Dag 21

Envariabelanalys

[redigera] TAYLOR- OCH MACLAURINSERIER

De studenter som inte gör sina läxor kommer obönhörligen att förvisas till insidan av Poincarés hypersfär som vi nu (tack vare Perelman) vet är den enda tredimensionella figuren med en enkelt sammanhängande yta. Vi vill inte se några hoppdiskontinuiteter i dina studieritualer utan ser helst att dina studier fortgår som en kontinuerlig process utan avbrott (bortsett från måltider och sömn). Observera att dagens tema är ganska långt, men detta kompenseras mer än väl av att morgondagens ämne är kortare, så var inte orolig om du inte hinner göra alla dagens övningsuppgifter. Du hinner fortsätta imorgon på dagens tema.

Du har redan stött på Taylors formel innan som används för att approximera en given funktion med ett polynom nära en given punkt. Idag introducerar vi Taylorserier.

• 9.5 Potensserier och konvergensradie. I samband med Taylors formel såg vi exempel på potensserier. Här dyker den geometriska serien upp igen. Sats 17 skall man känna till. Där ingår det viktiga begreppet konvergensradie. Den kan beräknas enligt formeln i rutan på s. 503. Du skall kunna använda Sats 19: Innanför konvergensintevallet får man derivera eller integrera en potensserie termvis. Läs alltså detta avsnitt fram till och med Exempel 2 samt Sats 19.

• 9.6 Taylor- och Maclaurinserier. Observera Definition 9 (analytisk funktion). Notera att Maclaurinserien är ett specialfall av Taylorserien, (detta trots att det var Taylor som i början av 1700-talet härledde formeln för a=0, medan det var Maclaurin som gav den allmäna formeln). Läs hela detta avsnitt.

• 9.7 Tillämpningar på Taylor- och Maclaurinserier. Läs igenom hela detta avsnitt.

Gör följande övningsuppgifter:

• 9.6: 1 3 5 7 15 17 21 23.
• 9.7: 1 3 7 23 25.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter:

• 9.6: 9 11 19 25 27.
• 9.7: 5 9 13.

Ytterligare och svårare utmaningar? Gör följande:

• 9.6: 31 37 38 39 41 43.