1.1 Inledning till derivata

Förberedande kurs i matematik 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (27 april 2008 kl. 11.08) (redigera) (ogör)
m
 
(3 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
__NOTOC__
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Mall:Vald flik|[[1.1 Inledning till derivata|Teori]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[1.1 Övningar|Övningar]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
 +
|}
 +
{{Info|
{{Info|
'''Innehåll:'''
'''Innehåll:'''
Rad 17: Rad 24:
* Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. <math>f(x)&#061;\vert x\vert</math> i <math>x&#061;0</math>).
* Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. <math>f(x)&#061;\vert x\vert</math> i <math>x&#061;0</math>).
* Kunna derivera <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> och <math>\tan x</math> samt summor/differenser av sådana termer.
* Kunna derivera <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> och <math>\tan x</math> samt summor/differenser av sådana termer.
-
* Kunna bestämma tangent och normal till <math>y&#061;f(x)</math>.
+
* Kunna bestämma tangent och normal till kurvan <math>y&#061;f(x)</math>.
* Veta att derivatan kan betecknas med <math>f^{\,\prime}(x)</math> och <math>df/dx(x)</math>.
* Veta att derivatan kan betecknas med <math>f^{\,\prime}(x)</math> och <math>df/dx(x)</math>.
}}
}}
Rad 27: Rad 34:
Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde (<math>y</math>) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet (<math>x</math>). Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten
Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde (<math>y</math>) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet (<math>x</math>). Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{skillnad i ''y''-led}}{\text{skillnad i ''x''-led}}</math>}}
+
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{skillnad i @(i)y@(/i)-led}}{\text{skillnad i @(i)x@(/i)-led}}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Rad 36: Rad 43:
<center>
<center>
{|
{|
-
|{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = x}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = x}}
-
|{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = -2x}}
+
| width="30px" |
 +
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = -2x}}
|-
|-
-
|<small>Grafen till ''f''(''x'') = ''x'' har riktningskoefficient&nbsp;1.</small>
+
| align="center" |<small>Grafen till ''f''(''x'') = ''x'' har riktningskoefficient&nbsp;1.</small>
-
|<small>Grafen till ''g''(''x'') = - 2''x'' har riktningskoefficient&nbsp;-&nbsp;2.</small>
+
| width="30px" |
 +
| align="center" |<small>Grafen till ''g''(''x'') = - 2''x'' har riktningskoefficient&nbsp;-&nbsp;2.</small>
|}
|}
</center>
</center>
-
+
 +
För en linjär funktion gäller alltså att funktionens förändringsgrad är samma som linjens riktningskoefficient.
För en linjär funktion gäller alltså att funktionens förändringsgrad är samma som linjens riktningskoefficient.
Rad 61: Rad 71:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Medelförändringen (medellutningen) från <math>x = 1</math> till <math>x = 2</math> är
+
<li>Medelförändringen (medellutningen) från <math>x = 1</math>
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
+
till <math>x = 2</math> är
-
och funktionen ökar i detta intervall.<br><br></li>
+
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1}
 +
= \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
 +
och funktionen ökar i detta intervall.</li>
<li>Medelförändringen från <math>x = 2</math> till <math>x = 4</math> är
<li>Medelförändringen från <math>x = 2</math> till <math>x = 4</math> är
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}
-
och funktionen avtar i detta intervall.<br><br></li>
+
= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
 +
och funktionen avtar i detta intervall.</li>
<li>Mellan <math>x = 1</math> och <math>x = 4</math> är medelförändringen
<li>Mellan <math>x = 1</math> och <math>x = 4</math> är medelförändringen
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(1)}{4-1}= \frac{0-3}{3}=-1\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}
-
I genomsnitt är funktionen avtagande i detta intervall, även om funktionen både växer och avtar i intervallet.<br><br></li>
+
= \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}</math>}}
 +
I genomsnitt är funktionen avtagande i detta intervall, även om funktionen både växer och avtar i intervallet.</li>
