Övn 2

Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde

a)	$\displaystyle\int_{-1}^{2} 5\, dx$	b)	$\displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\, dx$
c)	$\displaystyle \int_{0}^{2} (3-2x)\, dx$	d)	$\displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx$

Ledning d) För $a < b < 0$ gäller $\displaystyle\int_{a}^{b}|x|\, dx=\int_{a}^{b} -x\,dx$

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x^3)\, dx$	b)	$\displaystyle\int_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\, dx$
c)	$ \displaystyle\int_{4}^{9} \left(\sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$	d)	$\displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx$

Ledning c,d) skriv om $\sqrt x=x^{1/2}$, och använd eventuellt potenslagarna.

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle\int \sin x\, dx$	b)	$\displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx$
c)	$ \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx$	d)	$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx$

Ledning b) Använd att $\sin2v=2\sin v\cos v$
Ledning d) $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x}\, dx=\int\frac{x^2}{x}\, dx+\int\frac{1}{x}\, dx$

a)	Beräkna arean mellan kurvan $y=\sin x$ och $x$-axeln när $0\le x \le \frac{5\pi}{4}$
b)	Beräkna den del av kurvan $y=-x^2+2x+2$ ovanför $x$-axeln
c)	Beräkna arean av det ändliga området mellan kurvorna $y=\frac{1}{4}x^2+2$ och $y=8-\frac{1}{8}x^2$ (studentexamen 1965).
d)	Beräkna arean av det ändliga området som kurvorna $y=x+2, y=1$ och $y=\frac{1}{x}$ innesluter.
e)	Beräkna arean av området som ges av olikheterna $x+2\le y\le x^2$.

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad$ (Ledning: förläng med nämnarens konjugat)
b)	$\displaystyle \int \sin^2 x\quad$ (Ledning: skriv om integranden med en trigonometrisk formel)

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}$ genom att använda substitution $u=3x-1$
b)	$\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx$ genom att använda substitution $u=x^2+3$
c)	$\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx$ genom att använda substitution $u=x^3$

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos 5x\, dx$	b)	$\displaystyle\int_{0}^{1/2} e^{2x+3}\, dx$
c)	$ \displaystyle\int_{0}^{5} \sqrt{3x + 1} \, dx$	d)	$\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[\scriptstyle3]{1 - x}\, dx$

Ledning b) Använd substitutionen $u=2x+3$
Ledning c) Använd substitutionen $u^2=3x+1$
Ledning d) Använd substitutionen $u^3=1-x$

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle\int 2x \sin x^2\, dx$	b)	$\displaystyle\int \sin x \cos x\, dx$
c)	$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln x}{x}\, dx$	d)	$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2+2x+2}\, dx$
e)	$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{x^2+1}\, dx$	f)	$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$

Ledning c) $\displaystyle \frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot \frac{1}{x}= \ln x \cdot (\ln x)'$
Ledning d, e) $\left(\ln \, f(x)\right)'=\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$
Ledning f) Använd substitutionen $u=\sqrt x$

Använd formeln $$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$$ för att beräkna integralerna

a)	$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$	b)	$\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}$
c)	$ \displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4x+8}$	d)	$\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 +1}\, dx$

Ledning: Substituera så att $x^2+a = au^2+a =a(u^2+1)$

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle\int 2x e^{-x} \, dx$	b)	$\displaystyle\int(x+1) \sin x \, dx$
c)	$ \displaystyle\int x^2 \cos x \, dx$	d)	$\displaystyle\int x \ln x \, dx$

Beräkna integralerna

a)	$\displaystyle\int e^{\sqrt x}\, dx$	b)	$\displaystyle\int_{0}^{1} x^3 e^{x^2} \, dx$
c)	$ \displaystyle\int \tan x \, dx$	d)	$\displaystyle\int \ln x\, dx$

Ledning c) $\displaystyle\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \left(\ln\, f(x)\right)'=\frac{f'(x)}{f(x)}$
Ledning d) Använd substitutionen $u=\ln x$