FörberedandeFysik

Nuvarande version

FÖRFATTARE: Ian Cohen, KTH Mekanik

Mekanikens lagar i vektorform

Tidigare i kinematikdelen av denna kurs har vi definierat hastighet och acceleration i x- och y-riktningar. Eftersom riktningar ingår i specificeringen av hastighet och acceleration, är dessa storheter vektorer på samma sätt som en kraft är en vektorstorhet. De kan representeras som vektorer

Hastighet representeras som \displaystyle \textbf{v} och acceleration som \displaystyle \textbf{a}. En kraft representeras som \displaystyle \textbf{F}. Rörelsemängd, som också den är en vektorstorhet, representeras som \displaystyle \textbf{p}.

Newtons kraftekvation kan skrivas i vektorform som \displaystyle \textbf{F}=m\textbf{a} och rörelsemängd definieras som \displaystyle \textbf{p}=m\textbf{v}.

Kom ihåg att energi och arbete inte är vektorer på samma sätt som massa inte är en vektor.

Vad är fördelen med att skriva ekvationer som vektorer? Då kan vi tillämpa hela den matematiska teorin som kallas vektorlära för att utveckla mekaniken.

Till exempel \displaystyle \textbf{F}=m\textbf{a} kan tolkas som att kraftsumman i en viss riktning är lika med massa gånger acceleration i samma riktning. Om man observerar att en partikel har en acceleration \displaystyle \textbf{a}, kan man dra slutsatsen att en kraft \displaystyle m\textbf{a} verkar på partikeln.

Likaså kan \displaystyle \textbf{P}=m\textbf{v} tolkas som att rörelsemängd i en viss riktning är lika med massa gånger hastighet i samma riktning.

Cirkulär rörelse med konstant hastighet

Vi har i kinematikdelen behandlat en partikel som rör sig med konstant fart i en cirkelbana.

Trots att partikeln har konstant fart har den en centripetalacceleration \displaystyle \frac{v^2}{r} som är riktad inåt mot cirkelcentrum, d v s att centripetalacceleration har konstant storlek med riktning som ändras hela tiden. Enligt kraftekvationen \displaystyle \textbf{F}=m\textbf{a} måste det finnas en kraft \displaystyle F=m\frac{v^2}{r} som är riktad inåt mot cirkelcentrum.

Ett exempel på hur man kan demonstrera denna teori är följande:

Vi har ett glatt(friktionsfritt) horisontellt bord. Vi fäster ett snöre med längd \displaystyle r vid en punkt på bordet och i andra ändan fäster vi en liten boll med massan \displaystyle m. Sedan sätter vi igång bollen i en cirkulär rörelse.

Om vi mäter spännkraften i snöret, ser vi att den har ett värde \displaystyle ma där \displaystyle a är centripetalaccelerationen

\displaystyle \omega ^2r och \displaystyle \omega =\frac{2\pi}{T}.

\displaystyle T är perioden d v s tiden för ett varv.

Den allmänna gravitationen

Planeterna och kometerna kretsar kring solen i sina elliptiska banor. Gravitationskraften från solen på planeterna och kometerna håller dem i banorna. Här skall vi dock endast diskutera cirkulära banor varför vi endast behandlar människotillverkade satelliter som kretsar kring jorden i en cirkelbana.

Figuren visar en satellit som kretsar kring jorden i en cirkulär bana med radien \displaystyle r.

Enligt Newtons gravitationsteori utsätts satelliten för en gravitationskraft \displaystyle F som beror på satellitens avstånd till jordens centrum, i detta fall \displaystyle r.

\displaystyle F=G\frac{Mm}{r^2} där \displaystyle M är jordens massa och \displaystyle m är satellitens massa. Konstanten \displaystyle G kallas för gravitationskonstanten. Gravitationskonstanten \displaystyle G har ett extremt litet värde. Det är endast på grund av att astronomiska kroppar är så massiva som gravitationskraften har icke-försumbara värden inom astronomi och kosmologi.

Om man känner till jordens radie \displaystyle R (närmare 640 mil) kan man undvika \displaystyle G och \displaystyle M. En partikel med massan \displaystyle m på jordytan har en gravitationskraft på den lika med \displaystyle G\frac{Mm}{r^2}. Detta är förstås samma sak som partikelns tyngd \displaystyle mg.

Vi får \displaystyle G\frac{Mm}{r^2}=mg eller \displaystyle GMm=mgR^2 så att \displaystyle F=\frac{mgR^2}{r^2}.

Slutligen kan vi tillämpa kraftekvationen. Gravitationskraften på satelliten är lika med satellitens massa gånger dess centripetalacceleration.

\displaystyle F=G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}
Eller

\displaystyle \frac{mgR^2}{r^2}=m\frac{v^2}{r}=m\omega ^2r

Harmonisk svängningsrörelse

Enligt teorin för harmonisk svängningsrörelse gäller att \displaystyle a=-\omega ^2y.

Enligt kraftekvationen \displaystyle F=ma, där \displaystyle F är kraften på en liten kropp (partikel) med massan \displaystyle m.

\displaystyle \Rightarrow En kraft \displaystyle F=-m\omega ^2y ger upphov till harmonisk svängningsrörelse.

Obs. Kraften är inte konstant. Den är maximal vid rörelsens utkant \displaystyle (y=±amplituden) och är noll vid rörelsens mittpunkt.

Man kan åstadkomma harmonisk svängningsrörelse med en fjäder.

En liten kropp ligger på ett horisontellt glatt bord. Den är kopplad med en fjäder till en fast punkt. Vi låter \displaystyle y vara fjäderns förlängning. Det betyder att om \displaystyle y=0, är fjädern ospänd och om \displaystyle y < 0 är fjädern ihoptryckt.

En experimentell lag säger att fjäderns kraft på partikeln är \displaystyle F=ky, där \displaystyle k kallas fjäderkonstanten och förstås är positiv och beroende av fjädern. \displaystyle F verkar i den negativa \displaystyle y-riktningen. Vi får \displaystyle -ky=ma=>a=-\frac{k}{m}y som är en harmonisk svängningsekvation med \displaystyle \omega ^2=\frac{k}{m}