Dag 17

Linjär algebra

6.3 ON-baser, Gram-Schmidt-processen

En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen.

Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\fracMall:\bf v{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$

Gör följande övningar i första hand:

• 6.3.

Har du tid över kan du göra även:

• 6.3.