Exempel uppgift

FörberedandeFysik

Versionen från 17 mars 2010 kl. 12.23

Exempeluppgift

Detta är ett exempel på en inlämningsuppgift i Internetfysikkursen. Denna uppgift är alltså inte den inlämningsuppgift som du ska göra, utan den får du tillgång till först när du fått godkänt på alla slutprov.

Uppgifter

E1. Leta reda på tillverkarens tekniska produktfakta för en värmepump som marknadsförs för enfamiljshus. (Det finns mycket på webben.) Värmepumpars prestanda brukar anges för några olika driftsförhållanden med en viss standardtemperatur på den varma sidan och en viss standardtemperatur på den kalla sidan. (Det förklaras ofta i en liten fotnot till en tabell.) Du ska genomföra denna uppgift för en enda uppsättning temperaturer och inte för samtliga driftsförhållanden som förekommer på faktabladet.

1. Identifiera effekter motsvarande Qvarm och Win samt värmefaktorn COPvp. Var noga med mätenheter.Kontrollera att de givna värdena för dessa storheter överensstämmer med definitionen av värmefaktorn. (Eventuellt kan du tvärtom behöva beräkna den tredje storheten utifrån givna värden för enbart två storheter.)
2. Beräkna den värmeeffekt som värmepumpen tar från den kalla sidan, t.ex. jord eller berggrund.
3. Ger den andra huvudsatsen en möjlighet att beräkna en undre gräns, (COPvp··· ), ett exakt värde, (COPvp=··· ), eller en övre gräns, (COPvp··· ), för värmefaktorn? Genomför denna uppskattning och jämför med pumpens verkliga värmefaktor.

E2. Du är ute och paddlar kanot på en sjö. En morgon startar du från ditt nattläger vid stranden och paddlar först 240m i en riktning som ligger 32 söder om riktningen rakt åt öster för att handla i en affär, vars läge du sett markerat på en karta. På kartan har du kunnat mäta ut den angivna längden.

När du paddlar tillbaka, så paddlar du först en sträcka b i en riktning som ligger 48 norr om riktningen rakt åt väster; därefter paddlar du en sträcka c i en riktning som ligger 72 söder om riktningen rakt åt väster, varefter du är tillbaka i lägret. Riktningarna mäter du med din kompass, men du vet inte längderna för de sträckor du paddlar på tillbakavägen.

Använd vektorer för att bestämma längderna b och c.

E3. En plastlinjal är drygt 20 cm lång. Vid markeringen för 10 cm finns ett hål i linjalen i vilket man kan sticka in t.ex. en stoppnål. Denna fungerar då som en axel kring vilken linjalen blir vridbar. En metallstav S och en motvikt M håller varandra i jämvikt, när de är placerade som i figuren. Båda hänger i mycket tunna trådar. Metallstavens volym är 10,0 cm3.

En bägare med vätska placeras så att metallstaven i sin helhet blir omgiven av vätskan. För att återställa jämvikten hänger man vid lämpliga skalstreck (se figuren nedan) små ståltrådar med massorna 0,1 g, 1 g och 10 g.

Bestäm vätskans densitet om, som i figuren, ståltrådarna måste hängas på avstånden 3 cm, 7 cm respektive 8 cm från vridningsaxeln.

E4. En elektrisk krets består av tre seriekopplade komponenter, en spole med resistansen 60 och induktans 0,05 H, en resistor med resistansen 100 samt en kondensator med kapacitansen 4,0 F. Kretsen ansluts till 200 V, 400 Hz. Beräkna strömmen i kretsen till belopp och fas i förhållande till spänningen.

E5. Ett blixtnedslag består i allmänhet av 4–5 urladdningar efter varandramedkorta mellanrum(50 ms). Antag att en av dessa urladdningar transporterar 5C över en potentialskillnad av 100MV mellan moln och mark under loppet av 10 μs. Beräkna den genomsnittliga strömmen, energitransporten och den genomsnittliga effekt som utvecklas.

Lösning

E1

E2

Vi har fått ett antal kompasskurser angivna och söker två sträckor.

Vi antar att vi använder en vanlig kompass med vinkelsumman 360 på ett varv, vidare antar vi att avdrift och kompassdeviation mm är noll. Att göra sådana här antaganden är viktiga för att förenkla problemen till rimlig komplexitet.

