Dag 24

Envariabelanalys

[redigera] LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss.

Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay' '+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter (a nollskild) kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken).

Låt oss fästa en partikel med massan m på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x' '(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten x'(t), erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx' '(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").

• 3.7 Linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvation ser ut uppstår tre olika fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs igenom hela detta avsnitt.

Gör följande övningsuppgifter:

• 3.7: 1 3 5 7 11 13 15 25.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter som är lite svårare:

• 3.7: 19 23 31.