Dag 17

Linjär algebra

[redigera] 6.3 ON-baser, Gram-Schmidt-processen

En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen \frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).

Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer {\bf u}, {\bf v} generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas \{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\} för detta plan genom att först normera {\bf u} och låta {\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}. Därefter projicerar man {\bf v} på {\bf e}_1 och får {\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty {\bf e}_1 är normerad. Vad har vi då fått? Jo, {\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} är ortogonal mot {\bf e}_1, ska vi nu normera denna och låta {\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert. Nu är vi klara.

Exempel i tre dimensioner. Betrakta {\bf u}, {\bf v}, {\bf w}. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen {\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både {\bf e}_1 och {\bf e}_2. (Vektorprodukt är bra i R^3, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera \bf w mot respektive ON-vektor och vi får {\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }. Vanlig hederlig vektoraddition ger oss vidare {\bf w}^{\perp} ={\bf w}- {\bf w}_{ {\bf e}_1 }-{\bf w}_{ {\bf e}_2 }, där {\bf w}^{\perp} är ortogonal mot både {\bf e}_1 och {\bf e}_2, precis den vektor vi var ute efter. Genom att normera {\bf w}^{\perp} får vi vår tredje basvektor {\bf e}_3={\bf w}^{\perp} / \vert\vert{ {\bf w}^{\perp}}\vert\vert och vår ON-bas är komplett!

Du kan hoppa över texten efter exempel 7.

Gör följande övningar i första hand:

• 6.3.1-4, 6.3.9, 6.1.17a [ svar till de jämna övningarna i 6.3 ]

Har du tid över kan du göra även:

• 6.3.13, 6.1.17b, 6.1.19