Med dessa förenklingar så får vi ett problem med tre vektorer vars summa är noll, se illustration. Dessvärre är vinklarna angivna något egendomligt varför vi behöver göra om dessa till kartesiska koordinater i ett x-y-system. För att få rätt vinklar i rätt riktning så skissar vi problemställningen, en utmaning är ju att vinklarna är angivna relativt till olika väderstreck och inte relativt x-axeln!

Vi väljer att ha öst som x-koordinat (och därmed blir väst negativa x-koordinater) samt nord som y-koordinat (med syd som negativ y-koordinat). Andra val kan självklart göras, detta är kanske det mest intuitiva?

Vektorn a inlagd i detta koordinatsystem ger

a=240(cos32−sin32)

Vektorn b inlagd i samma koordinatsystemt ger

b=b(−cos48sin48)

Vektorn c slutligen

c=c(−cos72−sin72)

Vi tittar (som vanligt) på x- och y-värdena var för sig och får två ekvationer med totalt två obekanta. Lika många obekanta som antalet ekvationer, innebär att vi kan lösa problemet matematiskt såvida inte de två ekvationerna är identiska.

x:240cos(32)−bcos(48)−ccos(72)=0

y:−240sin(32)+bsin(48)−csin(72)=0

Vi inser att vi har ett ekvationssytem som är lösbart, vi löser det exakt nedan (du kan välja att först beräkna de trigometriska funktionernas värden med 3-4 värdesiffror men det kommer att ge avrundningsfel, hur stora?)

240cos(32)−bcos(48)−ccos(72)=0 (1)

−240sin(32)+bsin(48)−csin(72)=0 (2)

Vi eliminerar b genom att multiplicera (1) med sin48cos48=tan48

240cos(32)tan48−bsin48−ccos(72)tan48=0 (1)

−240sin(32)+bsin(48)−csin(72)=0 (2)

Vi adderar (1) och (2) och får

240cos32tan48−sin32=ccos72tan48+sin72 

c=240cos72tan48+sin72cos32tan48−sin2376

Det exakta värdet av c insatt i (1) överst ger b enligt

240cos32−240cos72cos72tan48+sin72cos32tan48−sin32

b=240cos48cos32−cos72cos72tan48+sin72cos32tan48−sin32269 

E3

Vi antar att det snöre som den stora metallstaven hänger i har massan noll och är styvt. Det innebär att det inte påverkar jämviktsekvationen och att en eventuell kraft riktad uppåt på metallstaven kommer att innebära att linjalen rör sig uppåt. Med detta antagande kan problemet lösas.

Vid en första anblick ser det ut som att vi ska sätta upp en jämviktsekvation för de två fallen och utifrån det plocka fram de obekanta massorna. Man inser ganska snart att detta inte hjälper, vi får fler obekanta än antalet ekvationer. Vi har inte heller så stor nytta av att få reda på de absoluta massorna för M och S i figuren.

Den huvudsakliga skillnaden mellan de båda fallen är att metallstaven i det senare är nedsänkt i en vätska. Vi misstänker att Archimedes princip kan vara användbar och drar oss den till minnes:

Archimedes princip
Lyftkraften på ett föremål i en vätska är lika stor som tyngden av den undanträngda vätskan.

Om vi sätter upp en jämviktsekvation kring knappnålen för skillnaden mellan fall 1 och fall 2 bör vi kunna få ut lyftkraften FL som uppstår då metallstaven sänks ned i vätskan. Har vi väl den kan vi enkelt räkna ut vätskans densitet då volymen av staven är känd.

Enheterna som är angivna i uppgiften, cm och g, är farliga att använda då vi riskerar att få decimalfel. Vi gör om dem till SI-enheter och sätter upp jämviktsekvationen kring nålen för krafter F och avstånd d enligt (obs M nedan för moment, ej massa M, uppgiftsförfattaren har medvetet valt en olämplig bokstav i uppgiftsformuleringen för att förvirra).

