Inlämningsuppgifter

Förberedande kurs i matematik

Versionen från 9 augusti 2012 kl. 14.05

Inlämningsuppgift 2:1

Kvadratkomplettering:

Innan du börjar med denna inlämningsuppgift, läs igenom sidan

Att skriva lösningar

För att bli godkänd på denna inlämningsuppgift måste du

• Med ord förklara hur du löser uppgiften
• Utföra och redovisa alla beräkningar (ta med några mellansteg då det behövs)
• Skriva tydligt

Vanliga fel:

• Studenten använder pq-formeln istället av att kvadratkomplettera.
• Studenten kontrollerar inte svaret genom insättning.

Lös ekvationen \displaystyle 5x^2+4x+1 = 0 med kvadratkomplettering (ej pq-formeln). Använd bråk och inte decimaltal vid uträkningarna. Redovisa din lösning och kontrollera ditt svar genom insättning.

Inlämningsuppgift 2:2

\displaystyle 5x^2+4x-1 = 0

Inlämningsuppgift 2:3

\displaystyle 5x^2-2x+1 = 0

Inlämningsuppgift 2:4

\displaystyle 4x^2+2x-2 = 0

Inlämningsuppgift 2:5

Innan du börjar med denna inlämningsuppgift, läs igenom sidan

Att skriva lösningar

För att bli godkänd på denna inlämningsuppgift måste du

• Med ord förklara hur du löser uppgiften
• Utföra och redovisa alla beräkningar (ta med några mellansteg då det behövs)
• Skriva tydligt

Vanliga fel:

• Beräkningarna "lämnas till läsaren"

Låt \displaystyle p(x)=x^4+x^3+3x-3. Visa att ekvationen \displaystyle p(x)=0 saknar rationella lösningar. Motivera din lösning.

Förslag till inledning är "Enligt kursmaterialet gäller det att om a/b är en rationell rot till ekvationen så måste..."

Inlämningsuppgift 2:6

\displaystyle p(x)=3x^4+x^3+2x-1

Inlämningsuppgift 2:7

\displaystyle p(x)=2x^3+56x-1

Inlämningsuppgift 2:8

\displaystyle p(x)=x^3+5x^2+5

Inlämningsuppgift 3.1:1

Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d,e\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d\}. Låt \displaystyle g:A\to B och \displaystyle f:B\to C vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=a\qquad g(b)=c\qquad g(c)=c

\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=b\qquad f(c)=c\qquad f(d)=d\qquad f(e)=b

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).

a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{Z}\to\mathbb{N} och \displaystyle q:\mathbb{N}\to\mathbb{R} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=a^2

\displaystyle \qquad q(a)=\sqrt{a}

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).

e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.1:2

Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d,e\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d\}. Låt \displaystyle g:A\to B och \displaystyle f:B\to C vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=b\qquad g(b)=b\qquad g(c)=b

\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=a\qquad f(c)=a\qquad f(d)=a\qquad f(e)=a

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).

a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=a^2

\displaystyle \qquad q(a)=-a

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).

e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.1:3

Låt \displaystyle A=\{a,b,c\}, \displaystyle B=\{a,b,c,d\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d,e\}. Låt \displaystyle g:A\to C och \displaystyle f:C\to B vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=b\qquad g(b)=c\qquad g(c)=d

\displaystyle \qquad f(a)=d\qquad f(b)=a\qquad f(c)=b\qquad f(d)=c\qquad f(e)=d

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).

a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{Z} och \displaystyle q:\mathbb{Z}\to\mathbb{R} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=2a

\displaystyle \qquad q(a)=a+1

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).

e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.1:4

Låt \displaystyle A=\{a,b,c,d\}, \displaystyle B=\{a,b,c\} och \displaystyle C=\{a,b,c,d,e\}. Låt \displaystyle g:B\to C och \displaystyle f:C\to A vara två funktioner sådana att:

\displaystyle \qquad g(a)=a\qquad g(b)=c\qquad g(c)=c

\displaystyle \qquad f(a)=a\qquad f(b)=b\qquad f(c)=c\qquad f(d)=d\qquad f(e)=b

Dessa funktioner illustreras i bilden ovan. Sätt \displaystyle h(a)=f(g(a)).

a) Bestäm \displaystyle h:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

b) Bestäm \displaystyle h:s värdemängd. Motivera ditt svar.

c) Vad är skillnaden mellan en funktions målmängd och värdemängd?

d) Är \displaystyle h injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Betrakta istället \displaystyle p:\mathbb{N}\to\mathbb{R} och \displaystyle q:\mathbb{R}\to\mathbb{C} sådana att

\displaystyle \qquad p(a)=\sqrt{a}

\displaystyle \qquad q(a)=a

Sätt \displaystyle r(a)=q(p(a)).

e) Bestäm \displaystyle r:s definitionsmängd och dess målmängd. Motivera ditt svar.

f) Bestäm \displaystyle r:s värdemängd. Motivera ditt svar.

g) Är \displaystyle r injektiv? Är den surjektiv? Motivera ditt svar.

