Dag 17

Linjär algebra

6.3 ON-baser, Gram-Schmidt-processen

En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).

Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.

Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$.

Gör följande övningar i första hand:

• 6.3.

Har du tid över kan du göra även:

• 6.3.