1.2 Deriveringsregler
Förberedande kurs i matematik 2
Teori | Övningar |
Innehåll:
- Derivata av en produkt och kvot
- Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln)
- Högre ordningars derivata
Färdigheter:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.
Derivering av produkt och kvot
Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:
Deriveringsregler för produkter och kvoter:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(Observera att derivering av produkter och kvoter inte är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)
Exempel 1
D(x2ex)=2x .ex+x2
ex=(2x+x2)ex
D(xsinx)=1 .sinx+x
cosx=sinx+xcosx
D(xlnx−x)=1 .lnx+x
x1−1=lnx+1−1=lnx
Dtanx=Dsinxcosx=(cosx)2cosx cosx−sinx
(−sinx)
=cos2xcos2x+sin2x=1cos2x .D x1+x=(
x)21
x−(1+x)
12
x=x2x2
x−12
x−x2
x
=x2 .xx−1=x−12x
x
Dxex1+x=(1+x)2(1 ex+x
ex)(1+x)−xex
1
=(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex .
Derivering av sammansatta funktioner
En funktion g(x)
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter
![]() |
Man brukar säga att den sammansatta funktionen y består av den yttre funktionen f och den inre funktionen g. Analogt kallas
Exempel 2
För funktionen
yttre funktionen, och | inre funktionen, | ||
yttre derivata, och | inre derivata. |
Derivatan av funktionen y med avseende på x blir enligt kedjeregeln
![]() ![]() ![]() |
När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret
![]() |
Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.
Exempel 3
f(x)=sin(3x2+1)
Yttre derivatan:Inre derivatan:cos(3x2+1)6x
f (x)=cos(3x2+1)
6x=6xcos(3x2+1)
y=5ex2
Yttre derivatan:Inre derivatan:5ex22x
y =5ex2
2x=10xex2
f(x)=ex sinx
Yttre derivatan:Inre derivatan:ex sinx1
sinx+xcosx
f (x)=ex
sinx(sinx+xcosx)
s(t)=t2cos(lnt)
s (t)=2t
cos(lnt)+t2
−sin(lnt)
t1
=2tcos(lnt)−tsin(lnt)
Dax=D elna
x=Delna
x=elna
x
lna=ax
lna
Dxa=D elnx
a=Dea
lnx=ea
lnx
a
x1=xa
a
x−1=axa−1
Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen g(h(x))
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Exempel 4
Dsin32x=D(sin2x)3=3(sin2x)2 Dsin2x=3(sin2x)2
cos2x
D(2x)
=3sin22x cos2x
2=6sin22xcos2x
Dsin (x2−3x)4
=cos
(x2−3x)4
D(x2−3x)4
=cos (x2−3x)4
4(x2−3x)3
D(x2−3x)
=cos (x2−3x)4
4(x2−3x)3
(2x−3)
Dsin4(x2−3x)=D sin(x2−3x)
4
=4sin3(x2−3x) Dsin(x2−3x)
=4sin3(x2−3x) cos(x2−3x)
D(x2−3x)
\displaystyle \phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x)\cdot (2x-3)- \displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot D\,\sqrt{x^3-1}
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}}
\cdot D\,(x^3-1)
\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}
Derivator av högre ordningar
Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv.
Andraderivatan brukar betecknas \displaystyle f^{\,\prime\prime} (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc., betecknas \displaystyle f^{\,(3)}, \displaystyle f^{\,(4)} osv.
Även beteckningarna \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f, \displaystyle \ldots\,, och \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots är vanliga.
Exempel 5
- \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot D\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) - \displaystyle y = \sin x\,\cos x
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x - \displaystyle D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x
= e^x (\sin x + \cos x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{D^2(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\biggl(}
\displaystyle D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{D^3 ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )