Dag 17
Linjär algebra
Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.09 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.12 (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
Rad 2: | Rad 2: | ||
- | En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{{\bf v}}{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. | + | En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{{\bf v}}{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen. |
+ | |||
+ | Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{{\bf v}}{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$ | ||
- | Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen. | ||
Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.12
6.3 ON-baser, Gram-Schmidt-processen
En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\fracMall:\bf v{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen.
Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\fracMall:\bf v{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$
Gör följande övningar i första hand:
- 6.3.
Har du tid över kan du göra även:
- 6.3.