '(-1) = 2 \cdot (-1) - \displaystyle \frac{2}{(-1)^3} = -2 + 2 = 0$
-$ f '(0) =$ ej def.
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 5'''
-Ett föremål rör sig enligt $s(t) = t^3 -4t^2 +5t$ , där $s$ km är avståndet från startpunkten efter $t$ timmar. <br>
-Beräkna $s'(3)$ och förklara vad värdet står för.
-'''Lösning'''
-$ s'(t) = 3t^2 - 8t +5 $
-$ s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8$
-Efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h.
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 6'''
-Totalkostnaden $T$ kr för tillverkning av x gummidräkter ges av funktionen
-$$ T(x) = 40000 + 370x -0,09x^2 \quad (0 \le x \le 200)$$
-Beräkna och förklara
-<ol type="a">
-  <li>$T(120)$
-  <li>$T'(120)$
-</ol>
-'''Lösning'''
-<ol type="a">
-  <li>$T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0,09 \cdot 120^2 = 83104$ <br>
-Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr. <br><br>
-  <li>$T'(x)= 370 - 0,18x$ <br>
-$T'(120) = 370 - 0,18 \cdot 120 \approx 348$ <br>
-Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är 348 kr.
-</ol>
-</div>
-==Tangenter och normaler==
-En ''tangent'' till en kurva är en rät linje som tangerar kurvan, dvs. som endast har en punkt gemensam med kurvan – tangeringspunkten.
-En ''normal'' till en kurva är en rät linje som är vinkelrät mot kurvan i en viss punkt på kurvan (och därmed också vinkelrät mot kurvans tangent i denna punkt).
-För vinkelräta linjer gäller att produkten av deras riktningskoefficienter är $–1$, dvs. om tangentens riktningskoefficient betecknas $k_T$ och normalens $k_N$ så är $k_T \cdot k_N = -1$. Eftersom vi kan bestämma lutningen på en kurva med hjälp av derivatan så kan vi också bestämma ekvationen för en tangent eller normal om vi känner till funktionsuttrycket för kurvan.
-<div class="exempel">
-'''Exempel 7'''
-Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan $y=x^2 + 1$ i punkten $(1,2)$
-'''Lösning'''
-Tangentens ekvation är $y = kx + m$ , där $k= y'(1)$.
-[[Bild:Normal-tangent.gif‎|200px|right|]]
-$y' = 2x \quad , \quad y'(1) = 2\cdot 1 = 2$
-Eftersom linjen också passerar punkten $(1,2)$ har vi att
-$2 = 2 \cdot 1 + m \quad \rightarrow \quad m = 0 $
-Tangentens ekvation är alltså $y=2x$
-Riktningskoefficienten för normalen är $k_N = -\displaystyle \frac{1}{k_T} = \displaystyle \frac{1}{2}$ .
-Normalen går också genom punkten $(1, 2)$ ,  dvs.
-$2= -\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1 + m \quad \rightarrow \quad m = \displaystyle \frac{5}{2} $
-Normalen har ekvationen $y= -\displaystyle \frac{x}{2} + \displaystyle \frac{5}{2} = \displaystyle \frac{5-x}{2}$
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 8'''
-Kurvan $y = 2 \, e^x - 3x$ har en tangent vars riktningskoefficient är $–1$. Bestäm tangeringspunkten.
