Dag 24

Envariabelanalys

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en funktion och dess derivator och används i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonsik svängning och svängande pendlar, ekonomiska förlopp mm m m. Som ni inser kan i inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva och förstå viktiga fenomen.

Idag ska vi pyssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologi i dagens avsnitt i kursboken). Låt oss fästa en partikel på en fjäder och sätta den i gungning. Om $x(t)$ är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden $t$ så ges som bekant accelerationen av $x(t)$. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen $mx(t)+bx'(t)+ax(t)=0$ - precis den typ av ekvation vi ska studera nu!

3.7 Alternativt kan du läsa avsnitt 17.7. Karakteristiska ekvationen (**), s. 216. Beroende av hur de karakteristiska rötterna ser ut, uppstår tre fall (s. 216-217). De kan beskrivas som (I) skilda reella rötter, (II) sammanfallande reella rötter, samt (III) icke-reella rötter. Läs exempel 1-5.

3.7,17.5,17.6