Dag 21

Envariabelanalys

Versionen från 5 juni 2007 kl. 12.20 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 5 juni 2007 kl. 12.32 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 5:		Rad 5:
	Idag ska vi lära oss en hel del om serieutvecklingar och den sk binomialsatsen.		Idag ska vi lära oss en hel del om serieutvecklingar och den sk binomialsatsen.
-	* '''9.6-9.7''' Taylor- och Maclaurinserier. Taylor har du redan hört talas om under Dag 17 i avsnitt 4.8. Taylors formel ger som du minns en metod att approximera en given funktion med ett polynom av grad $n$ nära en given punkt $a$. Om $n=\infty$ erhåller vi en Taylorserie som då kan sägas representera vår funktion i en omgivning till $a$. Om $a=0$ brukar man använda termen Maclaurinserien. Dvs Maclaurinserien är ett specialfall av Taylorserien, (detta trots att det var Taylor som i början av 1700-talet härledde formeln för $a=0$ medan Maclaurin som gav den allmäna formeln).	+	* '''9.5''' Potensserier och konvergensradie. Läs detta avsnitt fram till och med till och med Exempel 2.
		+
		+	* '''9.6''' Taylor- och Maclaurinserier. Observera Definition 9 (analytisk funktion). Notera att Maclaurinserien är ett specialfall av Taylorserien, (detta trots att det var Taylor som i början av 1700-talet härledde formeln för $a=0$ medan det var Maclaurin som gav den allmäna formeln). Läs
		+
		+	* '''9.7''' Tillämpningar på Taylor- och Maclaurinserier.
	* '''9.8''' Binomialsatsen. Naturligtvis vet du att $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Men vad är $(a+b)^n$ för ett större värde på $n$? Binomialsatsen ger oss en allmän formel för den $n$:te potensen av ett sådant här binom (dvs en summa av två termer) - därav namnet "binomialsatsen". I detta avsnitt använder vi Taylors sats för att bevisa binomialsatsen då $n$ är ett positivt heltal. Vi tittar även på vad som händer om $n4 inte är ett positivt heltal. Läs detta avsnitt fram till och med Exempel 2.		* '''9.8''' Binomialsatsen. Naturligtvis vet du att $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Men vad är $(a+b)^n$ för ett större värde på $n$? Binomialsatsen ger oss en allmän formel för den $n$:te potensen av ett sådant här binom (dvs en summa av två termer) - därav namnet "binomialsatsen". I detta avsnitt använder vi Taylors sats för att bevisa binomialsatsen då $n$ är ett positivt heltal. Vi tittar även på vad som händer om $n4 inte är ett positivt heltal. Läs detta avsnitt fram till och med Exempel 2.

---

Versionen från 5 juni 2007 kl. 12.32

TAYLOR- OCH MACLAURINSERIER. BINOMIALSATSEN

De studenter som inte gör sina läxor kommer obönhörligen att förvisas till insidan av Poincarés hypersfär som vi nu (tack vare Perelman) vet är den enda tredimensionella figuren med en enkelt sammanhängande yta. Vi vill inte se några hoppdiskontinuiteter i dina studieritualer utan ser helst att dina studier fortgår som en kontinuerlig process utan avbrott (bortsett från måltider och sömn).

Idag ska vi lära oss en hel del om serieutvecklingar och den sk binomialsatsen.

• 9.5 Potensserier och konvergensradie. Läs detta avsnitt fram till och med till och med Exempel 2.

• 9.6 Taylor- och Maclaurinserier. Observera Definition 9 (analytisk funktion). Notera att Maclaurinserien är ett specialfall av Taylorserien, (detta trots att det var Taylor som i början av 1700-talet härledde formeln för $a=0$ medan det var Maclaurin som gav den allmäna formeln). Läs

• 9.7 Tillämpningar på Taylor- och Maclaurinserier.

• 9.8 Binomialsatsen. Naturligtvis vet du att $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Men vad är $(a+b)^n$ för ett större värde på $n$? Binomialsatsen ger oss en allmän formel för den $n$:te potensen av ett sådant här binom (dvs en summa av två termer) - därav namnet "binomialsatsen". I detta avsnitt använder vi Taylors sats för att bevisa binomialsatsen då $n$ är ett positivt heltal. Vi tittar även på vad som händer om $n4 inte är ett positivt heltal. Läs detta avsnitt fram till och med Exempel 2.