</ol>
</ol>
<center>
<center>
-
{|
+
{| align="center"
-
|{{:1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 2}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 2}}
-
|{{:1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 4}}
+
| width="30px" |
 +
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 4}}
|-
|-
-
|<small>Mellan ''x'' = 1 och ''x'' = 2 har funktionen medelförändringen 1/1 = 1.</small>
+
| align="center" |<small>Mellan ''x'' = 1 och ''x'' = 2 har funktionen medelförändringen 1/1 = 1.</small>
-
|<small>Mellan ''x'' = 1 och ''x'' = 4 har funktionen medelförändringen (-3)/3 = -1.</small>
+
| width="30px" |
 +
| align="center" |<small>Mellan ''x'' = 1 och ''x'' = 4 har funktionen medelförändringen (-3)/3 = -1.</small>
|}
|}
</center>
</center>
Rad 94: Rad 110:
'''Ändringskvoten'''
'''Ändringskvoten'''
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}
 +
= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}
Rad 103: Rad 120:
<div class="regel">
<div class="regel">
''Derivatan'' av en funktion <math>f(x)</math>, definieras som
''Derivatan'' av en funktion <math>f(x)</math>, definieras som
-
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
+
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x)
 +
= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
Om <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existerar, säger man att <math>f(x)</math> är ''deriverbar'' i punkten <math>x=x_0</math>.
Om <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existerar, säger man att <math>f(x)</math> är ''deriverbar'' i punkten <math>x=x_0</math>.
</div>
</div>
Rad 144: Rad 162:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>f(2)=3\ </math> betyder att '''funktionens värde''' är <math>3</math> när <math>x=2</math>.</li>
+
<li><math>f(2)=3\ </math> betyder att '''funktionens värde''' är
-
<li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </math> betyder att '''derivatans värde''' är <math>3</math> när <math>x=2</math>, vilket i sin tur betyder att funktionens graf har lutningen <math>3</math> när <math>x=2</math>.</li>
+
<math>3</math> när <math>x=2</math>.</li>
 +
<li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </math> betyder att '''derivatans värde'''
 +
är <math>3</math> när <math>x=2</math>, vilket i sin tur betyder att
 +
funktionens graf har lutningen <math>3</math> när <math>x=2</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
Rad 154: Rad 175:
I figuren kan man utläsa att
I figuren kan man utläsa att
 +
<center>
{| align="center"
{| align="center"
|-
|-
-
| width=35% valign="center" |
+
| valign="center" |
<math>\begin{align*}
<math>\begin{align*}
-
f^{\,\prime}(a) &> 0\\
+
f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt]
-
f(b) &= 0\\
+
f(b) &= 0\\[4pt]
-
f^{\,\prime}(c) &= 0\\
+
f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt]
-
f(d) &= 0\\
+
f(d) &= 0\\[4pt]
-
f^{\,\prime}(e) &= 0\\
+
f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt]
-
f(e) &< 0\\
+
f(e) &< 0\\[4pt]
f^{\,\prime}(g) &> 0
f^{\,\prime}(g) &> 0
\end{align*}</math>
\end{align*}</math>
-
| width="10%" |
+
| width="30px" |
| valign="center" |
| valign="center" |
{{:1.1 - Figur - Grafen y = f(x) med punkter x = a, b, c, d, e och g}}
{{:1.1 - Figur - Grafen y = f(x) med punkter x = a, b, c, d, e och g}}
|}
|}
 +
</center>
Notera betydelsen av <math>f(x)</math> respektive <math>f^{\,\prime}(x)</math>.
Notera betydelsen av <math>f(x)</math> respektive <math>f^{\,\prime}(x)</math>.
Rad 183: Rad 206:
<li>Efter 10&nbsp;minuter är temperaturen 80°.<br><br>
<li>Efter 10&nbsp;minuter är temperaturen 80°.<br><br>
<math>T(10)=80</math><br><br></li>
<math>T(10)=80</math><br><br></li>
-
<li>Efter 2&nbsp;minuter sjunker temperaturen i termosen med 3° per minut.<br><br>
+
<li>Efter 2&nbsp;minuter sjunker temperaturen i termosen med 3° per
-
<math>T'(2)=-3</math> (funktionen är avtagande, varför derivatan är negativ)<br><br></li>
+
minut.<br><br>
 +
<math>T'(2)=-3</math> (temperaturen är avtagande, varför derivatan är
 +
negativ)<br><br></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
Rad 196: Rad 221:
<center>{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = beloppet av x}}</center>
<center>{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = beloppet av x}}</center>
 +
<center><small>Grafen till funktionen ''f''(''x'') = |''x''|</small></center>
</div>
</div>
Rad 209: Rad 235:
Om <math>f(x)=x^2</math> så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten
Om <math>f(x)=x^2</math> så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Fristående formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}
 +
= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
Om vi sedan låter <math>h</math> gå mot noll så ser vi att lutningen i punkten blir <math>2x</math>. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan <math>y=x^2</math> är <math>2x</math>, dvs. derivatan av <math>x^2</math> är <math>2x</math>.
Om vi sedan låter <math>h</math> gå mot noll så ser vi att lutningen i punkten blir <math>2x</math>. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan <math>y=x^2</math> är <math>2x</math>, dvs. derivatan av <math>x^2</math> är <math>2x</math>.
Rad 241: Rad 268:
Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att
Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att
-
{{Fristående formel||<math>D(f(x) +g(x))= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Fristående formel||<math>D(f(x) +g(x))
 +
= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
Samt, om ''k'' är en konstant, att
Samt, om ''k'' är en konstant, att
-
{{Fristående formel||<math>D(k \cdot f(x)) = k \cdot f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Fristående formel||<math>D(k \cdot f(x))
 +
= k \cdot f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}
Rad 250: Rad 279:
'''Exempel 8'''
'''Exempel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> <math>D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x</math><br>
+
<li><math>D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)
-
<math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x</math></li>
+
= 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x</math><br>
-
<li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> ger att <math>\quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
+
<math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{}
-
<li><math>\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr)= \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
+
= 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x</math></li>
-
<li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> ger att <math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
+
<li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> ger att
 +
<math>\quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x
 +
= \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
 +
<li><math>\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr)
 +
= \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr)
 +
= \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2
 +
= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
 +
<li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> ger att
 +
<math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
Rad 262: Rad 299:
'''Exempel 9'''
'''Exempel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> ger att <math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
+
<li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> ger att
-
<li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> ger att <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
+
<math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2}
-
<li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math> ger att <math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
+
= -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
-
<li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
+
<li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> ger
-
<math>\qquad\quad</math> ger att <math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
+
att <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3}
 +
= -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
 +
<li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math>
 +
ger att <math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
 +
<li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2
 +
= (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2
 +
= x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
 +
<math>\qquad\quad</math> ger att <math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3}
 +
= 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
Rad 275: Rad 320:
Funktionen <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> har derivatan
Funktionen <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> har derivatan
-
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
+
 
 +
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}
 +
= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 
Detta betyder exempelvis att <math>f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> och att <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>. Däremot är derivatan <math>f'(0)</math> inte definierad.
Detta betyder exempelvis att <math>f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> och att <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>. Däremot är derivatan <math>f'(0)</math> inte definierad.
Rad 287: Rad 335:
<br>
<br>
Tidsderivatan ges av
Tidsderivatan ges av
-
{{Fristående formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad\text{vilket ger att}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.}</math>}}
+
 
 +
{{Fristående formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
 +
\text{vilket ger att}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5
 +
= 8\,\mbox{.}</math>}}
 +
 
Detta kan tolkas som att efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h.
Detta kan tolkas som att efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h.
Rad 296: Rad 348:
Totalkostnaden <math>T</math> kr för tillverkning av <math>x</math> gummidräkter ges av funktionen
Totalkostnaden <math>T</math> kr för tillverkning av <math>x</math> gummidräkter ges av funktionen
-
{{Fristående formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad \text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
+
 
 +
{{Fristående formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad
 +
\text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
 +
 
Beräkna och förklara innebörden av nedanstående uttryck.
Beräkna och förklara innebörden av nedanstående uttryck.
<br>
<br>
Rad 302: Rad 357:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>T(120)</math><br><br>
<li><math>T(120)</math><br><br>
-
<math>T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,</math>.<br>
+
<math>T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2
 +
= 83104\,</math>.<br>
Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr.</li>
Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr.</li>
<li><math>T'(120)</math><br><br>
<li><math>T'(120)</math><br><br>
-
Derivatan ges av <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0{,}18x</math> och därför är
+
Derivatan ges av <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0{,}18x</math> och
-
{{Fristående formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120 \approx 348</math>.}}
+
därför är
-
Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.</li>
+
{{Fristående formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120
 +
\approx 348</math>.}}
 +
Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.</li>
</ol>
</ol>
Rad 334: Rad 392:
Tangentlinjen ska också passerar genom punkten <math>(1,2)</math> och därför måste <math>(1,2)</math> uppfylla tangentens ekvation
Tangentlinjen ska också passerar genom punkten <math>(1,2)</math> och därför måste <math>(1,2)</math> uppfylla tangentens ekvation
-
{{Fristående formel||<math>2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad m = 0</math>.}}
+
{{Fristående formel||<math>2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
 +
m = 0</math>.}}
Tangentens ekvation är alltså <math>y=2x</math>.
Tangentens ekvation är alltså <math>y=2x</math>.
Rad 343: Rad 402:
Vidare går normalen också genom punkten <math>(1, 2)</math> , dvs.
Vidare går normalen också genom punkten <math>(1, 2)</math> , dvs.
-
{{Fristående formel||<math>2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}
+
{{Fristående formel||<math>2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m
 +
\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}
Normalen har ekvationen <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.
Normalen har ekvationen <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.
Rad 349: Rad 409:
<center>
<center>
{| align="center"
{| align="center"
-
||{{:1.1 - Figur - Tangentlinjen y = 2x}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Tangentlinjen y = 2x}}
-
||{{:1.1 - Figur - Normallinjen y = (5 - x)/2}}
+
| width="30px" |
 +
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Normallinjen y = (5 - x)/2}}
|-
|-
-
||<small>Tangentlinjen <math>y=2x</math></small>
+
| align="center" |<small>Tangentlinjen <math>y=2x</math></small>
-
||<small>Normallinjen <math>y=(5-x)/2</math></small>
+
| width="30px" |
 +
| align="center" |<small>Normallinjen <math>y=(5-x)/2</math></small>
|}
|}
</center>
</center>
Rad 365: Rad 427:
<br>
<br>
<br>
<br>
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" |
Derivatan av högerledet är <math>y' = 2 \, e^x -3</math> och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med <math>-1</math>, dvs.
Derivatan av högerledet är <math>y' = 2 \, e^x -3</math> och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med <math>-1</math>, dvs.
<math>y' = -1</math>, och detta ger oss ekvationen
<math>y' = -1</math>, och detta ger oss ekvationen
{{Fristående formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
{{Fristående formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
som har lösningen <math>x=0</math>. I punkten <math>x=0</math> har kurvan <math>y</math>-värdet <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2</math> och därmed är tangeringspunkten <math>(0,2)</math>.
som har lösningen <math>x=0</math>. I punkten <math>x=0</math> har kurvan <math>y</math>-värdet <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2</math> och därmed är tangeringspunkten <math>(0,2)</math>.
-
 
+
| width="10%" |
-
<center>{{:1.1 - Figur - Kurvan y = 2e^x - 3x och tangentlinjen genom (0,2)}}</center>
+
||{{:1.1 - Figur - Kurvan y = 2e^x - 3x och tangentlinjen genom (0,2)}}
 +
|}
</div>
</div>

Nuvarande version

       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Derivatans definition (översiktligt).
  • Derivatan av \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x och \displaystyle \tan x.
  • Derivata av summa och differens.
  • Tangent och normal till kurvor.