-'''Lösning'''
-$y' = 2 \, e^x -3$
-$ y' = -1 \quad \rightarrow \quad  2 \, e^x = 2 \quad \rightarrow \quad  x=0$
-$ y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2 $
-Tangeringspunkten är (0, 2)
-</div>
 ==Derivering av produkt och kvot==
 <div class="regel">
 '''Deriveringsregler för produkter och kvoter:'''
-$$D \left(f(x) \cdot g(x) \right) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$
+$$\eqalign{D\,\bigl(\,f(x) \cdot g(x) \bigr) &= f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\cr D\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\bigl( g(x)\bigr)^2}}$$
-$$ D \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x)\right)^2}$$
 </div>
-(Observera att derivering av produkter och kvoter <u> inte </u> är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)
+(Observera att derivering av produkter och kvoter '''inte''' är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)
 <div class="exempel">
-'''Exempel 9'''
+'''Exempel 1'''
 <ol type="a">
-  <li>$ D(x^2 e^x) = 2xe^x + x^2e^x = e^x(2x +x^2)$ <br><br>
+  <li>$ D\,(x^2 e^x) = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (2x +x^2)\,e^x\,$. <br><br>
-  <li>$ D(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x \cos x = \sin x + x \cos x$ <br><br>
+  <li>$ D\,(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x \cos x\,$.<br><br>
-<li>$ D(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\cdot \displaystyle \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x$ <br><br>
+  <li>$\displaystyle  D\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x\,$. <br><br>
-<li>$ D \tan x = D \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x} = \displaystyle \frac{ \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \displaystyle \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} = \displaystyle \frac{1}{\cos x}$  <br><br>
+  <li>$\displaystyle  D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\,$. <br><br>
-<li>$ D \displaystyle \frac{1+x}{\sqrt{x}} = \displaystyle \frac{ 1 \cdot \sqrt{x} - (1+x) \cdot \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} = \displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{x}} - \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}} - \displaystyle \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x} =  \displaystyle \frac { \displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} = \displaystyle \frac{x-1}{2x\sqrt{x}} $ <br><br>
+  <li>$\displaystyle  D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x} - (1+x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2} = \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x} =  \frac { \displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,$. <br><br>
-<li>$ D \displaystyle \frac{ x e^x}{1+x} = \displaystyle \frac{ (1\cdot e^x + x\cdot e^x)(1+x) - x e^x \cdot 1}{(1+x)^2} = \displaystyle \frac{ e^x + x e^x + x e^x + x^2 e^x - x e^x}{ (1+x)^2} = \displaystyle \frac{ e^x(1 + x + x^2)} { (1+x)^2}$
+  <li>$\displaystyle  D\,\frac{x\,e^x}{1+x} = \frac{(1\cdot e^x + x\cdot e^x)(1+x) - x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} = \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,$.
 </ol>
 ==Derivering av sammansatta funktioner==
-En funktion $y=f(g)$ där variabeln $g$ i sin tur är beroende av en variabel $x$ får formen  $y=f \left( g(x) \right)$ och kallas sammansatt funktion.
+En funktion $\,y=f(g)\,$ där variabeln $\,g\,$ i sin tur är beroende av en variabel $\,x\,$ får formen  $\,y=f \bigl( g(x)\bigr)$ och kallas sammansatt funktion.
-Om man deriverar en sammansatt funktion med avseende på den oberoende variabeln x, använder man följande regel:
+Om man deriverar en sammansatt funktion med avseende på den oberoende variabeln $\,x\,$, använder man följande regel:
-$$y'(x) = f'\left( g(x) \right) \cdot g'(x)$$
+$$y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr) \cdot g'(x)\,\mbox{.}$$
-Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter $y=g(u)$ och $u=g(x)$ kan kedjeregeln skrivas
+Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter $y=f(u)$ och $u=g(x)$ kan kedjeregeln skrivas
-$$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \displaystyle \frac{dy}{du} \cdot \displaystyle \frac{du}{dx}$$
+$$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\,\mbox{.}$$
-Man brukar säga att den sammansatta funktionen $y$ består av den ''yttre'' funktionen $f$ och den ''inre'' funktionen $g$. Analogt kallas $f'$ för den ''yttre derivatan'' och $g'$ den ''inre derivatan''.
+Man brukar säga att den sammansatta funktionen $\,y\,$ består av den ''yttre'' funktionen $\,f\,$ och den ''inre'' funktionen $\,g\,$. Analogt kallas $\,f^{\,\prime}\,$ för den ''yttre derivatan'' och $\,g'\,$ den ''inre derivatan''.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 10'''
+'''Exempel 2'''
 För funktionen $y=(x^2 + 2x)^4$ är
-:::{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="0px" width="100%"
+:::{| class="wikitable" cellpadding="0px" cellspacing="0px" align="center"
 |-
-|width="90" style="text-align:left"| $y=u^4$
+|style="text-align:left"| $y=u^4\quad$
 |style="text-align:left" | yttre funktionen, och
-|-
+|style="text-align:left"| $\quad u=x^2 + 2x\quad$
-|width="90" style="text-align:left"| $u=x^2 + 2x$
 |style="text-align:left" | inre funktion.
 |-
-|width="90" style="text-align:left"| $\displaystyle \frac{dy}{du} = 4 u^3$
+|style="text-align:left"| $\displaystyle \frac{dy}{du} = 4 u^3\quad$
-|style="text-align:left" | är yttre derivatan, och
+|style="text-align:left" | yttre derivatan, och
-|-
+|style="text-align:left"| $\quad\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x + 2\quad$
-|width="90" style="text-align:left"| $\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x + 2$
 |style="text-align:left" | inre derivatan.
