Teori
Arean under en funktionskurva
Vi har tidigare sett att lutningen på en funktionskurva är intressant. Den ger oss information om hur funktionen ändras och har stor betydelse i många tillämpningar.
På ett liknande sätt är den area som bildas mellan en funktionskurva och x-axeln betydelsefull. Den är naturligtvis beroende av funktionskurvans utseende och därmed intimt besläktad med funktionen i fråga. Det är lätt att inse att denna area har en praktisk betydelse i många olika sammanhang.
Om ett föremål rör sig så kan vi beskriva dess hastighet $v$ efter tiden $t$ i ett $v$-$t$-diagram. Vi ser här tre olika exempel:
| $v(t) =5$
| $v(t)= \left \{ \matrix{4, \quad 0 \le t < 5 \\ 6, \quad 5 \le t \le 10}\right.$
| $v(t) =0{,}5$
|
| Tillryggalagd sträcka:
| Tillryggalagd sträcka:
| Tillryggalagd sträcka:
|
| $5 \cdot 10 = 50 \quad (m)$
| $5 \cdot 4 + 5 \cdot 6 = 50 \quad (m)$
| $\displaystyle \frac{5 \cdot 10}{2} = 25 \quad (m) $
|
I samtliga fall ser man att föremålets tillryggalagda sträcka motsvaras av arean under funktionskurvan.
Fler exempel på vad arean under en funktionskurva kan symbolisera följer nedan.
Exempel 1
//illustration
Anm: Eftersom arean kan approximeras med en (eller flera) rektangel så kan produkten av koordinataxlarnas enheter visa areans enhet och därmed ge en vink om vad arean symboliserar:
Areans enhet:
| $W \cdot s = J/s \cdot s = J$
| $ N \cdot m = Nm = J$
| $ A \cdot s = As = C$ (Coulomb)
|
Integralbeteckningen
För att beskriva arean under en funktionskurva i symbolform inför man integraltecknet
$\int$ och gör följande definition:
Med integralen av $f(x)$ från $a$ till $b$ menas arean mellan kurvan $y=f(x)$ och x-axeln från $x=a$ till $x=b$ , vilket med symboler skrivs
$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$
$a$ och $b$ kallas undre respektive övre integrationsgräns, $f(x)$ kallas integrand och $x$ integrationsvariabel.
Exempel 2
Ur definitionen följer direkt att
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\, dx + \int_{b}^{c} f(x)\, dx = \int_{a}^{c} f(x)\, dx$
Exempel 3
För ett föremål, vars hastighet förändras
enligt funktionen $v(t)$ kan den tillrygga-
lagda sträckan efter 10 s beskrivas med
integralen
$$\int_{0}^{10} v(t)\, dt$$
Exempel 4
| Vatten rinner in i en tank med en hastighet som är $f(t)$ $l/s$ efter $t$ sekunder. Skriv ett uttryck som anger hur många liter som rinner in i tanken under den tionde sekunden.
Svar: $\displaystyle \int_{9}^{10} f(t)\, dt$
Exempel 5
Beräkna integralerna
- $\displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx$
Lösning:
Integralen kan tolkas som arean under kurvan
(linjen) $y=3$ från $x = 0$ till $x = 4$, dvs. en rektangel
med basen $4$ och höjden $3$.
$\quad \rightarrow \quad \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12$
- $\displaystyle \int_{2}^{5} \left(\displaystyle \frac{x}{2} -1 \right) \, dx$
Lösning:
Integralen kan tolkas som arean under linjen $y=\displaystyle \frac{x}{2} -1$ från $x = 2$ till $x = 5$, dvs. en triangel
med basen $3$ och höjden $1{,}5$.
$\quad \rightarrow \quad \displaystyle \int_{2}^{5} \left(\displaystyle \frac{x}{2} -1 \right) \, dx = \displaystyle \frac{3 \cdot 1{,}5}{2} = 2{,}25$
- $\displaystyle \int_{0}^{a} kx \, dx \quad , \quad (k > 0)$
Lösning:
Integralen kan tolkas som arean under linjen
$y=kx$ från $x = 0$ till $x = a$, dvs. en triangel
med basen $a$ och höjden $ka$.
$\quad \rightarrow \quad \displaystyle \int_{0}^{a} kx \, dx = \displaystyle \frac{a \cdot ka}{2} = \displaystyle \frac{ka^2}{2}$
Primitiv funktion
Funktionen $F$ är en primitiv funktion till $F$ om $F'(x) = f(x)$ i något intervall. Om $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$ så är det klart att även $F(x) + C$ är det, för varje konstant C.
Dessutom kan man visa att $F(x) + C$ beskriver samtliga primitiva funktioner till $f(x)$.