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Förstå derivatan \displaystyle f^{\,\prime}(a) som lutningen av kurvan \displaystyle y=f(x) i punkten \displaystyle x=a.
  • Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, osv.).
  • Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. \displaystyle f(x)=\vert x\vert i \displaystyle x=0).
  • Kunna derivera \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x och \displaystyle \tan x samt summor/differenser av sådana termer.
  • Kunna bestämma tangent och normal till kurvan \displaystyle y=f(x).
  • Veta att derivatan kan betecknas med \displaystyle f^{\,\prime}(x) och \displaystyle df/dx(x).

Inledning

När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.

Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde (\displaystyle y) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet (\displaystyle x). Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{skillnad i @(i)y@(/i)-led}}{\text{skillnad i @(i)x@(/i)-led}}

Exempel 1

De linjära funktionerna \displaystyle f(x)=x respektive \displaystyle g(x)=-2x förändras på samma sätt hela tiden. Deras förändringsgrad är \displaystyle 1 resp. \displaystyle −2, vilket vi känner till som linjernas respektive riktningskoefficient.

[Image]

[Image]

Grafen till f(x) = x har riktningskoefficient 1. Grafen till g(x) = - 2x har riktningskoefficient - 2.


För en linjär funktion gäller alltså att funktionens förändringsgrad är samma som linjens riktningskoefficient.

Om man har en funktion där funktionsvärdet förändras med tiden är det naturligt att använda begreppet förändringshastighet, eftersom förändringsgraden här anger hur funktionsvärdet ändras per tidsenhet.

Om en bil rör sig med hastigheten 80 km/h så kan den tillryggalagda sträckan, s km, efter t timmar beskrivas med funktionen \displaystyle s(t)=80 t. Funktionens förändringsgrad anger hur funktionsvärdet ändras per timme, vilket naturligtvis är detsamma som bilens hastighet, 80 km/h.

För icke-linjära funktioner gäller ju att lutningen på funktionskurvan ändras hela tiden och därmed också funktionens förändringsgrad. För att bestämma hur en sådan funktion förändras kan vi antingen ange funktionens genomsnittliga förändring (medelförändringen) mellan två punkter på funktionskurvan, eller den momentana förändringsgraden i en punkt på kurvan.

Exempel 2

För funktionen \displaystyle f(x)=4x-x^2 är \displaystyle f(1)=3, \displaystyle f(2)=4 och \displaystyle f(4)=0.

  1. Medelförändringen (medellutningen) från \displaystyle x = 1 till \displaystyle x = 2 är
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} 
     = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}
    och funktionen ökar i detta intervall.
  2. Medelförändringen från \displaystyle x = 2 till \displaystyle x = 4 är
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2} 
     = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}
    och funktionen avtar i detta intervall.
  3. Mellan \displaystyle x = 1 och \displaystyle x = 4 är medelförändringen
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1} 
     = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}
    I genomsnitt är funktionen avtagande i detta intervall, även om funktionen både växer och avtar i intervallet.

[Image]

[Image]

Mellan x = 1 och x = 2 har funktionen medelförändringen 1/1 = 1. Mellan x = 1 och x = 4 har funktionen medelförändringen (-3)/3 = -1.


