Inlämningsuppgifter
Förberedande kurs i matematik
| Rad 133: | Rad 133: | ||
<math>\qquad q(a)=a</math> | <math>\qquad q(a)=a</math> | ||
| + | |||
Sätt <math>r(a)=q(p(a))</math>. | Sätt <math>r(a)=q(p(a))</math>. | ||
| Rad 141: | Rad 142: | ||
g) Är <math>r</math> injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar. | g) Är <math>r</math> injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | ===Inlämningsuppgift 3.2:1=== | ||
| + | En student har fått uppgiften att lösa ekvationen <math>\sin^2x=1/2</math>. Så här ser studentens lösning ut: | ||
| + | |||
| + | <center> | ||
| + | <math>\sin^2x=\frac{1}{2}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>x=45^{\circ}+2n\pi</math> | ||
| + | </center> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar. | ||
| + | |||
| + | b) Ge en korrekt lösning. | ||
| + | |||
| + | ===Inlämningsuppgift 3.2:2=== | ||
| + | En student har fått uppgiften att lösa ekvationen <math>\sin x\cos x=\cos x</math>. Så här ser studentens lösning ut: | ||
| + | |||
| + | <center> | ||
| + | <math>\sin x\cos x=\frac{1}{2}\cos x</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\sin x = \frac{1}{2}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>x = 30^{\circ}+2n\pi</math> | ||
| + | </center> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar. | ||
| + | |||
| + | b) Ge en korrekt lösning. | ||
| + | |||
| + | ===Inlämningsuppgift 3.2:3=== | ||
| + | En student har fått uppgiften att lösa ekvationen <math>\sin(-x)=\frac{1}{2}</math>. Så här ser studentens lösning ut: | ||
| + | |||
| + | <center> | ||
| + | <math>\sin(-x)=\frac{1}{2}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\sin x = \frac{1}{2}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>x = 30^{\circ}+2n\pi</math> | ||
| + | </center> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar. | ||
| + | |||
| + | b) Ge en korrekt lösning. | ||
| + | |||
| + | ===Inlämningsuppgift 3.2:4=== | ||
| + | En student har fått uppgiften att lösa ekvationen <math>\cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Så här ser studentens lösning ut: | ||
| + | |||
| + | <center> | ||
| + | <math>\cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>x = 45^{\circ}+2n\pi</math> | ||
| + | </center> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar. | ||
| + | |||
| + | b) Ge en korrekt lösning. | ||
| Rad 161: | Rad 228: | ||
dock att inga pengar skulle bli över och att antalet mandelkakor var ett | dock att inga pengar skulle bli över och att antalet mandelkakor var ett | ||
udda tal. Hjälp lille Per! | udda tal. Hjälp lille Per! | ||
| + | |||
===Inlämningsuppgift 5:2=== | ===Inlämningsuppgift 5:2=== | ||
Versionen från 9 augusti 2012 kl. 13.08
Innehåll |
Inlämningsuppgift 3.1:1
Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d,e\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d\}. Låt \displaystyle g:A\to B och \displaystyle f:B\to C vara två funktioner sådana att:
\displaystyle \qquad g(a)=a\qquad g(b)=c\qquad g(c)=c
\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=b\qquad f(c)=c\qquad f(d)=d\qquad f(e)=b
Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).
a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.
c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?
d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{Z}\to\mathbb{N} och \displaystyle q:\mathbb{N}\to\mathbb{R} sådana att
\displaystyle \qquad p(a)=a^2
\displaystyle \qquad q(a)=\sqrt{a}
Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).
e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.
g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Inlämningsuppgift 3.1:2
Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d,e\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d\}. Låt \displaystyle g:A\to B och \displaystyle f:B\to C vara två funktioner sådana att:
\displaystyle \qquad g(a)=b\qquad g(b)=b\qquad g(c)=b
\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=a\qquad f(c)=a\qquad f(d)=a\qquad f(e)=a
Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).
a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.
c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?
d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att
\displaystyle \qquad p(a)=a^2
\displaystyle \qquad q(a)=-a
Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).
e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.