Exempel 6
- $F(x) = x^3 + \cos x - 5 $ är en primitiv funktion till $f(x) = 3x^2 - \sin x$, eftersom
$F'(x) = f(x)$.
- $G(t) = e^{3t + 1} + \ln t$ är en primitiv funktion till $g(t)= 3 e^{3t + 1} + \displaystyle \frac{1}{t}$ , eftersom
$G'(t) = g(t)$
- $F(x) = \displaystyle \frac {x^4}{4} - x + C$ (C godtycklig konstant) beskriver samtliga primitiva funktioner till
$f(x) = x^3 - 1$
Samband mellan integral och primitiv funktion
Vi har tidigare konstaterat att arean under en funktionskurva, dvs. integralen av en funktion, är beroende av funktionskurvans utseende. Det visar sig att detta beroende utnyttjar den primitiva funktionen, vilket också ger oss möjligheten att beräkna en sådan area exakt.
Antag att $f$ är en kontinuerlig funktion på ett intervall (= funktionskurvan har inga avbrott i intervallet). Värdet av integralen $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ är då beroende av integrationsgränserna $a$ och $b$, men om man låter $a$ vara ett fixt värde och sätter $x$ som övre gräns blir integralens värde beroende enbart av den övre integrationsgränsen. För att tydliggöra detta använder vi här i stället $t$ som integrationsvariabel:
$$A(x) = \int_{a} f(t) \, dt$$
Vi ska nu visa att $A$ i själva verket är en primitiv funktion till $f$.
Den skuggade arean kan för varje $x$ beskrivas på två sätt, dels som $A(x+h) - A(x)$, men även som $h \cdot f(c)$, för något $c$ mellan $x$ och $x + h$, det vill säga:
$$A(x+h) - A(x) = h \cdot f(c) \quad \textrm {, eller} $$
$$\frac{A(x+h) - A(x)}{h} = f(c)$$
Om $h \rightarrow 0$ så går vänstra ledet mot $A'(x)$ och högra ledet mot $f(x)$ , dvs.
$$A'(x) = f(x) \quad \text{och} \quad A(x)= F(x)+ C$$
$A(x)$ är alltså en primitiv funktion till $f(x)$ . Detta kan i korthet skrivas:
$$A(x)= \int_{a}^{x} f(t) \, dt \quad \rightarrow \quad A'(x) = f(x) \quad \text{ , eller}$$
$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$$
Beräkning av integraler
För att kunna använda detta vid beräkning av en bestämd integral, noterar vi först att
$$\int_{a}^{b} f(t) \, dt = F(b) + C \quad \text{, samt att} $$
$$\int_{a}^{a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0 \quad \rightarrow \quad C = -F(a) \quad \text{, dvs. }$$
$$\int_{a}^{b} f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$
Vi kan naturligtvis här lika gärna välja $x$ som integrationsvariabel och skriva
$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
Vid beräkning av integraler utför man detta i två steg, först bestämning av den primitiva funktionen och sedan insättning av integrationsgränserna. Man skriver vanligtvis
$$\int_{a}^{b} f(t) \, dt = \left[F(x) \right]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$
Exempel 7
Arean som begränsas av kurvan $y=2x - x^2$ och
x-axeln kan beräknas med hjälp av integralen
- $\displaystyle \int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx =$
- $= \left[x^2 - \displaystyle \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left ( 2^2 - \displaystyle \frac{2^3}{3} \right) - (0) = 4 - \displaystyle \frac {8}{3} = \displaystyle \frac{4}{3}$
- Arean är $\frac{4}{3}$ a.e.
Anm:
Integralvärdet har ingen enhet. I praktiska tillämpningar kan dock arean ha en enhet. Om arean i en enhetslös figur efterfrågas skriver man ofta a.e. (areaenheter) efter siffervärdet.
Baklängesderivering
Att derivera de vanliga funktionstyperna innebär inga oöverstigliga problem; det finns generella metoder för detta. Att utföra den omvända operationen, dvs. hitta en primitiv funktion till en given funktion är dock betydligt svårare och i vissa fall omöjligt! Det finns ingen systematisk metod som fungerar överallt, men genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges” och dessutom lära sig ett antal specialmetoder och knep kan man klara av en stor del av de funktioner som vanligtvis förekommer.
