Exempellösningar

Linjär algebra

Som mentor/lärare så blir man ibland tvungen att lösa tal i kursboken, då flitiga elever frågar på dessa. Dessa lösningar är ju synd och skam att sitta och gömma, så här hamnar de.

Uppgift 8.2.7b

Finn en bas till kernel (nollrummet) till avbildningen från $\mathbb{R^4}\rightarrow \mathbb{R^3}$, som ges av $(x_1,x_2,x_3,x_4) \rightarrow (4x_1+x_2-2x_3-3x_4,2x_1+x_2+x_3-4x_4,6x_1-9x_3+9x_4)$.

Lösning

Vi ställer upp matrisen för avbildningen;

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 & -4 \\ 6 & 0 & -9 & 9 \\ \end{pmatrix}$

Vi vill finna en bas för det vektorrum av vektorer $\mathbf{x}$ som uppfyller $A\mathbf{x} = 0$.

Vi löser då ekvationssystemet, och då "högerledet" är 0, så utesluts detta för enkelhets skull.

Gausselimination ger då

$\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 & -4 \\ 6 & 0 & -9 & 9 \\ \end{pmatrix}$ $\quad \Rightarrow \quad$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Låt oss då kalla $x_3=t$. Detta ger oss då att $\mathbf{x} = (3t/2,-4t,t,0)$. (Här är det dags att kontrollera att alla dessa vektorer verkligen avbildas på $\mathbf{0}$).

Rummet som avbildas på $\mathbf{0}$ är altså endimensionellt och spänns upp av $(3,-8,2,0)$ till exempel.