g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Inlämningsuppgift 3.1:3
Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d,e\}. Låt \displaystyle g:A\to C och \displaystyle f:C\to B vara två funktioner sådana att:
\displaystyle \qquad g(a)=b\qquad g(b)=c\qquad g(c)=d
\displaystyle \qquad f(a)=d\qquad f(b)=a\qquad f(c)=b\qquad f(d)=c\qquad f(e)=d
Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).
a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.
c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?
d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att
\displaystyle \qquad p(a)=2a
\displaystyle \qquad q(a)=a+1
Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).
e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.
g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Inlämningsuppgift 3.1:4
Låt \displaystyle A=\{a,b,c,d\}, \displaystyle B=\{a,b,c\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d,e\}. Låt \displaystyle g:B\to C och \displaystyle f:C\to A vara två funktioner sådana att:
\displaystyle \qquad g(a)=a\qquad g(b)=c\qquad g(c)=c
\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=b\qquad f(c)=c\qquad f(d)=d\qquad f(e)=b
Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).
a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.
c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?
d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att
\displaystyle \qquad p(a)=\sqrt{a}
\displaystyle \qquad q(a)=a
Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).
e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.
f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.
g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.
Inlämningsuppgift 3.2:1
En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin^2x=1/2. Så här ser studentens lösning ut:
\displaystyle \sin^2x=\frac{1}{2}
\displaystyle \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}
\displaystyle x=45^{\circ}+2n\pi
a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
b) Ge en korrekt lösning.
Inlämningsuppgift 3.2:2
En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin x\cos x=\cos x. Så här ser studentens lösning ut:
\displaystyle \sin x\cos x=\frac{1}{2}\cos x
\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}
\displaystyle x = 30^{\circ}+2n\pi
a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
b) Ge en korrekt lösning.
Inlämningsuppgift 3.2:3
En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin(-x)=\frac{1}{2}. Så här ser studentens lösning ut:
\displaystyle \sin(-x)=\frac{1}{2}
\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}
\displaystyle x = 30^{\circ}+2n\pi
a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
b) Ge en korrekt lösning.
Inlämningsuppgift 3.2:4
En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}. Så här ser studentens lösning ut:
\displaystyle \cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}
\displaystyle \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}
\displaystyle x = 45^{\circ}+2n\pi
a) Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
b) Ge en korrekt lösning.
Inlämningsuppgift 5:1
Euklides algoritm och diofantiska ekvationer
1. Ge ett exempel som illustrerar Lemma 1.
2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(2345, 245). Redovisa din lösning.
3. Använd Euklides algoritm till att förkorta så \displaystyle \frac{27}{2367} långt som möjligt. Redovisa din lösning.
4. Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer: \displaystyle 4x + 8y=28 och \displaystyle 4x + 8y=7. Redovisa din lösning.
5. Lille Per har av sin moder fått 100 kr för att gå till konditoriet och köpa lyxsemlor till ett pris av 25kr per styck och mandelkakor till ett pris av 18 kr per styck. När han är framme i konditoriet har han hunnit glömma hur många av de två slagen bakverk han skulle köpa. Han minns dock att inga pengar skulle bli över och att antalet mandelkakor var ett udda tal. Hjälp lille Per!
Inlämningsuppgift 5:2
Euklides algoritm och diofantiska ekvationer
1. Ge ett exempel som illustrerar Lemma 1.
2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(569, 31). Redovisa din lösning.
3. Använd Euklides algoritm till att förkorta så \displaystyle \frac{9876}{32} långt som möjligt. Redovisa din lösning.
4. Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer: \displaystyle 11x + 22y=32 och \displaystyle 11x + 22y=33. Redovisa din lösning.
5. Lille Per har av sin moder fått 120 kr för att gå till konditoriet och köpa lyxsemlor till ett pris av 18kr per styck och mandelkakor till ett pris av 12 kr per styck. När han är framme i konditoriet har han hunnit glömma hur många av de två slagen bakverk han skulle köpa. Han minns dock att inga pengar skulle bli över och att han skulle köpa fler mandelkakor än lyxsemlor. Hjälp lille Per!