Inlämningsuppgift 3.2:1

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin^2x=1/2. Så här ser studentens lösning ut:

1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 3.2:2

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin x\cos x=\cos x. Så här ser studentens lösning ut:

1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 3.2:3

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \sin(-x)=\frac{1}{2}. Så här ser studentens lösning ut:

1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 3.2:4

En student har fått uppgiften att lösa ekvationen \displaystyle \cos(\pi-x)=\frac{1}{\sqrt{2}}. Så här ser studentens lösning ut:

1. Hitta alla fel i lösningen. Motivera ditt svar.
2. Ge en korrekt lösning.

Inlämningsuppgift 5:1

Decimalutvecklingar och positionssystem

1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen \displaystyle 1/12, \displaystyle 1/22, \displaystyle 1/82, \displaystyle 1/33?

2. Skriv decimaltalet \displaystyle 0,46454545\dots som en kvot mellan två heltal. Förklara tydligt hur du gör och visa dina beräkningar.

3. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan gå tillväga för att skriva ett periodiskt decimaltal som ett bråk.

4. Utför följande baskonverteringar:

1. \displaystyle 3030 i bas \displaystyle 6 till bas \displaystyle 10.
2. \displaystyle 3030 i bas \displaystyle 10 till bas \displaystyle 6.
3. \displaystyle 3,030 i bas \displaystyle 6 till bas \displaystyle 10.

Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

5. Utför följande beräkningar. Du ska utföra beräkningarna i den givna basen och inte konvertera till bas \displaystyle 10. Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

1. \displaystyle 321 + 2300 i bas \displaystyle 4
2. \displaystyle 11\cdot 21 i bas \displaystyle 3
3. \displaystyle 10010 - 1111 i bas \displaystyle 2

6. Sök på nätet efter exempel där man använder tal angivna i bas 16 (det hexadecimala postitionssystemet), och utför en addition i denna bas där två tresiffriga tal adderas.

Euklides algoritm och diofantiska ekvationer

1. Ge ett exempel som illustrerar Lemma 1.

2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(2345, 245). Redovisa din lösning.

3. Använd Euklides algoritm till att förkorta så \displaystyle \frac{27}{2367} långt som möjligt. Redovisa din lösning.

4. Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer: \displaystyle 4x + 8y=28 och \displaystyle 4x + 8y=7. Redovisa din lösning.

5. Lille Per har av sin moder fått 100 kr för att gå till konditoriet och köpa lyxsemlor till ett pris av 25kr per styck och mandelkakor till ett pris av 18 kr per styck. När han är framme i konditoriet har han hunnit glömma hur många av de två slagen bakverk han skulle köpa. Han minns dock att inga pengar skulle bli över och att antalet mandelkakor var ett udda tal. Hjälp lille Per!

Inlämningsuppgift 5:2

Decimalutvecklingar och positionssystem

1. Vilken period respektive periodlängd har de rationella talen \displaystyle 1/35, \displaystyle 1/7, \displaystyle 1/44, \displaystyle 1/60?

2. Skriv decimaltalet \displaystyle 0,16666\dots som en kvot mellan två heltal.

3. Utför följande baskonverteringar:

1. \displaystyle 4242 i bas \displaystyle 7 till bas \displaystyle 10.
2. \displaystyle 4242 i bas \displaystyle 10 till bas \displaystyle 7.
3. \displaystyle 4,24 i bas \displaystyle 7 till bas \displaystyle 10.

Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

4. Beskriv med egna ord hur man i allmänhet kan konvertera ett tal i bas 10 till bas 7. Ta inte ett exempel utan beskriv det allmänna fallet.

5. Utför följande beräkningar. Du ska utföra beräkningarna i den givna basen och inte konvertera till bas \displaystyle 10. Förklara tydligt hur du gör och ta med alla beräkningar.

1. \displaystyle 101,1 + 10,1 i bas \displaystyle 2
2. \displaystyle 32\cdot32 i bas \displaystyle 5
3. \displaystyle 1001 - 110 i bas \displaystyle 2

6. Sök på nätet efter exempel där man använder tal angivna i bas 16 (det hexadecimala postitionssystemet), och utför en addition i denna bas där två tresiffriga tal adderas.

Euklides algoritm och diofantiska ekvationer

1. Ge ett exempel som illustrerar Lemma 1.

2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(569, 31). Redovisa din lösning.

3. Använd Euklides algoritm till att förkorta så \displaystyle \frac{9876}{32} långt som möjligt. Redovisa din lösning.

4. Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer: \displaystyle 11x + 22y=32 och \displaystyle 11x + 22y=33. Redovisa din lösning.

5. Lille Per har av sin moder fått 120 kr för att gå till konditoriet och köpa lyxsemlor till ett pris av 18kr per styck och mandelkakor till ett pris av 12 kr per styck. När han är framme i konditoriet har han hunnit glömma hur många av de två slagen bakverk han skulle köpa. Han minns dock att inga pengar skulle bli över och att han skulle köpa fler mandelkakor än lyxsemlor. Hjälp lille Per!