2.1 Övningar

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.05 (redigera)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Övning 2.1:1)
← Gå till föregående ändring		 Nuvarande version (19 juli 2007 kl. 09.24) (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Övning 2.1:5)
 
(8 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 112: Rad 112:
</tr> </tr>
</table> </table>
-Ledning c,d) skriv om $\sqrt x=x^{1/2}$, och använd eventuellt potenslagarna. 
</div> </div>
- 
- 
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
Rad 136: Rad 133:
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_2a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_2a-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_2b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_2c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_2d.gif]]
 +</td>
 +</tr>
</table> </table>
</div> </div>
Rad 156: Rad 209:
</tr> </tr>
</table> </table>
-Ledning b) Använd att $\sin2v=2\sin v\cos v$<br\> 
-Ledning d) $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x}\, dx=\int\frac{x^2}{x}\, dx+\int\frac{1}{x}\, dx$ 
</div> </div>
- 
- 
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
Rad 181: Rad 230:
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_3a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_3b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_3c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_3d.gif]]
 +</td>
 +</tr>
</table> </table>
</div> </div>
Rad 211: Rad 316:
</table> </table>
</div> </div>
- 
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
Rad 241: Rad 345:
</div> </div>
- +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_4a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4a-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
<div class=NavFrame style="CLEAR: both"> <div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div> <div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
<div class=NavContent> <div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b<br>+Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_4b-1(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4b-2(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4b-3(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4b-4(4).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
-Det första som vi behöver göra är att ta reda på var kurvan $y = -x^2+2x+2$ skär x-axeln, så vi sätter $y=0$ och löser andragradsekvationen;+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_4c-1(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4c-2(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4c-3(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4c-4(4).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
-$$-x^2+2x+2 = 0 \Rightarrow$$+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-$$ x^2-2x-2 = 0 \Rightarrow $$+<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
-$$ x = 1 \pm \sqrt{1+2} \Rightarrow$$+<div class=NavContent>
-$$x_1 = 1-\sqrt{3} \qquad x_2 = 1+\sqrt{3} $$+Lösning till delfråga d
- +<table width="100%" cellspacing="10px">
-Vi kan försäkra oss om att kurvan ligger ovanför x-axeln mellan dessa punkter, eftersom t.ex. punkten $x=0$ ger ett positivt värde. Vi kan nu ställa upp integralen som +<tr align="left">
- +<td width="100%" align="center">
-$$ \int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} -x^2 + 2x +2 dx $$+[[Bild:2_1_4d-1(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-2(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-3(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-4(5).gif]] <br\>[[Bild:2_1_4d-5(5).gif]]
- +</td>
-De primitiva funktionerna till $-x^2$, $2x$ och $2$ är $-\frac{x^3}{3}$, $x^2$ resp. $2x$, så vi får+</tr>
- +</table>
-$$ \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 2x \right]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} = \left[ x( x + 2 - \frac{x^2}{3} ) \right]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} $$+</div>
- +</div>
- +
-Nu är det bara att sätta in gränserna och vi får det enorma uttrycket +
- +
-$$ (1+\sqrt{3})( (1+\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1+\sqrt{3})^2}{3} ) - (1-\sqrt{3})( (1-\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1-\sqrt{3})^2}{3} ) $$+
-<br>+
- +
-För att inte tappa bort oss, så räknar vi ut de olika termerna var för sig.+
- +
-Vänstra uttrycket blir;+
- +
-$$ (1+\sqrt{3})( (1+\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1+\sqrt{3})^2}{3} ) = $$+
-$$ (1+\sqrt{3})( 3+\sqrt{3} - \frac{1+2\sqrt{3}+3}{3} ) = $$+
-$$ (1+\sqrt{3})( 3+\sqrt{3} - \frac{4}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} ) = $$+
-$$ (1+\sqrt{3})( \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} ) = $$+
-$$ \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}^2}{3} = $$+
-$$ \frac{8}{3} + 2\sqrt{3} $$+
- +
- +
-Högra uttrycket räknas ut på nästan samma sätt;+
- +
-$$ (1-\sqrt{3})( (1-\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1-\sqrt{3})^2}{3} ) = $$+
-$$ (1-\sqrt{3})( 3-\sqrt{3} - \frac{1-2\sqrt{3}+3}{3} ) = $$+
-$$ (1-\sqrt{3})( 3-\sqrt{3} - \frac{4}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} ) = $$+
-$$ (1-\sqrt{3})( \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} ) = $$+
-$$ \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}^2}{3} = $$+
-$$ \frac{8}{3} - 2\sqrt{3} $$+
- +
-Sammanlagt får vi då $\displaystyle{ (\frac{8}{3} + 2\sqrt{3})-(\frac{8}{3} - 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} }$.+
-<br>+
-Svaret på uppgiften är alltså $\displaystyle{ 4.\sqrt{3} }$ a.e.+
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning e&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga e
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_4e-1(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4e-2(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4e-3(3).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
</div> </div>
Rad 325: Rad 443:
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$</td> <td class="ntext">b)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_5a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5a-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_1_5b.gif]]
 +</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
</div> </div>
</div> </div>