Symbolen $\displaystyle \int f(x) \,dx$ kallas den obestämda integralen av $f(x)$ och används för att beteckna en godtycklig primitiv funktion till $f(x)$. De vanliga deriveringsreglerna ger att
$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$$
$$ \int x^{-1} \, dx = \ln |x| + C$$
$$ \int e^x \, dx = e^x + C$$
$$ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$
$$ \int \cos x \, dx = \sin x + C$$
$$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C$$
Exempel 8
- $ \int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7) dx = \displaystyle\frac{x^5}{5} - \displaystyle\frac{2x^4}{4} + \displaystyle\frac{4x^2}{2} - 7x + C = \displaystyle\frac{x^5}{5} - \displaystyle\frac{x^4}{2} + 2x^2 - 7x + C$
- $ \int \left(\displaystyle\frac{3}{x^2} -\displaystyle\frac{1}{2x^3} \right) dx = \int \left( 3x^{-2} - \displaystyle\frac{1}{2} x^{-3} \right) dx = \displaystyle\frac{3x^{-1}}{-1} - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{x^{-2}}{(-2)} + C=$
$= - 3x^{-1} + \displaystyle\frac{1}{4} x^{-2} + C = - \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{1}{4x^2} + C$
- $ \int \displaystyle\frac{2}{3x} \,dx = \int \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{1}{x} \, dx = \displaystyle\frac{2}{3} \ln |x| + C$
- $ \int ( e^x - \cos x - \sin x ) \, dx = e^x - \sin x + \cos x +C$
Kompensation för ”inre derivatan”
Vid derivering av en sammansatt funktion använder man sig av kedjeregeln, som innebär att man multiplicerar med den inre derivatan. Om den inre funktionen då är linjär så blir den inre derivatan en konstant.
Vid integrering av en sådan funktion måste man därför dividera med den inre derivatan för att kompensera för detta.
Exempel 9
- $ \int e^{3x} \, dx = \displaystyle \frac{e^{3x}}{3} + C$
- $ \int \sin 5x \, dx = - \displaystyle \frac{ \cos 5x}{5} + C$
- $ \int (2x +1)^4 \, dx = \displaystyle \frac{(2x+1)^5}{5 \cdot 2} + C$
Exempel 10
- $ \int \sin kx \, dx = - \displaystyle \frac{\cos kx}{k} + C$
- $ \int \cos kx \, dx = \displaystyle \frac{\sin kx }{k} + C$
- $ \int e^{kx} \, dx = \displaystyle \frac{e^{kx}}{k} + C$
Observera att detta sätt att kompensera för den inre derivatan endast fungerar om den inre derivatan är en konstant.
Räkneregler för integraler
Med hjälp av beräkningsformeln för integraler är det lätt att visa följande räkneregler för integraler:
- $\displaystyle \int_{b}^{a} f(x) \, dx = - \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
- $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$
- $\displaystyle \int_{a}^{b} k \cdot f(x)\, dx = k \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\, dx$
- $ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \displaystyle \int_{b}^{c} f(x)\, dx = \displaystyle \int_{a}^{c} f(x)\, dx$
Dessutom gäller att area under x-axeln räknas negativt, dvs. om funktionskurvan ligger under x-axeln så blir integralens värde negativt:
$$A_1 = \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\, dx \quad , \quad A_2 = -\displaystyle \int_{b}^{c} f(x)\, dx$$
Sammanlagda arean: $A_1 + A_2 = \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\, dx - \displaystyle \int_{b}^{c} f(x)\, dx$
Anm:
Värdet av en integral kan alltså vara negativt, medan en area alltid har ett positivt värde.
Exempel 11
- $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \quad , \quad g(x) = 2$
$ \displaystyle \int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx + \displaystyle \int_{1}^{2} 2 \, dx =$
$= \displaystyle \int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 3) \, dx =$
$= \left[\displaystyle \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 + 3x \right]_{1}^{2} $
$= (4-8 + 4+6) - (\displaystyle \frac{1}{4} - 1 + 1 +3) = $
$=6-3 - \displaystyle \frac{1}{4} = \displaystyle\frac{11}{4}$
- $ \displaystyle \int_{1}^{3} (x^2 - 4x) \, dx + \displaystyle \int_{1}^{3} (4x - x^2 + 3) \, dx = \displaystyle \int_{1}^{3} 3 \, dx =$
$ \left[3x \right]_{1}^{3} = 9 - 3 = 6$
- $ \displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx =$
$= \displaystyle\frac{2}{3} \displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{2x^2 - 1}{x} \, dx = \displaystyle \frac{2}{3} \displaystyle \int_{1}^{2} (2x - \displaystyle\frac{1}{x}) \, dx
= \displaystyle\frac{2}{3} \left[x^2 - \ln x \right]_{1}^{2} =$
$= \displaystyle \frac {2}{3}((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)) = \displaystyle \frac{2}{3} (3 - \ln 2) = 2 - \displaystyle \frac{2 \ln2}{3} $
- $\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left [\displaystyle \frac{x^3}{3} - x \right]_{-1}^{2} = \left( \displaystyle\frac{8}{3} - 2 \right) - \left(\displaystyle \frac{-1}{3} + 1 \right) = 0 $
(Detta visar att den skuggade arean under x-axeln är lika stor som den skuggade arean ovanför x-axeln.)
