Dag 24

Envariabelanalys

Versionen från 15 juni 2007 kl. 10.34 (redigera) KTH.SE:u1ykqz3s (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 15 juni 2007 kl. 10.35 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1ykqz3s (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 3:		Rad 3:
	En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en funktion och dess derivator. Differentialekvationer används ideligen i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonsik svängning och pendlelrörelse, ekonomiska förlopp mm m m. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva och förstå viktiga fenomen omkring oss.		En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en funktion och dess derivator. Differentialekvationer används ideligen i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonsik svängning och pendlelrörelse, ekonomiska förlopp mm m m. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva och förstå viktiga fenomen omkring oss.
-	Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay''+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en ''andra ordningens linjär homogen differentialekvation'' (läs mer om *terminologi i dagens avsnitt i kursboken).	+	Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay''+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken).
	Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om $x(t)$ är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden $t$ så ges som bekant accelerationen av $x''(t)$. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen $mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0$ (där $a$ och $b$ är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu!		Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om $x(t)$ är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden $t$ så ges som bekant accelerationen av $x''(t)$. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen $mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0$ (där $a$ och $b$ är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu!

---

Versionen från 15 juni 2007 kl. 10.35

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en funktion och dess derivator. Differentialekvationer används ideligen i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonsik svängning och pendlelrörelse, ekonomiska förlopp mm m m. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva och förstå viktiga fenomen omkring oss.

Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken).

Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om $x(t)$ är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden $t$ så ges som bekant accelerationen av $x(t)$. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen $mx(t)+bx'(t)+ax(t)=0$ (där $a$ och $b$ är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu!

• 3.7 Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvationser ut uppstår tre fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs exempel 1-5.

• 17.5

• 17.6

Gör följande övningsuppgifter:

• 3.7:
• 17.5:
• 17.6: