2.1 Övningar
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.21 (redigera) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) (→Övning 2.1:4) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.22 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) (→Övning 2.1:4) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 408: | Rad 408: | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td width="100%" align="center"> | <td width="100%" align="center"> | ||
| - | [[Bild:2_1_5e-1(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5e-2(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5e-3(3).gif]] | + | [[Bild:2_1_4e-1(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4e-2(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4e-3(3).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.22
Innehåll |
Övning 2.1:1
Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde
| a) | $\displaystyle\int_{-1}^{2} 2\, dx$ | b) | $\displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\, dx$ |
| c) | $\displaystyle \int_{0}^{2} (3-2x)\, dx$ | d) | $\displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $6$ | b) | $2$ |
| c) | $2$ | d) | $\displaystyle\frac{5}{2}$ |
Lösning a
Lösning till delfråga a
|
|
Lösning b
Lösning till delfråga b
|
|
Lösning c
Lösning till delfråga c
|
|
Lösning d
|
Lösning till delfråga d |
Övning 2.1:2
Beräkna integralerna
| a) | $\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x^3)\, dx$ | b) | $\displaystyle\int_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\, dx$ |
| c) | $ \displaystyle\int_{4}^{9} \left(\sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$ | d) | $\displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\displaystyle\frac{44}{3}$ | b) | $\displaystyle-\frac{9}{2}$ |
| c) | $\displaystyle\frac{32}{3}$ | d) | $1$ |
Lösning a
Lösning till delfråga a
|
|
Lösning b
Lösning till delfråga b
|
|
Lösning c
Lösning till delfråga c
|
|
Lösning d
Lösning till delfråga d
|
|
Övning 2.1:3
Beräkna integralerna
| a) | $\displaystyle\int \sin x\, dx$ | b) | $\displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx$ |
| c) | $ \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx$ | d) | $\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $-\cos x + C$ | b) | $\displaystyle-\frac{\cos 2x}{2}+C$ |
| c) | $\displaystyle\frac{e^{3x}}{3}+\frac{e^{2x}}{2}+C$ | d) | $\displaystyle\frac{x^2}{2}+\ln x + C$ |
Lösning a
Lösning till delfråga a
|
|
Lösning b
Lösning till delfråga b
|
|
Lösning c
Lösning till delfråga c
|
|
Lösning d
Lösning till delfråga d
|
|
Övning 2.1:4
| a) | Beräkna arean mellan kurvan $y=\sin x$ och $x$-axeln när $0\le x \le \frac{5\pi}{4}$ |
| b) | Beräkna arean av det område under kurvan $y=-x^2+2x+2$ och ovanför $x$-axeln |
| c) | Beräkna arean av det ändliga området mellan kurvorna $y=\frac{1}{4}x^2+2$ och $y=8-\frac{1}{8}x^2$ (studentexamen 1965). |
| d) | Beräkna arean av det ändliga området som kurvorna $y=x+2, y=1$ och $y=\frac{1}{x}$ innesluter. |
| e) | Beräkna arean av området som ges av olikheterna $x^2\le y\le x+2$. |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) $3-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$ a.e. |
| b) $\displaystyle 4.\sqrt{3}$ a.e. |
| c) $32$ a.e. |
| d) $\sqrt{2}-1-\ln(\sqrt{2}-1)\,$ a.e. |
| e) $\displaystyle\frac{9}{2}$ a.e. |
Lösning a
Lösning till delfråga a
|
|
Lösning b
Lösning till delfråga b
|
|
Lösning c
Lösning till delfråga c
|
|
Lösning d
Lösning till delfråga d
|
|
Lösning e
Lösning till delfråga e
|
|
Övning 2.1:5
Beräkna integralerna
| a) | $\displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad$ (Ledning: förläng med nämnarens konjugat) |
| b) | $\displaystyle \int \sin^2 x\quad$ (Ledning: skriv om integranden med en trigonometrisk formel) |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) $\displaystyle\frac{2}{27}\left((x+9)\sqrt{x+9}+x\sqrt{x}\right)+C$ |
| b) $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$ |