Derivatans definition

För att beräkna den momentana förändringsgraden hos en funktion, dvs. funktionskurvans lutning i en punkt P, tar vi temporärt hjälp av ytterligare en punkt Q i närheten av P och bildar ändringskvoten mellan P och Q:

[Image]

Ändringskvoten

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} 
 = \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}


Om vi låter Q närma sig P (dvs. låter \displaystyle h \rightarrow 0) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten P. Vi kallar detta värde för derivatan av \displaystyle f(x) i punkten P, vilket kan tolkas som den momentana förändringsgraden av \displaystyle f(x) i punkten P.

Derivatan av en funktion \displaystyle f(x) betecknas \displaystyle f^{\,\prime}(x) och kan formellt definieras så här:

Derivatan av en funktion \displaystyle f(x), definieras som

\displaystyle f^{\,\prime}(x) 
 = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}

Om \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) existerar, säger man att \displaystyle f(x) är deriverbar i punkten \displaystyle x=x_0.

Olika symboler för derivatan förekommer, t.ex.


Funktion Derivata
\displaystyle f(x) \displaystyle f^{\,\prime}(x)
\displaystyle y \displaystyle y^{\,\prime}
\displaystyle y \displaystyle Dy
\displaystyle y \displaystyle \dfrac{dy}{dx}
\displaystyle s(t) \displaystyle \dot s(t)


Derivatans tecken

Derivatans tecken (+/−) visar oss om funktionens graf lutar uppåt eller nedåt, dvs. om funktionen är växande eller avtagande:

  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 (positiv lutning) medför att \displaystyle f(x) är växande.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 (negativ lutning) medför att \displaystyle f(x) är avtagande.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 (ingen lutning) medför att \displaystyle f(x) är stationär (horisontell).


Exempel 3

  1. \displaystyle f(2)=3\ betyder att funktionens värde är \displaystyle 3 när \displaystyle x=2.
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ betyder att derivatans värde är \displaystyle 3 när \displaystyle x=2, vilket i sin tur betyder att funktionens graf har lutningen \displaystyle 3 när \displaystyle x=2.

Exempel 4

I figuren kan man utläsa att

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt] f(b) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt] f(d) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt] f(e) &< 0\\[4pt] f^{\,\prime}(g) &> 0 \end{align*}

[Image]

Notera betydelsen av \displaystyle f(x) respektive \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Exempel 5

Temperaturen i en termos beskrivs av en funktion, där \displaystyle T(t) är temperaturen i termosen efter \displaystyle t minuter. Skriv följande med matematiska symboler:

  1. Efter 10 minuter är temperaturen 80°.

    \displaystyle T(10)=80

  2. Efter 2 minuter sjunker temperaturen i termosen med 3° per minut.

    \displaystyle T'(2)=-3 (temperaturen är avtagande, varför derivatan är negativ)

Exempel 6

Funktionen \displaystyle f(x)=|x| saknar derivata då \displaystyle x=0. Man kan nämligen inte bestämma hur funktionens graf lutar i punkten \displaystyle (0,0) (se figuren nedan).

Man kan uttrycka detta på exempelvis något av följande sätt: "\displaystyle f^{\,\prime}(0) existerar inte" , "\displaystyle f^{\,\prime}(0) är ej definerad" eller "\displaystyle f(x) är inte deriverbar i \displaystyle x=0".

[Image]

Grafen till funktionen f(x) = |x|


Deriveringsregler

Med hjälp av derivatans definition kan man bestämma derivatan för de vanliga funktionstyperna.

Exempel 7

Om \displaystyle f(x)=x^2 så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten

\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} 
 = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}

Om vi sedan låter \displaystyle h gå mot noll så ser vi att lutningen i punkten blir \displaystyle 2x. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan \displaystyle y=x^2 är \displaystyle 2x, dvs. derivatan av \displaystyle x^2 är \displaystyle 2x.