 |}
+Derivatan av funktionen $\,y\,$ med avseende på $\,x\,$ blir enligt kedjeregeln
-Derivatan av funktionen $y$ med avseende på $x$ blir enligt kedjeregeln
+$$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \displaystyle \frac{dy}{du} \cdot \displaystyle \frac{du}{dx} = 4 u^3 \cdot (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \cdot (2x +2)\,\mbox{.}$$
-$$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \displaystyle \frac{dy}{du} \cdot \displaystyle \frac{du}{dx} = 4 u^3 \cdot (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \cdot (2x +2)$$
 </div>
 När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret
-$$(yttre \, derivata)\cdot (inre \, derivata)$$
+$$(\text{yttre derivata})\cdot (\text{inre derivata})\,\mbox{.}$$
 Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 11'''
+'''Exempel 3'''
 <ol type="a">
-  <li>$ f(x) = \sin (3x + 1)$ <br>
+  <li>$ f(x) = \sin (3x^2 + 1)$<br><br>
-Yttre derivatan: $ \quad \cos (3x^2 +1)$ <br>
+      $\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&\cos (3x^2 +1)\cr \text{Inre derivatan:}&6x\end{array}$<br><br>
-Inre derivatan:	$ \quad 6x$ <br>
+      $\,f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos (3x^2 +1)$
-$f'(x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos (3x +1)$ <br><br>
+      <br><br>
-  <li>$ y = 5 \, e^{x^2}$ <br>
+  <li>$ y = 5 \, e^{x^2}$ <br><br>
-Yttre derivatan: $ \quad 5 \, e^{x^2} $  <br>
+      $\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&5 \, e^{x^2}\cr \text{Inre derivatan:}&2x\end{array}$<br><br>
-Inre derivatan:	$ \quad 2x$ <br>
+      $\,y' = 5 \, e^{x^2} \cdot 2x = 10x\, e^{x^2}$
-$y' = 5 \, e^{x^2} \cdot 2x = 10x\, e^{x^2}$ <br><br>
+      <br><br>
-<li>$ f(x) = e^{x\cdot \sin x}$ <br>
+  <li>$ f(x) = e^{x\cdot \sin x}$ <br><br>
-Yttre derivatan: $ \quad e^{x\cdot \sin x}$ <br>
+      $\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&e^{x\cdot \sin x}\cr \text{Inre derivatan:}&1\cdot \sin x + x \cos x\end{array}$<br><br>
-Inre derivatan:	$ \quad 1\cdot \sin x + x \cos x$ <br>
+      $\,f^{\,\prime}(x) = e^{x\cdot \sin x} (\sin x + x \cos x)$
-$f'(x) = e^{x\cdot \sin x} (\sin x + x \cos x)$ <br><br>
+      <br><br>
-<li>$ s(t) = t^2 \cos (\ln t) $ <br>
+  <li>$ s(t) = t^2 \cos (\ln t) $ <br><br>
-$ s'(t) = 2t \cdot \cos (\ln t) + t^2 \cdot (-\sin (\ln t) \cdot \displaystyle \frac{1}{t} = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)$ <br><br>
+    $ s'(t) = 2t \cdot \cos (\ln t) + t^2 \cdot\Bigl(-\sin (\ln t) \cdot \displaystyle \frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)$ <br><br>
-<li>$ D a^x = D \left( e^{\ln a} \right)^x = D e^{\ln a \cdot x} = e^{\ln a \cdot x} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a $ <br><br>
+  <li>$ D\,a^x = D\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = D\,e^{\ln a \cdot x} = e^{\ln a \cdot x} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a $ <br><br>
-<li>$ D x^a = D \left( e^{\ln x} \right)^a = D e^{ a \cdot \ln x } = e^{a \cdot \ln x} \cdot a \cdot \displaystyle \frac{1}{x} = x^a \cdot a \cdot x^{-1} = ax^{a-1}$
+  <li>$ D\,x^a = D\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = D\,e^{ a \cdot \ln x } = e^{a \cdot \ln x} \cdot a \cdot \displaystyle \frac{1}{x} = x^a \cdot a \cdot x^{-1} = ax^{a-1}$
 </ol>
 </div>
-Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen $y= f \left ( g(h(x))\right)$ har derivatan
+Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen $y= f \bigl( g(h(x))\bigr)$ har derivatan
-$$y'= f' \left ( g(h(x))\right) \cdot g'(h(x)) \cdot h´(x)$$
+$$y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\,\mbox{.}$$
 <div class="exempel">
-'''Exempel 12'''
+'''Exempel 4'''
 <ol type="a">
-  <li>$ D(\sin^3 2x) = D (\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot 2 = 6 \sin^2 2x \cos 2x $ <br><br>
+  <li>$ D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x =3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)$<br>
-  <li>$ D \left(\sin (x^2 -3x)^4 \right) = \cos (x^2 -3x)^4 \cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot (2x-3) $ <br><br>