Mnål:idiFi=0

Med våra värden insatta har vi

Mnål:310−20110−3g+710−2110−3g+810−21010−3g−1010−2FL

Vi löser ut lyftkraften från nedsänkningen i vätskan, F_L ovan, till

FL=87310−4g

Vi utgår från de båda sambanden F=mg, =Vm

Vi söker och löser ut det till =FLgV. Med kraften FL) och volymen V=10cm^3=10(0013m^3=10010−5m3 insatt får vi

=gV87310−4g=10−587310−4=873

Eftersom vi konsekvent använt SI-enheter utan prefix när vi räknat trillar också resultatet ut i detta format, densiteten är alltså 873kg/m3

Är detta ett rimligt svar? De flesta vätskor har en dencitet mellan 700−3000kg/m3 varför svaret är något förvirrande.. antingen har vi gjort något räknefel någonstans eller så är uppgiften konstruerad utan tanke på ett verkligt fall.

Uppdrag: kontrollera räkningar, om de är rätt, överväg att modifiera uppgiftsformuleringen, orimligt att resultatet är en vätska som ej finns!

E4

Det här verkar vara ett problem som handlar om att testa förståelsen för hur olika passiva komponenter ändrar impedans beroende på frekvens på den spänning som anläggs till dem.

Vi antar att komponenterna är ideala och att alltså impedansen i kondensator respektive induktor utgörs av rent reaktiva laster.

Reaktans beräknas i en spole $X_L$ enligt

$X_L = \omega L$

med

$\omega = 2 \pi \nu$

får vi fram korrekta värden vid känd frekvens $\nu$

Reaktans beräknas i en kondensator $X_C$ enligt

$X_C = \displaystyle\frac{1}{\omega C}$

Vidare gäller att en impetiv reaktans räknas som positiv och en kapacitiv som negativ. Den totala reaktansen för kretsen fås därmed eftersom den är seriekopplad av

$X_{krets} = \Sigma X_L - \Sigma X_C$

Den totala resistansen beräknas på motsvarande sätt

$R_{krets} = \Sigma R $

Impedansen är den resulterande vektorn då X och R spänns ut med $\pi/2$ mellan sig. Vi får

$|Z| = \sqrt{R_{krets} + X_{krets}}$

Riktningen ges av

$arg(Z) = \arctan{\displaystyle\frac{X_{krets}}{R_{krets}}}$

De värden som är angivna ger $|Z| \approx 40 k\Omega $och $arg(Z) \approx \displaystyle\frac{\pi}{2}$

Från beräkning i excel har vi att impedensen till nästan 100% utgörs av kondingen, vi skulle utan problem kunna ersätta hela vår krets med enbart en konding. Ingen skillnad i uppförande kommer att kunna märkas.

Vi behöver nog nya siffror...

				
 induktans	resistans	kapacitans	ind.reak.	kap.reak.	reaktans
 L	R	C	XL	XC	X
 spole	5,00E-02	60		3,14E-01		3,14E-01
 motstånd		100				
 konding			4,00E-06		3,98E+04	-3,98E+04 
 						
 alla		160				-3,98E+04
 				
 impedans	39788,74331	ohm

E5

Vi antar att lika stor energi förs över i samtliga urladdningar, ett alternativt scenario skulle kunna vara att det mesta av energin finns i den första urladdningen.

Om det är fem urladdningar och varje urladdning för över lika hög energi gäller för en urladdning

Utvecklad effekt P=tW=5C10s=500MW

Ström under genomslag $P\; =\; E\; J\; där\; E\; är\; det\; elektriska\; fältet\; och\; J\; strömmen\; per\; areaenhet\; vilket\; kan\; förenklas\; till$P=UI varvid vi kan lösa ut strömmen I=PU=100MV500MW=5A

Energitransporten W är given i uppgiftsformuleringen, 5 C under hela förloppet och enligt vårt antagande 1 C per urladdning.

Medeleffekten under ett blixtnedslag, enligt uppgiften pågår hela blixtnedslaget under 200 ms vid fem urladdningar, under denna tid förs energin 5 C över varför medeleffekten blir

P=5C200ms=25W

Är detta vad som efterfrågas? Verkar vara väl trivial lösning... ställer mig också tveksam till att strömmen är så pass liten som beräkningarna visar, är fältstyrkan verkligen korrekt angiven för ett riktigt fall?