Nuvarande version

Innehåll

[redigera] Övning 2.1:1

Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde
a) $\displaystyle\int_{-1}^{2} 2\, dx$ b) $\displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\, dx$
c) $\displaystyle \int_{0}^{2} (3-2x)\, dx$ d) $\displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx$


Facit 
Facit till alla delfrågor
a) $6$ b) $2$
c) $2$ d) $\displaystyle\frac{5}{2}$
Lösning a 

Lösning till delfråga a


Bild:2_1_1a.gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_1_1b-1(2).gif
Bild:2_1_1b-2(2).gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c


Bild:2_1_1c-1(2).gif
Bild:2_1_1c-2(2).gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d
Bild:2_1_1d-1(2).gif
Bild:2_1_1d-2(2).gif

[redigera] Övning 2.1:2

Beräkna integralerna
a) $\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x^3)\, dx$ b) $\displaystyle\int_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\, dx$
c) $ \displaystyle\int_{4}^{9} \left(\sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$ d) $\displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx$
Facit 

Facit till alla delfrågor

a) $\displaystyle\frac{44}{3}$ b) $\displaystyle-\frac{9}{2}$
c) $\displaystyle\frac{32}{3}$ d) $1$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_1_2a-1(2).gif
Bild:2_1_2a-2(2).gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_1_2b.gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_1_2c.gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:2_1_2d.gif

[redigera] Övning 2.1:3

Beräkna integralerna
a) $\displaystyle\int \sin x\, dx$ b) $\displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx$
c) $ \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx$ d) $\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx$
Facit 

Facit till alla delfrågor

a) $-\cos x + C$ b) $\displaystyle-\frac{\cos 2x}{2}+C$
c) $\displaystyle\frac{e^{3x}}{3}+\frac{e^{2x}}{2}+C$ d) $\displaystyle\frac{x^2}{2}+\ln x + C$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_1_3a.gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_1_3b.gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_1_3c.gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:2_1_3d.gif

[redigera] Övning 2.1:4

a) Beräkna arean mellan kurvan $y=\sin x$ och $x$-axeln när $0\le x \le \frac{5\pi}{4}$
b) Beräkna arean av det område under kurvan $y=-x^2+2x+2$ och ovanför $x$-axeln
c) Beräkna arean av det ändliga området mellan kurvorna $y=\frac{1}{4}x^2+2$ och $y=8-\frac{1}{8}x^2$ (studentexamen 1965).
d) Beräkna arean av det ändliga området som kurvorna $y=x+2, y=1$ och $y=\frac{1}{x}$ innesluter.
e) Beräkna arean av området som ges av olikheterna $x^2\le y\le x+2$.
Facit 

Facit till alla delfrågor

a)     $3-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$ a.e.
b)     $\displaystyle 4.\sqrt{3}$ a.e.
c)     $32$ a.e.
d)     $\sqrt{2}-1-\ln(\sqrt{2}-1)\,$ a.e.
e)     $\displaystyle\frac{9}{2}$ a.e.
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_1_4a-1(2).gif
Bild:2_1_4a-2(2).gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_1_4b-1(4).gif
Bild:2_1_4b-2(4).gif
Bild:2_1_4b-3(4).gif
Bild:2_1_4b-4(4).gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_1_4c-1(4).gif
Bild:2_1_4c-2(4).gif
Bild:2_1_4c-3(4).gif
Bild:2_1_4c-4(4).gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:2_1_4d-1(5).gif
Bild:2_1_4d-2(5).gif
Bild:2_1_4d-3(5).gif
Bild:2_1_4d-4(5).gif
Bild:2_1_4d-5(5).gif

Lösning e 

Lösning till delfråga e

Bild:2_1_4e-1(3).gif
Bild:2_1_4e-2(3).gif
Bild:2_1_4e-3(3).gif

[redigera] Övning 2.1:5

Beräkna integralerna

a) $\displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad$ (Ledning: förläng med nämnarens konjugat)
b) $\displaystyle \int \sin^2 x\quad$ (Ledning: skriv om integranden med en trigonometrisk formel)


Facit 

Facit till alla delfrågor

a)     $\displaystyle\frac{2}{27}\left((x+9)\sqrt{x+9}+x\sqrt{x}\right)+C$
b)     $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$


Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_1_5a-1(2).gif
Bild:2_1_5a-2(2).gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_1_5b.gif

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/2.1_%C3%96vningar
Personliga verktyg