På liknande sätt kan man härleda allmänna deriveringsregler:

Funktion Derivata
\displaystyle x^n \displaystyle nx^{n-1}
\displaystyle \ln x \displaystyle 1/x
\displaystyle e^x \displaystyle e^x
\displaystyle \sin x \displaystyle \cos x
\displaystyle \cos x \displaystyle -\sin x
\displaystyle \tan x \displaystyle 1/\cos^2 x


Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att

\displaystyle D(f(x) +g(x)) 
 = f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}

Samt, om k är en konstant, att

\displaystyle D(k \cdot f(x)) 
 = k \cdot f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}


Exempel 8

  1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
    \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x
  2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad ger att \displaystyle \quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
  4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad ger att \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Exempel 9

  1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad ger att \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
  2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad ger att \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
  3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad ger att \displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
  4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
    \displaystyle \qquad\quad ger att \displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Exempel 10

Funktionen \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} har derivatan

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3} 
 = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}

Detta betyder exempelvis att \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} och att \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0. Däremot är derivatan \displaystyle f'(0) inte definierad.

Exempel 11

Ett föremål rör sig enligt \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, där \displaystyle s(t) km är avståndet från startpunkten efter \displaystyle t timmar. Beräkna \displaystyle s'(3) och förklara vad värdet står för.

Tidsderivatan ges av

\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad 
 \text{vilket ger att}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5
 = 8\,\mbox{.}

Detta kan tolkas som att efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h.

Exempel 12

Totalkostnaden \displaystyle T kr för tillverkning av \displaystyle x gummidräkter ges av funktionen

\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad 
 \text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}

Beräkna och förklara innebörden av nedanstående uttryck.

  1. \displaystyle T(120)

    \displaystyle T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,.
    Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr.
  2. \displaystyle T'(120)

    Derivatan ges av \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0{,}18x och därför är
    \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120 
           \approx 348.
    Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.


Tangenter och normaler

En tangent till en kurva är en rät linje som tangerar kurvan.

En normal till en kurva är en rät linje som är vinkelrät mot kurvan i en viss punkt på kurvan (och därmed också vinkelrät mot kurvans tangent i denna punkt).

För vinkelräta linjer gäller att produkten av deras riktningskoefficienter är \displaystyle –1, dvs. om tangentens riktningskoefficient betecknas \displaystyle k_T och normalens \displaystyle k_N så är \displaystyle k_T \cdot k_N = -1. Eftersom vi kan bestämma lutningen på en kurva med hjälp av derivatan så kan vi också bestämma ekvationen för en tangent eller en normal om vi känner till funktionsuttrycket för kurvan.


Exempel 13

Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan \displaystyle y=x^2 + 1 i punkten \displaystyle (1,2).

Vi skriver tangentens ekvation som \displaystyle y = kx + m. Eftersom den ska tangera kurvan i \displaystyle x=1 har vi att dess lutning ges av \displaystyle k= y'(1), dvs.

\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2.

Tangentlinjen ska också passerar genom punkten \displaystyle (1,2) och därför måste \displaystyle (1,2) uppfylla tangentens ekvation

\displaystyle 2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad 
 m = 0.

Tangentens ekvation är alltså \displaystyle y=2x.


Riktningskoefficienten för normalen är \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

Vidare går normalen också genom punkten \displaystyle (1, 2) , dvs.

\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m 
 \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}.

Normalen har ekvationen \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.

[Image]

[Image]

Tangentlinjen \displaystyle y=2x Normallinjen \displaystyle y=(5-x)/2

Exempel 14

Kurvan \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x har en tangent vars riktningskoefficient är \displaystyle –1. Bestäm tangeringspunkten.

Derivatan av högerledet är \displaystyle y' = 2 \, e^x -3 och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med \displaystyle -1, dvs. \displaystyle y' = -1, och detta ger oss ekvationen

\displaystyle 2 \, e^x - 3=-1

som har lösningen \displaystyle x=0. I punkten \displaystyle x=0 har kurvan \displaystyle y-värdet \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2 och därmed är tangeringspunkten \displaystyle (0,2).

[Image]

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sommarmatte2/index.php/1.1_Inledning_till_derivata