Övn 2
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.19 (redigera) KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag) (→Övning 2.1:4) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.19 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag) (→Övning 2.1:5) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 191: | Rad 191: | ||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
| - | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
| - | <div class=NavContent> | + | |
| - | Facit till alla delfrågor | + | |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| Rad 204: | Rad 201: | ||
| </tr> | </tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| - | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.19
Innehåll |
Övning 2.1:1
Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde
| a) | $\displaystyle\int_{-1}^{2} 5\, dx$ | b) | $\displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\, dx$ |
| c) | $\displaystyle \int_{0}^{2} (3-2x)\, dx$ | d) | $\displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx$ |
Ledning d) För $a < b < 0$ gäller $\displaystyle\int_{a}^{b}|x|\, dx=\int_{a}^{b} -x\,dx$
| a) | $15$ | b) | $2$ |
| c) | $2$ | d) | $\displaystyle\frac{5}{2}$ |
Övning 2.1:2
Beräkna integralerna
| a) | $\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x^3)\, dx$ | b) | $\displaystyle\int_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\, dx$ |
| c) | $ \displaystyle\int_{4}^{9} \left(\sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$ | d) | $\displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx$ |
Ledning c,d) skriv om $\sqrt x=x^{1/2}$, och använd eventuellt potenslagarna.
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\displaystyle\frac{44}{3}$ | b) | $\displaystyle-\frac{9}{2}$ |
| c) | $\displaystyle\frac{32}{3}$ | d) | $1$ |
Övning 2.1:3
Beräkna integralerna
| a) | $\displaystyle\int \sin x\, dx$ | b) | $\displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx$ |
| c) | $ \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx$ | d) | $\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx$ |
Ledning b) Använd att $\sin2v=2\sin v\cos v$
Ledning d) $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x}\, dx=\int\frac{x^2}{x}\, dx+\int\frac{1}{x}\, dx$
| a) | $-\cos x + C$ | b) | $\displaystyle-\frac{\cos 2x}{2}+C$ |
| c) | $\displaystyle\frac{e^{3x}}{3}+\frac{e^{2x}}{2}+C$ | d) | $\displaystyle\frac{x^2}{2}+\ln x + C$ |
Övning 2.1:4
| a) | Beräkna arean mellan kurvan $y=\sin x$ och $x$-axeln när $0\le x \le \frac{5\pi}{4}$ |
| b) | Beräkna den del av kurvan $y=-x^2+2x+2$ ovanför $x$-axeln |
| c) | Beräkna arean av det ändliga området mellan kurvorna $y=\frac{1}{4}x^2+2$ och $y=8-\frac{1}{8}x^2$ (studentexamen 1965). |
| d) | Beräkna arean av det ändliga området som kurvorna $y=x+2, y=1$ och $y=\frac{1}{x}$ innesluter. |
| e) | Beräkna arean av området som ges av olikheterna $x+2\le y\le x^2$. |
| a) $3-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$ a.e. |
| b) $\displaystyle 4.\sqrt{3}$ a.e. |
| c) $32$ a.e. |
| d) $\sqrt{2}-1-\ln(\sqrt{2}-1)\,$ a.e. |
| e) $\displaystyle\frac{9}{2}$ a.e. |
Övning 2.1:5
Beräkna integralerna
| a) | $\displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad$ (Ledning: förläng med nämnarens konjugat) |
| b) | $\displaystyle \int \sin^2 x\quad$ (Ledning: skriv om integranden med en trigonometrisk formel) |
| a) $\displaystyle\frac{2}{27}\left((x+9)\sqrt{x+9}+x\sqrt{x}\right)+C$ |
| b) $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$ |