Area mellan kurvor
Om $f(x) \ge g(x)$ i ett intervall gäller att arean mellan funktionskurvorna ges av
$$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx - \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \, dx$$
vilket kan förenklas till
$$\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$$
//illustration
Observera att det inte spelar någon roll om $f(x) < 0$ eller g(x) < 0 $ så länge som f(x) \ge g(x)$. Arean mellan kurvorna är naturligtvis lika stor oavsett om kurvorna ligger över eller under x-axeln, vilket följande figurer illustrerar:
//illustration
$A= \displaystyle\int_{a}^{b} (f-g)$
$A = \displaystyle\int_{a}^{b} ((f-2) - (g-2))= \displaystyle\int_{a}^{b} (f-g)$
$ A= \displaystyle\int_{a}^{b} ((f-3) - (g-3)) = \displaystyle\int_{a}^{b}(f-g)$
Exempel 12
Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna $y=e^x + 1$ och $y=1 - \displaystyle \frac{x^2}{2}$ samt linjerna $x = –1$ och $x = 1$.
Lösning
Eftersom $e^x + 1 > 1 - \displaystyle \frac{x^2}{2}$ i hela intervallet
blir områdets area
- $\displaystyle \int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \displaystyle \int_{-1}^{1} \left ( 1- \displaystyle \frac{x^2}{2} \right ) \, dx = \displaystyle \int_{-1}^{1} \left( e^x + \displaystyle \frac{x^2}{2} \right ) \, dx =$
- $= \left [ e^x + \displaystyle\frac{x^3}{6} \right]_{-1}^{1} = \left ( e + \displaystyle \frac{1}{6} \right) - \left( e^{-1} - \displaystyle \frac{1}{6} \right) = e - \displaystyle\frac{1}{e} + \displaystyle\frac{1}{3} \; (a{.}e{.})$
//illustration
Exempel 13
Beräkna arean av det område som begränsas av
kurvorna $y= x^2$ och $y= \sqrt[3]{x}$.
Lösning
Kurvornas skärningspunkter:
$x^2 = x^{\frac{1}{3}} \quad \rightarrow \quad x^6 = x \quad \rightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0 \quad \rightarrow \quad x=0 \quad \text{eller} \quad x=1$
//illustration
Områdets area:
$ \displaystyle \int_{0}^{1} \left( x^{\frac{1}{3}} - x^2 \right) \, dx = \left[ \displaystyle \frac{ x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} - \displaystyle \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left[ \displaystyle \frac{ 3x^{\frac{4}{3}}}{4} - \displaystyle \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} =\displaystyle \frac{3}{4} - \displaystyle \frac{1}{3} - 0 = \displaystyle \frac{5}{12} \quad \text{(a.e.)}$
Exempel 14
Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan $y= \displaystyle \frac{1}{x^2}$ samt linjerna $y=x$ och $y = 2$.
Lösning
Området måste delas upp i två integraler:
$A_1 = \displaystyle \int_{a}^{b} (2 - \displaystyle \frac{1}{x^2}) \, dx$ och $A_2 = \displaystyle \int_{b}^{c} (2- x) \, dx$
//illustration
Skärningspunkt $a$:
$ \displaystyle \frac{1}{x^2} = 2 \quad \rightarrow \quad x^2 = \displaystyle \frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad x = \pm \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
(Den negativa roten är dock inte aktuell.)
Skärningspunkt $b$:
$ \displaystyle \frac{1}{x^2} = x \quad \rightarrow \quad x^3 = 1 \quad \rightarrow \quad x=1 $
Skärningspunkt $c$:
$x = 2$
$A_1 = \displaystyle \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} (2 - \displaystyle \frac{1}{x^2}) \, dx = \displaystyle \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} (2 - x ^{-2}) \, dx =$
$= \left[ 2x - \displaystyle \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} = \left[ 2x + \displaystyle \frac{1}{x} \right ]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} = (2+ 1) - ( \displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2}$
$A_2= \displaystyle \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \left[ 2x - \displaystyle \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = (4-2) - (2- \displaystyle \frac{1}{2}) = \displaystyle \frac{1}{2}$
Sammanlagd area:
$ A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \displaystyle \frac{1}{2} = \displaystyle \frac{7}{2} - 2\sqrt{2} \quad \text{(a.e.)}$
Råd för inläsning
Tänk på att:
text
Lästips
stående
Länktips
stående
© Copyright 2007, math.se
| 
