Dag 13

Linjär algebra

[redigera] 5.1 Allmänna vektorrum

Vi har sett hur man kan räkna med $n$-tupler av reella tal och att de uppfyller vissa räkneregler. Det visar sig att genom att ta fasta på de viktigaste av dessa regler och sätta upp dem som axiom så kan man härleda i stort sett alla andra viktiga egenskaper utifrån dem. Detta har fördelen att objekten vi räknar med inte nödvändigtvis behöver vara $n$-tupler av reella tal längre utan kan vara till exempel funktioner eller matriser. Från matematikers synvinkel är detta axiomatiska sätt att se på vektorrum det naturliga och $R^n$ ses som ett viktigt specialfall. Detta är ett nytt synsätt som kan ta en stund att smälta, men en bra början är att läsa 5.1 och lösa

• 5.1, 5.5, 5.9 och 5.11.

[redigera] 5.2 Delrum

Ett delrum till ett vektorrum $V$ är en delmängd som själv är ett vektorrum under samma operationer som på $V$. Som sats 5.2.1 visar behöver man inte kolla alla axiomen för att visa att en delmängd till ett vektorrum är ett delrum, det räcker faktiskt att kolla att man inte kommer ut ur delmängden om man utför operationerna (dvs addition av två vektorer och multiplikation av en vektor med ett reellt tal.) Genom att läsa avsnitt 5.2 får du ett antal trevliga och viktiga exempel på delrum som du kommer att ha nytta av framöver i kursen. Lägg också noga märke till definitionen av linjärkombination på sidan 234 som är viktig.

Gör följande övningar:

• 5.2.1, 5.2.3b, 5.2.6abcf, 5.2.8a, 5.2.9ab, 5.2.11abd

De flesta svar finns i boken men i något fall får du gå till den länkade sidan [Svar till några övningar på kapitel 5]. Observera också anmärkningen där om fel i facit på uppgift 5.2.1.