Dag 7
Linjär algebra
| Versionen från 18 maj 2007 kl. 12.45 (redigera) Annator (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 18 maj 2007 kl. 12.46 (redigera) (ogör) Annator (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| == 2.1 Beräkning av determinanter genom utveckling efter rad eller kolumn == | == 2.1 Beräkning av determinanter genom utveckling efter rad eller kolumn == | ||
| - | Till varje kvadratisk matris kan man associera ett reellt tal som kallas matrisens determinant. Vi kommer att se att detta tal innehåller viktig information, exempelvis är det noll om och endast om matrisen ej har invers. Först skall vi se hur determinanten för en matris definieras, vilket direkt kommer att ge oss ett sätt att beräkna den. Man börjar med att definiera determinanten av en $2 \times 2$-matris. Determinanten av en $3 \times 3$-matris $A$ fås genom formel $(1)$ på sidan 85, där $M_{11}, M_{12}$ och $M_{13}$ är determinanterna för vissa $2 \times 2$ matriser som fås genom att stryka en rad och en kolumn i $A$. Denna idé kan sedan upprepas så att determinanten av en $4 \times 4$-matris definieras genom en formel som innehåller ett antal $3 \times 3$-determinanter. Detta kallas en rekursiv definition av determinant. Den rekursiva formel som definierar determinanten kallas utveckling efter första raden. Man visar sedan att motsvarande formel gäller för varje rad i matrisen och även för varje kolumn i matrisen (Sats 2.1.1). I slutet av avsnitt 2.1 får vi även veta att man kan använda determinanter för att lösa akvationssystem, ett samband som kallas Cramers regel. Den används sällan i praktiken då den är beräkningskrävande, men hjälper oss att förstå hur lösningar till linjära ekvationssystem ser ut. Läs nu avsnitt 2.1 och lös övningsuppgifterna 2.1.1, 2.1.3, 2.1.6 samt gärna de lite svårare uppgifterna 2.1.18 och 2.1.25. Till de två sista finns [[Lösningar till 2.1.25 och 2.1.26]] [[Lösning]] | + | Till varje kvadratisk matris kan man associera ett reellt tal som kallas matrisens determinant. Vi kommer att se att detta tal innehåller viktig information, exempelvis är det noll om och endast om matrisen ej har invers. Först skall vi se hur determinanten för en matris definieras, vilket direkt kommer att ge oss ett sätt att beräkna den. Man börjar med att definiera determinanten av en $2 \times 2$-matris. Determinanten av en $3 \times 3$-matris $A$ fås genom formel $(1)$ på sidan 85, där $M_{11}, M_{12}$ och $M_{13}$ är determinanterna för vissa $2 \times 2$ matriser som fås genom att stryka en rad och en kolumn i $A$. Denna idé kan sedan upprepas så att determinanten av en $4 \times 4$-matris definieras genom en formel som innehåller ett antal $3 \times 3$-determinanter. Detta kallas en rekursiv definition av determinant. Den rekursiva formel som definierar determinanten kallas utveckling efter första raden. Man visar sedan att motsvarande formel gäller för varje rad i matrisen och även för varje kolumn i matrisen (Sats 2.1.1). I slutet av avsnitt 2.1 får vi även veta att man kan använda determinanter för att lösa akvationssystem, ett samband som kallas Cramers regel. Den används sällan i praktiken då den är beräkningskrävande, men hjälper oss att förstå hur lösningar till linjära ekvationssystem ser ut. Läs nu avsnitt 2.1 och lös övningsuppgifterna 2.1.1, 2.1.3, 2.1.6 samt gärna de lite svårare uppgifterna 2.1.18 och 2.1.25. Till de två sista finns [[Lösning]]. |
| == 2.2 Beräkning av determinanter genom radoperationer == | == 2.2 Beräkning av determinanter genom radoperationer == | ||
| + | |||
| == 2.3 Egenskaper hos determinantfunktionen == | == 2.3 Egenskaper hos determinantfunktionen == | ||
Versionen från 18 maj 2007 kl. 12.46
2.1 Beräkning av determinanter genom utveckling efter rad eller kolumn
Till varje kvadratisk matris kan man associera ett reellt tal som kallas matrisens determinant. Vi kommer att se att detta tal innehåller viktig information, exempelvis är det noll om och endast om matrisen ej har invers. Först skall vi se hur determinanten för en matris definieras, vilket direkt kommer att ge oss ett sätt att beräkna den. Man börjar med att definiera determinanten av en $2 \times 2$-matris. Determinanten av en $3 \times 3$-matris $A$ fås genom formel $(1)$ på sidan 85, där $M_{11}, M_{12}$ och $M_{13}$ är determinanterna för vissa $2 \times 2$ matriser som fås genom att stryka en rad och en kolumn i $A$. Denna idé kan sedan upprepas så att determinanten av en $4 \times 4$-matris definieras genom en formel som innehåller ett antal $3 \times 3$-determinanter. Detta kallas en rekursiv definition av determinant. Den rekursiva formel som definierar determinanten kallas utveckling efter första raden. Man visar sedan att motsvarande formel gäller för varje rad i matrisen och även för varje kolumn i matrisen (Sats 2.1.1). I slutet av avsnitt 2.1 får vi även veta att man kan använda determinanter för att lösa akvationssystem, ett samband som kallas Cramers regel. Den används sällan i praktiken då den är beräkningskrävande, men hjälper oss att förstå hur lösningar till linjära ekvationssystem ser ut. Läs nu avsnitt 2.1 och lös övningsuppgifterna 2.1.1, 2.1.3, 2.1.6 samt gärna de lite svårare uppgifterna 2.1.18 och 2.1.25. Till de två sista finns Lösning.
