Dag 7

Linjär algebra

[redigera] 2.1 Beräkning av determinanter genom utveckling efter rad eller kolumn

Till varje kvadratisk matris kan man associera ett reellt tal som kallas matrisens determinant. Vi kommer att se att detta tal innehåller viktig information, exempelvis är det noll om och endast om matrisen ej har invers. Först skall vi se hur determinanten för en matris definieras, vilket direkt kommer att ge oss ett sätt att beräkna den. Man börjar med att definiera determinanten av en $2 \times 2$-matris. Determinanten av en $3 \times 3$-matris $A$ fås genom formel $(1)$ på sidan 85, där $M_{11}, M_{12}$ och $M_{13}$ är determinanterna för vissa $2 \times 2$ matriser som fås genom att stryka en rad och en kolumn i $A$. Denna idé kan sedan upprepas så att determinanten av en $4 \times 4$-matris definieras genom en formel som innehåller ett antal $3 \times 3$-determinanter. Detta kallas en rekursiv definition av determinant. Den rekursiva formel som definierar determinanten kallas utveckling efter första raden. Man visar sedan att motsvarande formel gäller för varje rad i matrisen och även för varje kolumn i matrisen (Sats 2.1.1). I slutet av avsnitt 2.1 får vi även veta att man kan använda determinanter för att lösa ekvationssystem, ett samband som kallas Cramers regel. Den används sällan i praktiken då den är beräkningskrävande, men hjälper oss att förstå hur lösningar till linjära ekvationssystem ser ut.

Gör följande övningar i första hand:

• 2.1.1, 2.1.3, 2.1.6

Har du tid över kan du göra även:

• 2.1.18, 2.1.25 [till dessa finns Lösning ]

[redigera] 2.2 Beräkning av determinanter genom radoperationer

I det här avsnittet får vi lära oss flera metoder som är av stort praktiskt intresse vid beräkning av determinanter. De bygger på att elementära radoperationer hos matrisen påverkar determinanten på ett enkelt sätt. Att lägga en multipel av en rad till en annan i $A$ påverkar inte $det(A)$ alls, medan platsbyte av två rader i $A$ gör att $det(A)$ byter tecken. Om man multiplicerar en rad i $A$ med en nollskild konstant multipliceras $det(A)$ med samma konstant. Lägg särskilt märke till räkningarna i exempel 4.

Gör följande övningar i första hand:

• 2.2.2abcd, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8

Har du tid över kan du göra även:

• 2.2.12bcd

[redigera] 2.3 Egenskaper hos determinantfunktionen

I det här avsnittet visas ett antal mycket viktiga egenskaper hos determinanten. Den egenskap som man använder allra mest är att $A$ är inverterbar om och endast om $det \neq 0$ (sats 2.3.3). Även produktsatsen (sats 2.3.4), som säger att om $A$ och $B$ är kvadratiska och lika stora så är $det(AB)=det(A)det(B)$, och sats 2.3.5 att $det(A^{-1})=1/det(A)$, är väl värda att lägga på minnet. Den sista satsen är en direkt följd av produktsatsen. Läs det korta beviset i boken så får du se hur. Läs sedan i lugn och ro igenom hela avsnitt 2.3.

Gör följande övningar i första hand:

• 2.3.4, 2.3.5, 2.3.6 [klicka på denna länk för att få Svar till övning 2.3.5, till de övriga finns svar i boken]