Dag 14

Envariabelanalys

Versionen från 21 maj 2007 kl. 12.41 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 21 maj 2007 kl. 12.47 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 1:		Rad 1:
	==PARTIELL INTEGRATION==		==PARTIELL INTEGRATION==
-	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$. Denna regel för att integrera en produkt härleds lätt från regeln för att derivera en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Poängen är att man efter partialintegrationen erhåller en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.	+	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$. Denna regel för att integrera en produkt härleds lätt från regeln för att derivera en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.
-	6.1 Formeln för partiell integration (ruta på s. 345) är viktig. Den följer av produktregeln för derivator.	+	6.1
	Läs exempel 1, 2, 5, 6.		Läs exempel 1, 2, 5, 6.

---

Versionen från 21 maj 2007 kl. 12.47

PARTIELL INTEGRATION

Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$. Denna regel för att integrera en produkt härleds lätt från regeln för att derivera en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.

6.1 Läs exempel 1, 2, 5, 6.

6.2 t.o.m. s. 357. Läs exempel 1-6.

6.3 Det grundläggande exemplet i detta avsnitt är då nämnaren har skilda och enkla nollställen, som i rutan på s. 362. Detta behandlas i ex. 3-4. Om någon faktor i nämnaren saknar reella nollställen, t ex x2 + 1, måste man göra en annan ansats, som i ex. 5-6. I ex. 7-8 visas vad som händer om någon av faktorerna förekommer flera gånger. Kom ihåg att den beskrivna tekniken fungerar endast då täljaren är av lägre grad än nämnaren.

Gör följande övningsuppgifter:

• 6.1:
• 6.2:
• 6.3:

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

• 6.1:
• 6.2:
• 6.3: