Lösning 1.3:1b

Förberedande kurs i matematik 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:1_3_1b-1(3).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:1_3_1b-2(3).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}...)
Rad 1: Rad 1:
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
Det finns två punkter <math>x=-1</math> och <math>x=1</math> där funktionens graf har horisontell tangent (se figuren nedan) och därmed har funktionen derivata lika med noll. Detta är funktionens kritiska punkter.
-
<center> [[Bild:1_3_1b-1(3).gif]] </center>
+
 
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till övning 1.3:1b med horisontella tangenter}}</center>
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
<center><small>Grafen har horisontella tangenter i ''x''&nbsp;=&nbsp;-1 och ''x''&nbsp;=&nbsp;1</small></center>
-
<center> [[Bild:1_3_1b-2(3).gif]] </center>
+
 
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
Vidare ser vi att funktionen har lokala minimipunkter i definitionsintervallets vänstra ändpunkt <math>x=-3</math> och i punkten <math>x=1</math> eftersom funktionen antar större funktionsvärden i omgivande punkter. På liknande sätt ser vi att funktionen har lokala maximipunkter i <math>x=-1</math> och i definitionsintervallets högra ändpunkt <math>x=2</math> eftersom funktionen antar mindre värden i omgivande punkter.
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
 
-
<center> [[Bild:1_3_1b-3(3).gif]] </center>
+
Av dessa lokala extrempunkter är den vänstra ändpunkten en global minimipunkt (den punkt där funktionen antar sitt absoluta minimum) och <math>x=-1</math> en global maximipunkt.
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
 
 +
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till övning 1.3:1b med max och min}}</center>
 +
 
 +
Funktionen är strängt växande (har tangent som lutar uppåt) i intervallen mellan den vänstra ändpunkten och <math>x=-1</math> samt mellan <math>x=1</math> och den högra ändpunkten. I intervallet mellan <math>x=-1</math> och <math>x=1</math> är funktionen strängt avtagande.
 +
 
 +
<center>
 +
{| align="center"
 +
|-
 +
||{{:1.3 - Figur - Grafen till övning 1.3:1b med växande område}}
 +
| width="10px" |
 +
||{{:1.3 - Figur - Grafen till övning 1.3:1b med avtagande område}}
 +
|-
 +
|-
 +
||<small>Område där funktionen är strängt växande</small>
 +
| width="10px" |
 +
||<small>Område där funktionen är strängt avtagande</small>
 +
|}
 +
</center>

Versionen från 29 juni 2010 kl. 09.13

Det finns två punkter \displaystyle x=-1 och \displaystyle x=1 där funktionens graf har horisontell tangent (se figuren nedan) och därmed har funktionen derivata lika med noll. Detta är funktionens kritiska punkter.

[Image]

Grafen har horisontella tangenter i x = -1 och x = 1

Vidare ser vi att funktionen har lokala minimipunkter i definitionsintervallets vänstra ändpunkt \displaystyle x=-3 och i punkten \displaystyle x=1 eftersom funktionen antar större funktionsvärden i omgivande punkter. På liknande sätt ser vi att funktionen har lokala maximipunkter i \displaystyle x=-1 och i definitionsintervallets högra ändpunkt \displaystyle x=2 eftersom funktionen antar mindre värden i omgivande punkter.

Av dessa lokala extrempunkter är den vänstra ändpunkten en global minimipunkt (den punkt där funktionen antar sitt absoluta minimum) och \displaystyle x=-1 en global maximipunkt.

[Image]

Funktionen är strängt växande (har tangent som lutar uppåt) i intervallen mellan den vänstra ändpunkten och \displaystyle x=-1 samt mellan \displaystyle x=1 och den högra ändpunkten. I intervallet mellan \displaystyle x=-1 och \displaystyle x=1 är funktionen strängt avtagande.

[Image]

[Image]

Område där funktionen är strängt växande Område där funktionen är strängt avtagande
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sommarmatte2/index.php/L%C3%B6sning_1.3:1b