Dag 17
Linjär algebra
| Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.12 (redigera) Vcrispin (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (10 juni 2007 kl. 09.43) (redigera) (ogör) Vcrispin (Diskussion | bidrag) |
||
| (10 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
| - | En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{{\bf v}}{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen. | + | En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7). |
| - | Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{{\bf v}}{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$ | ||
| + | Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$. Vanlig hederlig vektoraddition ger oss vidare ${\bf w}^{\perp} ={\bf w}- {\bf w}_{ {\bf e}_1 }-{\bf w}_{ {\bf e}_2 }$, där ${\bf w}^{\perp}$ är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$, precis den vektor vi var ute efter. Genom att normera ${\bf w}^{\perp}$ får vi vår tredje basvektor ${\bf e}_3={\bf w}^{\perp} / \vert\vert{ {\bf w}^{\perp}}\vert\vert$ och vår ON-bas är komplett! | ||
| + | |||
| + | Du kan hoppa över texten efter exempel 7. | ||
| Gör följande övningar i första hand: | Gör följande övningar i första hand: | ||
| - | * 6.3. | + | * 6.3.1-4, 6.3.9, 6.1.17a [ [[svar till de jämna övningarna i 6.3]] ] |
| Har du tid över kan du göra även: | Har du tid över kan du göra även: | ||
| - | * 6.3. | + | * 6.3.13, 6.1.17b, 6.1.19 |
Nuvarande version
[redigera] 6.3 ON-baser, Gram-Schmidt-processen
En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).
Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.
Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$. Vanlig hederlig vektoraddition ger oss vidare ${\bf w}^{\perp} ={\bf w}- {\bf w}_{ {\bf e}_1 }-{\bf w}_{ {\bf e}_2 }$, där ${\bf w}^{\perp}$ är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$, precis den vektor vi var ute efter. Genom att normera ${\bf w}^{\perp}$ får vi vår tredje basvektor ${\bf e}_3={\bf w}^{\perp} / \vert\vert{ {\bf w}^{\perp}}\vert\vert$ och vår ON-bas är komplett!
Du kan hoppa över texten efter exempel 7.
Gör följande övningar i första hand:
- 6.3.1-4, 6.3.9, 6.1.17a [ svar till de jämna övningarna i 6.3 ]
Har du tid över kan du göra även:
- 6.3.13, 6.1.17b, 6.1.19