+      $ \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x$ <br><br>
-<li>$ D \left(\sin^4 (x^2 -3x) \right) = D \left( \sin (x^2 -3x) \right)^4 = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot \cos (x^2 -3x) \cdot (2x-3)$ <br><br>
+  <li>$ D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot D\,\bigl((x^2 -3x)^4\bigr)$<br>
-<li>$ D \left ( e^{\sqrt{x^3-1}}\right) = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \displaystyle \frac{1} {2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \displaystyle \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}}$
+      $\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}=  \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot D\,(x^2-3x)$<br>
+      $\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3\cdot (2x-3) $ <br><br>
+  <li>$ D\,\sin^4 (x^2 -3x) = D\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4 = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot D\,\sin(x^2-3x)$<br>
+      $\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} =  4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x) \cdot D(x^2 -3x)$<br>
+      $\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x)\cdot (2x-3)$ <br><br>
+  <li>$\displaystyle  D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr) = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot D\,\sqrt{x^3-1} = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot D\,(x^3-1)$<br>
+      $\displaystyle\phantom{\displaystyle  D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{}= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}}$
 </ol>
 ==Derivator av högre ordningar==
 Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv. <br>
-Andraderivatan brukar betecknas $f{'}{'}$ (läses ”f-biss”), medan tredje-, fjärdederivatan, etc, betecknas $f^{(3)} \, , \, f^{(4)}$ osv.
+Andraderivatan brukar betecknas $f^{\,\prime\prime}$ (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc, betecknas $\,f^{\,(3)}\,$, $\,f^{\,(4)}\,$ osv.
-Även beteckningarna $D^2 f$ , $D^3 f$ ,... och $\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}$ , $\displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}$, ...  är vanliga.
+Även beteckningarna $\,D^2 f\,$, $\,D^3 f\,$, $\,\ldots\,$ och $\,\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\,$, $\,\displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}\,$, $\,\ldots\,$ är vanliga.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 13'''
+'''Exempel 5'''
 <ol type="a">
-  <li>$ f(x) = 3 e^{(x^2 -1)}$ <br>
+  <li>$ f(x) = 3\,e^{x^2 -1}$ <br>
-$ f'(x) = 3 e^{(x^2 -1)} \cdot 2x = 6x e^{(x^2 -1)}$ <br>
+$ f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot D\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}$ <br>
-$ f{'}{'}(x) = 6 e^{(x^2 -1)} + 6x e^{(x^2 -1)} \cdot 2x = 6 e^{(x^2 -1)} (1+ 2x^2) $ <br><br>
+$ f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) $ <br><br>
+  <li>$ y = \sin x\,\cos x$ <br>
-  <li>$ y = \sin x \cos x$ <br>
+$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}$ <br>
-$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x \cos x + \sin x (- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ <br>
+$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x $ <br><br>
-$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x (-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x $ <br><br>
+  <li>$ D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$ <br>
+$ D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr)=e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x)= 2\,e^x \cos x\vphantom{\biggl(}$<br>
-  <li>$ D ( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$ <br>
+$D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )$
-$ D^2 ( e^x \sin x) = D (e^x (\sin x + \cos x)) = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2 e^x \cos x$ <br>
-$D^3 ( e^x \sin x) = D (2 e^x \cos x) = 2 e^x \cos x + 2 e^x (-\sin x) = 2 e^x ( \cos x - \sin x )$
 </ol>
 </div>
-<div class="inforuta">
-'''Råd för inläsning'''
-'''Tänk på att:'''
-text
-'''Lästips'''
-stående
-'''Länktips'''
-stående
-</div>
-''' © Copyright 2007, math.se'''